江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题

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江苏省启东中学2020届高三上学期期初考试数学试题

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试 高三数学试卷 ‎(测试内容:三角、平面向量、复数)‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上.‎ ‎1.若复数满足,其中i是虚数单位,则的虚部为________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则求出,根据虚部的概念即可得出.‎ ‎【详解】,‎ ‎∴的虚部为,故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎2.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第________象限.‎ ‎【答案】二 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点P(tanα,cosα)在第三象限,得到tanα<0,cosα<0,从而得到α所在的象限.‎ ‎【详解】因为点P(tanα,cosα)在第三象限,所以tanα<0,cosα<0,‎ 则角α的终边在第二象限,‎ 故答案为二.‎ 点评:本题考查第三象限内的点的坐标的符号,以及三角函数在各个象限内的符号.‎ ‎3.设向量 =(1,0), =(−1,m),若,则m=_________.‎ ‎【答案】-1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据坐标表示出,再根据,得坐标关系,解方程即可.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ 由得:,‎ ‎,‎ 即.‎ ‎【点睛】此题考查向量的运算,在解决向量基础题时,常常用到以下:设,则①;②.‎ ‎4.已知复数z满足(是虚数单位),则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则求出,根据模长的概念即可得出结果.‎ ‎【详解】复数z满足(为虚数单位),‎ ‎∴,‎ 则,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎5.化简:________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逆用两角和的正切公式:即可求得答案.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故答案为1.‎ ‎【点睛】本题考查两角和的正切函数公式的在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,逆用公式是关键,属于中档题.‎ ‎6.若 ,则 __________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用同角三角函数的基本关系把1换成,, 分子分母同时除以,最后把的值代入即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值.解题的关键是把原式中的弦转化成切,利用已知条件求得问题的解决.‎ ‎7.在锐角△ABC中,,.若△ABC的面积为,则的长是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题可知:,又为锐角三角形,所以,由余弦定理 ‎8.已知,且.则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用同角三角函数关系式可求和,根据诱导公式化简所求后即可代入求值.‎ ‎【详解】∵,且,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ 故答案.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用,三角函数齐次式值的求法,属于基础题.‎ ‎9.已知函数在区间上的最小值是,则的最小值等于____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数在区间上最小值是确定的取值范围,求出的范围得到答案.‎ ‎【详解】函数在区间上的最小值是,‎ 而的取值范围是,‎ 当,时,函数有最小值,‎ ‎∴,且,,‎ ‎∴,,,‎ ‎∵,‎ ‎∴的最小值等于,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用.考查基础知识的运用能力,属于中档题.‎ ‎10.设为锐角,若,则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件求得的值,利用二倍角公式求得和的值,再根据,利用两角差的正弦公式计算求得结果.‎ ‎【详解】∵为锐角,,∴,‎ ‎∴,‎ ‎.‎ 故 ‎,故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用,属于中档题.‎ ‎11.已知函数.若函数 的图象关于直线x=2π对称,且在区间 上是单调函数,则ω的取值集合为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 是一条对称轴,‎ ‎,得,‎ 又在区间上单调,‎ ‎,得,‎ 且,得,‎ ‎,集合表示为。‎ ‎12.设点在所在平面内,若,则与的面积比为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形,结合图形,得出和面积比为,根据题意,得出与的关系,从而求出两三角形的面积比.‎ ‎【详解】如图,‎ ‎;‎ 设直线AO与直线BC的交点为点M,则和面积比为,‎ 设,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 由平面向量的基本定理得,,‎ 解得,‎ ‎∴和的面积比为,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的基本定理的应用问题,解题时应按照平面向量的运算法则进行解答,属于中档题.‎ ‎13.正方形ABCD的边长为1,O为正方形ABCD的中心,过中心O的直线与边AB交于点M,与边CD交于点N,P为平面上一点,满足,则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得出的终点在线段BC上,即,求出,又O是MN的中点,得出,,求的最小值即可.‎ ‎【详解】根据题意,,‎ ‎∴的终点在线段BC上,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴;‎ 又O是MN的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∴的最小值是.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算性质、向量的三角形法则、向量共线定理应用问题,是中档题.‎ ‎14.已知等腰直角三角形中,半径为的圆在三角形外与斜边BC相切,P为圆上任意一点,且满足,则的最大值为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立直角坐标系,找出点P的横纵坐标与的关系,根据直线与圆的位置关系结合图象可得的最大值.‎ ‎【详解】如图以A点为原点,AB为轴,AC为轴建立直角坐标系,‎ 则A(0,0),B(0,2),C(2,0),斜边BC所在直线的方程为,‎ 设,则,,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵P为半径为的圆O在三角形外与斜边BC相切上的任意一点,‎ ‎∴与圆O相切且与直线BC平行的直线L的方程为:,‎ ‎∴根据上图可知,,‎ ‎∴,‎ ‎∴的最大值为2,故答案为2.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,关键是利用坐标运算的应用,属中档题.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.已知函数的图像的一部分如图所示,是图像与轴的交点,分别是图像的最高点与最低点且.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)求函数的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意设,由,解得:,利用周期公式可求,由,结合范围,可求 的值,即可得解函数解析式;(2)由题意利用三角函数恒等变换的应用可求,结合范围,可求,利用正弦函数的图象和性质可求最大值.‎ ‎【详解】(1)由函数及分别是图像的最高点与最低点,‎ 设, ‎ 因为,所以,由此解得:,‎ 所以函数的最小正周期为,所以 ‎ 因为是图像与轴交点,‎ 所以,因为,‎ 所以,所以,所以 ‎ 所以函数的解析式为 ‎ ‎(2)函数 因为, 所以 ,‎ 所以时,‎ 即时,函数取最大值为 ‎【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的图象和性质以及三角函数恒等变换的应用,考查了数形结合思想,属于中档题 ‎16.在平面直角坐标系中,设向量,,.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)设,,且,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用向量的数量积转化求解两角差的三角函数即可;(2)通过向量平行,转化求解角的大小即可.‎ ‎【详解】解:(1)因为,,,‎ 所以,‎ 且.‎ ‎ 因为,所以,即, ‎ ‎ 所以,即. ‎ ‎(2)因为,所以.‎ 依题意,. ‎ 因为,所以. ‎ 化简得,,所以. ‎ 因为,所以.‎ 所以,即.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积与三角函数的化简求值考查计算能力,属于中档题.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(1)求的最小值并写出此时的取值集合; ‎ ‎(2)若,求出的单调减区间;‎ ‎(3)若的一个零点,求的值.‎ ‎【答案】(1)最小值为,的取值集合;(2)和;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用二倍角公式,诱导公式和辅助角公式化简可得,根据三角函数的性质即可得结果;(2)先求出在整个定义域上的单调性,结合即可得结果;(3)根据的一个零点,即,利用的范围,求解内层函数范围,即可求的值.‎ ‎【详解】解:(1)‎ ‎ ‎ 所以的最小正为,此时的取值集合为; ‎ ‎(2)由,得 所以的单调减区间为. ‎ 因为,当时,减区间为;‎ 当时,减区间为。‎ 综上:时的单调减区间为和. ‎ ‎(3),所以.‎ 又,,‎ 所以,‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键,属于中档题.‎ ‎18.已知矩形所在的平面与地面垂直,点在地面上,设,,与地面成角(),如图所示,垂直地面,垂足为,点、到的距离分别为 ‎,记.‎ ‎(1)若,求的最大值,并求此时的值;‎ ‎(2)若的最大值为,求的值. ‎ ‎【答案】(1)时;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意可得,结合三角函数的性质可得最值以及的值;(2)化简可得,根据最值求出.‎ ‎【详解】(1)又 ‎ ,当且仅当,即时 ‎(2)‎ ‎ 当且仅当,即 时, 的最大值为 ‎,‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,求出表达式以及掌握三角函数的性质是解题的关键,属于中档题.‎ ‎19.启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下:如图所示圆O是圆形湖的边界,沿线段AB,BC,CD,DA建一个观景长廊,其中A,B,C,D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上,已知:BC=12百米,AB=8百米,在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭,且它们关于直线AC对称,在湖面建一条观景桥APC.观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计,设 ‎.‎ ‎(1)若观景长廊AD=4百米,CD=AB,求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积;‎ ‎(2)当时,求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值;‎ ‎(3)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内(不包括边界),试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值?若有,求出最大值,并写出此时的值;若没有,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)平方百米;(2)平方百米;(3)当=时,四边形ABCP内的湖面面积取到最大值, 最大值为32平方百米.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别在和中运用余弦定理,求出,进而可得和,根据即可得结果;(2)在中,可得,令,,在中,运用余弦定理可得,由基本不等式可得,由即可得结果;(3)先求出,计算出,进而可得结果.‎ ‎【详解】解:(1)∵四边形ABCD内接于圆O,∴ABC+ADC=‎ 在中,‎ 在中,‎ 解得,∴‎ ‎∴‎ ‎(平方百米)‎ ‎ 答:四边形ABCD内的湖面面积是平方百米.‎ ‎(2)∵=60,∴在中,=112‎ 令,, 在中,=112‎ ‎∴=112‎ ‎∵‎ ‎∴(当且仅当x=y时,取等号) ‎ ‎∵‎ ‎∴(平方百米)‎ 答:三角形区域ADC内的湖面面积最大值平方百米. ‎ ‎(3)∵点P和点D关于直线AC对称,‎ ‎∴APC=ADC,PC=CD=8‎ 由(1)知ABC+ADC=,∴ABC+APC=‎ ‎∵ABC=,∴APC=‎ ‎∵点P在区域内 ‎∴,∴ ‎ ‎∵在中,‎ 在中,‎ ‎∴‎ ‎ 解得或(舍去) ‎ ‎∵,∴四边形ABCP内的湖面面积有最大值,‎ ‎ 答:当=时,四边形ABCP内的湖面面积取到最大值,最大值为32平方百米 ‎【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,求出表达式以及掌握三角函数的性质是解题的关键,属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若函数在上存在单调增区间,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,证明:对于,总有 ‎【答案】(1);(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出的导数,将其转化为在区间内存在区间使得即在上能成立,根据函数的最小值即可确定的范围;(2)问题转化为证明,在上恒成立,构造函数,,求出的导数,判断出函数的单调性,从而证出结论.‎ ‎【详解】(1)由题,‎ 因为函数在存在单调增区间,‎ 故在区间内存在区间使得成立,‎ 即能成立,‎ 即在上能成立,‎ 而在的最小值是,‎ 故; ‎ ‎(2)若,则,‎ ‎,‎ 而,‎ 又因为,所以,‎ 要证原不等式成立,只要证,‎ 只要证,‎ 只要证,在上恒成立, ‎ 首先构造函数,,‎ 因为,‎ 可得,在时,,即在上是减函数,‎ 在时, ,即在上是增函数,‎ 所以,在上,,所以,‎ 所以,,等号成立当且仅当时, ‎ 其次构造函数,,‎ 因为,‎ 可见时,,即在上减函数,‎ 时, ,即在上是增函数,‎ 所以在上,,所以,‎ 所以,,等号成立当且仅当时. ‎ 综上所述,,‎ 因为取等条件并不一致,‎ 所以,在上恒成立,‎ 所以,总有成立.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,不等式的证明、函数的构造,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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