【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第40讲　空间点、直线、平面之间的位置关系学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第40讲　空间点、直线、平面之间的位置关系学案

第40讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲要求 考情分析 命题趋势 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，10‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，16‎ ‎2016·浙江卷，2‎ 空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力.‎ 分值：5分 ‎1．平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的__两点__在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ ‎(2)公理2：过__不在一条直线上__的三点，有且只有一个平面．‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有__一个__公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ ‎(4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；‎ 推论2：经过两条__相交__直线有且只有一个平面；‎ 推论3：经过两条__平行__直线有且只有一个平面．‎ ‎2．空间中两直线的位置关系 ‎(1)空间中两直线的位置关系 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的__锐角(或直角)__叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：____.‎ ‎(3)平行公理：平行于__同一条直线__的两条直线互相平行．‎ ‎(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__.‎ ‎3．直线与平面、平面与平面之间的位置关系 ‎(1)直线与平面的位置关系有__相交__、__平行__、__在平面内__三种情况．‎ ‎(2)平面与平面的位置关系有__平行__、__相交__两种情况．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　×　)‎ ‎(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A．(　×　)‎ ‎(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC．(　×　)‎ ‎(4)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(　√　)‎ ‎(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(　×　)‎ 解析 (1)错误．当两个平面平行时，把空间分成三部分．‎ ‎(2)错误．由公理3知应交于过点A的一条直线．‎ ‎(3)错误．应相交于直线BC，而非线段．‎ ‎(4)正确．因为若c∥b，则由已知可得a∥b，这与已知矛盾．‎ ‎(5)错误．异面或平行．‎ ‎2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　D　)‎ A．一定平行　　 B．一定相交 C．一定是异面直线　　 D．一定垂直 解析 因为b∥c，a⊥b，所以a⊥c，即a与c垂直．‎ ‎3．下列命题正确的个数为(　C　)‎ ‎①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；‎ ‎③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．‎ A．0　　 B．‎1　‎　‎ C．2　　 D．3‎ 解析 ①错误，②③正确．‎ ‎4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　D　)‎ A．相交或平行　　 B．相交或异面 C．平行或异面　　 D．相交、平行或异面 解析 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．‎ ‎5．如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E，F分别是AB ，AD的中点，则异面直线B‎1C与EF所成的角的大小为__60°__.‎ 解析 连接B1D1，D‎1C，则B1D1∥EF，故∠D1B‎1C为所求，又B1D1＝B‎1C＝D‎1C，∴∠D1B‎1C＝60°.‎ 一　平面的基本性质及应用 用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法 ‎(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．‎ ‎(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．‎ ‎(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．‎ ‎【例1】 以下四个命题中，正确命题的个数是(　B　)‎ ‎①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；‎ ‎③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ A．0　　 B．‎1　‎　‎ C．2　　 D．3‎ 解析 ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确，故选B．‎ ‎【例2】 已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC．求证：‎ ‎(1)E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)直线FH，EG，AC共点．‎ 解析 (1)连接EF，GH，‎ ‎∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD．‎ 又∵CG＝BC，CH＝DC，‎ ‎∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)由(1)知FH与直线AC不平行，但共面，‎ ‎∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC．‎ 又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG.∴FH，EG，AC共点．‎ 二　空间两条直线的位置关系 判断空间两条直线的位置关系的方法 ‎(1)异面直线，可采用直接法或反证法．‎ ‎(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理．‎ ‎(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．‎ ‎【例3】 如图所示，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M，N分别是A1B1，B‎1C1的中点．问：‎ ‎(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；‎ ‎(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．‎ 解析 (1)不是异面直线．理由如下：‎ 连接MN，A‎1C1，AC．‎ ‎∵M，N分别是A1B1，B‎1C1的中点，∴MN∥A‎1C1.‎ 又∵A1AC‎1C，∴A1ACC1为平行四边形．‎ ‎∴A‎1C1∥AC，∴MN∥AC，‎ ‎∴A，M，N，C在同一平面内，‎ 故AM和CN不是异面直线．‎ ‎(2)是异面直线．证明如下：‎ ‎∵ABCD－A1B‎1C1D1是正方体，∴B，C，C1，D1不共面．‎ 假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，‎ ‎∴D1，B，C，C1∈α矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．‎ 三　两条异面直线所成的角 两异面直线所成角的作法及求解步骤 ‎(1)找异面直线所成的角的三种方法：‎ ‎①利用图中已有的平行线平移．‎ ‎②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移．‎ ‎③补形平移．‎ ‎(2)求异面直线所成的角的三个步骤：‎ ‎①作：通过作平行线，得到相交直线．‎ ‎②证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角．‎ ‎③算：通过解三角形，求出该角．‎ ‎【例4】 (2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是__②③__(填写所有正确结论的编号)．‎ 解析 由题意，AB是AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝，∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．‎ 由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，‎ ‎∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．‎ ‎∴正确的说法为②③.‎ ‎1．下列命题中正确的个数是(　A　)‎ ‎①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；‎ ‎②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；‎ ‎③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；‎ ‎④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β.‎ A．0　　 B．‎1　‎　‎ C．2　　 D．3‎ 解析 对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；对于②，在如图1所示的三棱锥P－ABC中，PB⊥面ABC，BA⊥BC，满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故②错误；对于③，在如图2所示的三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝AC＝PA＝2，PB＝PC＝3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥P－ABC不是正三棱锥，故③错误；对于④，直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α，β可以平行，故④错误．所以正确命题的个数为0，选A．‎ ‎2．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是　(　C　)‎ A．两条相交直线　　　　 B．两条平行直线 C．两个点　　　 D．一条直线和直线外一点 解析 如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C．‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B‎1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　C　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． 解析 如图所示，将直三棱柱ABC－A1B‎1C1补成直四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝.在△B1D‎1C1中，∠B‎1C1D1＝60°，B‎1C1＝1，D‎1C1＝2，所以B1D1＝＝，所以cos ∠B1AD1＝＝，故选C．‎ ‎4．如图，在直二面角E－AB－C中，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝2，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.‎ ‎(1)证明：FB⊥平面PAC；‎ ‎(2)求异面直线PC与AB所成的角的余弦值．‎ 解析 (1)证明：易得FB＝4，cos ∠PFA＝cos ∠BFA＝，‎ 在△PAF中，由余弦定理得 PA＝＝＝.‎ ‎∵PA2＋PF2＝3＋9＝12＝AF2，∴PA⊥BF.‎ ‎∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，AB⊥AC，∴AC⊥平面ABEF.∵BF⊂平面ABEF，∴AC⊥BF.‎ ‎∵PA∩AC＝A，∴BF⊥平面PAC．‎ ‎(2)过P作PM∥AB，PN∥AF，分别交BE，BA于M，N，∠MPC或其补角为PC与AB 所成的角．连接MC，NC．‎ 易得PN＝MB＝，AN＝，NC＝＝，BC＝2，PC＝＝，MC＝＝，‎ cos ∠MPC＝＝＝－.‎ ‎∴异面直线PC与AB所成的角的余弦值为.‎ 易错点　忽视位置关系 错因分析：考虑问题不全面，忽略元素存在的多种可能性，导致丢解．‎ ‎【例1】 设平面α，β满足α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于S，若SA＝18，SB＝9，CD＝34，求SC的长度．‎ 解析 设相交直线AB，CD确定的平面γ，则γ∩α＝AC，‎ γ∩β＝BD，由α∥β，得AC∥BD．‎ ‎①当S点在两平面的同侧时，如图1，因为AC∥BD，‎ 所以＝，即＝，所以SC＝68.‎ ‎②当S点在两平面之间时，如图2，因为AC∥BD，所以＝＝，即＝，解得SC＝.‎ 综上知SC＝68或SC＝.‎ ‎　　‎ ‎【跟踪训练1】 若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(　D　)‎ A．l∥α　　　　 B．l⊥α C．l与α相交且不垂直　　　　 D．l∥α或l⊂α 解析 由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α 时也成立．‎ 课时达标　第40讲 ‎[解密考纲]考查点、线、面的位罝关系常以选择题或填空题的形式出现．‎ 一、选择题 ‎1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的(　C　)‎ A．充要条件　　 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件 解析 直线a，b平行时，由“l⊥a，l⊥b”⇒/　“l⊥α”；“l⊥α”⇒“l⊥a，l⊥b”，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．‎ ‎2．如图所示，ABCD－A1B‎1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A‎1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　A　)‎ A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析 连接A‎1C1，AC，则A‎1C1∥AC，‎ ‎∴A1，C1，C，A四点共面．‎ ‎∴A‎1C⊂平面ACC‎1A1.‎ ‎∵M∈A‎1C，∴M∈平面ACC‎1A1.‎ 又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC‎1A1与AB1D1的公共点．‎ 同理O，A为平面ACC‎1A1与平面AB1D1的公共点．‎ ‎∴A，M，O三点共线．‎ ‎3．正方体A‎1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　A　)‎ A．相交　　 B．异面 C．平行　　 D．垂直 解析 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．‎ ‎4．已知空间中有三条线段AB，BC和 CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(　D　)‎ A．AB∥CD B．AB与CD异面 C．AB与CD相交 D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交 解析 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．‎ ‎5.如图，直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BCA＝90°，点D1，F1分别是A1B1，A‎1C1的中点，若BC＝CA＝CC1＝1，则 BD1与AF1所成角的余弦值为(　A　)‎ A．　　 B． C．　　 D． 解析 取BC的中点E，连接EF1，EA，则可知∠EF‎1A为BD1与AF1所成的角，在△AEF1中，可求得F1E＝，AF1＝，AE＝，由余弦定理得，cos∠EF‎1A＝＝，故选A．‎ ‎6．如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝AB1，BN＝BC1.给出下列结论：①AA1⊥MN；②A‎1C1∥MN；③MN∥平面A1B‎1C1D1；④B1D1⊥MN.其中正确结论的个数是(　B　)‎ A．1　　 B．‎2　‎　‎ C．3　　 D．4‎ 解析 在BB1上取一点P，使BP＝BB1，连接PN，PM.∵点M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝AB1，BN＝BC1，∴PN∥B‎1C1，PM∥A1B1.又∵PN∩PM＝P，B‎1C1∩A1B1＝B1，∴平面PMN∥平面A1B‎1C1D1.∵MN⊂平面PMN，∴MN∥平面A1B‎1C1D1.又∵AA1⊥平面PMN，∴AA1⊥MN.故①③正确．分别作MM1∥BB1，NN1∥CC1，交A1B1，B‎1C1于点M1，N1，连接M1N1，则M1N1不平行于A‎1C1，∴MN与A‎1C1不平行．又∵A‎1C1⊥B1D1，∴B1D1与MN不垂直，故②④不正确．∴正确结论的个数是2，故选B．‎ 二、填空题 ‎7．下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是__①②③__.‎ 解析 在④图中，可证Q点所在棱与平面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示，取A‎1A与BC的中点为M，N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．‎ ‎8．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有__6__对．‎ 解析 由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．‎ ‎9．如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C‎1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线MN与AC所成的角为60°.‎ 其中正确的结论为__③④__(填所有正确结论的序号)．‎ 解析 AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D‎1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D‎1C与AC所成的角，为60°.‎ 三、解答题 ‎10．如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A‎1M与DN所成的角的大小．‎ 解析 如图，连接D‎1M，可证D‎1M⊥DN.‎ 又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，‎ A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，‎ ‎∴DN⊥A‎1M，‎ 即异面直线A‎1M与DN所成的夹角为90°.‎ ‎11．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H 分别为 FA, FD的中点．‎ ‎(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．‎ ‎(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？‎ 解析 (1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GHAD．‎ 又BCAD，∴GHBC．‎ ‎∴四边形BCHG为平行四边形．‎ ‎(2)由BEAF，G为FA的中点知，BEFG，‎ ‎∴四边形BEFG为平行四边形．‎ ‎∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．‎ 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．‎ ‎12．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E 是 PC 的中点．‎ ‎(1)求证：AE与PB是异面直线；‎ ‎(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；‎ ‎(3)求三棱锥A－EBC的体积．‎ 解析 (1)证明：假设AE与PB共面，设此平面为α.‎ 因为A∈α，B∈α，E∈α，所以平面α即为平面ABE，‎ 所以P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．‎ ‎(2)取BC的中点F，连接EF，AF，‎ 则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角，‎ 因为∠BAC＝60°，‎ PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，‎ 所以AF＝，AE＝，EF＝，‎ 由余弦定理得cos ∠AEF＝＝，‎ 所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.‎ ‎(3)因为E是PC的中点，所以点E到平面ABC的距离为PA＝1，‎ VA－EBC＝VE－ABC＝××1＝.‎