2018届二轮复习（理）　　三角函数的图象与性质学案（全国通用）

2018届二轮复习（理）　　三角函数的图象与性质学案（全国通用）

第1讲　三角函数的图象与性质 ‎1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．‎ ‎2．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．‎ 热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 ‎1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．‎ ‎2．同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.‎ ‎3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．‎ 例1　(1)(2017·江西省百校联盟联考)已知角α的终边经过点(，)，若α＝，则m的值为(　　)‎ A．27 B. C．9 D. 答案　B 解析　由正切函数的定义，可得tan ＝，即m＝，即m＝，所以m＝－6＝3－3＝，故选B.‎ ‎(2)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．‎ 答案　－1‎ 解析　∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α，‎ ‎∴tan α＝－2.‎ 又∵2sin αcos α－cos2α＝＝，‎ ‎∴原式＝＝－1.‎ 思维升华　(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．‎ ‎(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．‎ 跟踪演练1　(1)(2017届临沂期中)若点在角α的终边上，则sin α的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　sin α＝＝＝cos ＝－，‎ 故选A.‎ ‎(2)如图，以Ox为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________.‎ 答案　 解析　由三角函数定义，得cos α＝－，sin α＝，‎ ‎∴原式＝＝＝2cos2α＝2×2＝.‎ 热点二　三角函数的图象及应用 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 ‎(1)“五点法”作图：‎ 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．‎ ‎(2)图象变换：‎ y＝sin xy＝sin(x＋φ)‎ y＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)．‎ 例2　(1)(2017届宝鸡市教学质量检测)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　A 解析　y＝cos＝sin＝sin，‎ 所以函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，故选A.‎ ‎(2)(2017届安庆二模)设函数y＝sin ωx(ω>0)的最小正周期是T，将其图象向左平移T后，得到的图象如图所示，则函数y＝sin ωx(ω>0)的单调递增区间是(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 答案　A 解析　方法一　由已知图象知，y＝sin ωx(ω>0)的最小正周期是2×＝，所以＝，解得ω＝，所以y＝sin x.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)．‎ 方法二　因为T＝，所以将y＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移T后，所对应的解析式为y＝sin ω.‎ 由图象知，ω＝，所以ω＝，‎ 所以y＝sinx.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)．‎ 思维升华　(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．‎ ‎(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．‎ 跟踪演练2　(1)(2017·温州模拟)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 3x的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　A 解析　因为y＝cos 3x＝sin＝sin 3，且y＝sin＝sin 3，－＝，所以应将y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度，即可得到函数y＝sin的图象．故选A.‎ ‎(2)(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图，则S＝f(1)＋…＋f(2 017)等于(　　)‎ A．0 B. C. D. 答案　C 解析　由题设中提供的图象信息可知 解得A＝，b＝1，T＝4⇒ω＝＝，‎ 所以f(x)＝sin＋1，‎ 又f(0)＝sin＋1＝sin φ＋1＝1⇒sin φ＝0，可得φ＝kπ，‎ 所以f(x)＝sin＋1，由于周期T＝4，‎ ‎2 017＝504×4＋1，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，‎ 所以S＝f(1)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＝2 016＋f(2 017)＝2 016＋f(1)＝2 016＋＝，故选C.‎ 热点三　三角函数的性质 ‎1．三角函数的单调区间：‎ y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；‎ y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；‎ y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)．‎ ‎2．y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．‎ y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；‎ 当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；‎ 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．‎ 例3　(2017届山东潍坊市联考)设函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋(ω ‎>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)若函数y＝f(x＋φ)(0<φ<)是奇函数，求函数g(x)＝cos(2x－φ)在[0,2π]上的单调递减区间. ‎ 解　(1)f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋ ‎＝sin 2ωx－＋ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin，‎ 设T为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为，得 ‎∴2＋[2f(x)max]2＝π2＋4，‎ ‎∵f(x)max＝1，∴2＋4＝π2＋4，整理得T＝2π.‎ 又ω>0，T＝＝2π，∴ω＝.‎ ‎(2)由(1)可知f(x)＝sin，‎ ‎∴f(x＋φ)＝sin.‎ ‎∵y＝f(x＋φ)是奇函数，则sin＝0，‎ 又0<φ<，∴φ＝，‎ ‎∴g(x)＝cos(2x－φ)＝cos.‎ 令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，‎ 则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴单调递减区间是，k∈Z.‎ 又∵x∈[0,2π]，‎ ‎∴当k＝0时，递减区间是；‎ 当k＝1时，递减区间是.‎ ‎∴函数g(x)在[0,2π]上的单调递减区间是，.‎ 思维升华　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；‎ 第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．‎ 跟踪演练3　已知函数f(x)＝4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期是π.‎ ‎(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ 解　(1)f(x)＝4cos ωx·sin ‎＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1－1‎ ‎＝sin 2ωx－cos 2ωx－1‎ ‎＝2sin－1，‎ 最小正周期是＝π，所以ω＝1，‎ 从而f(x)＝2sin－1.‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.‎ ‎(2)当x∈时，∈，‎ ‎2sin∈，‎ 所以f(x)在上的最大值和最小值分别为1，－1.‎ 真题体验 ‎1．(2017·山东改编)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为________．‎ 答案　π 解析　y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，T＝＝π.‎ ‎2．(2017·全国Ⅰ改编)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是________．(填序号)‎ ‎①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2；‎ ‎②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2；‎ ‎③把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2；‎ ‎④把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.‎ 答案　④‎ 解析　因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.‎ ‎3．(2017·天津改编)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.‎ 答案　　 解析　∵f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，‎ ‎∴f(x)＝2sin.‎ ‎∴2sin＝2.‎ 得φ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.‎ ‎4．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________．‎ 答案　 解析　f(x)＝2cos x＋sin x＝，‎ 设sin α＝，cos α＝，‎ 则f(x)＝sin(x＋α)，‎ ‎∴函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为.‎ 押题预测 ‎1．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 押题依据　本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错．‎ 答案　A 解析　由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T＝π，‎ 所以ω＝＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x.‎ 把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin＝sin，所以要得到函数g(x)的图象，只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可．故选A.‎ ‎2．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为(　　)‎ A. B. C．8 D．16‎ 押题依据　由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查了数形结合思想．‎ 答案　B 解析　由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．‎ 则M，由两点间距离公式，得PM＝＝2，‎ 解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，由此得＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，‎ 由P(2,0)得φ＝－，代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)，得f(x)＝Asin，‎ 从而f(0)＝Asin＝－8，得A＝.‎ ‎3．已知函数f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x.‎ ‎(1)若x是某三角形的一个内角，且f(x)＝－，求角x的大小；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值．‎ 押题依据　三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．‎ 解　(1)∵f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin 2x ‎＝cos 2x－sin 2x＝＝cos，‎ ‎∴f(x)＝cos＝－，‎ 可得cos＝－.‎ 由题意可得x∈(0，π)，‎ 可得2x＋∈，‎ 可得2x＋＝或，‎ ‎∴x＝或.‎ ‎(2)∵x∈，2x＋∈，‎ ‎∴cos∈，‎ ‎∴f(x)＝cos∈[－，1]．‎ ‎∴f(x)的最小值为－，此时2x＋＝π，即x＝.‎ A组　专题通关 ‎1．已知tan α＝3，则的值为(　　)‎ A．－ B．－3‎ C. D．3‎ 答案　A 解析　＝＝－＝－.‎ ‎2．(2017届山东省济宁市模拟)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　C 解析　由题意得cos 2x＝sin ‎＝sin，‎ 因此只需要将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度即可得到函数y＝sin的图象，故选C.‎ ‎3．(2017届大庆市教学质量检测)已知f(x)＝sin x＋cos x (x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　已知f＝sin x＋cos x＝2sin，‎ y＝f＝2sin关于直线x＝0对称，‎ 所以f＝2sin＝±2，‎ 所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，‎ 当k＝0时，φ＝，故选B.‎ ‎4．(2017届沈阳市郊联体期末)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点(　　)‎ A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 答案　A 解析　观察图象知，A＝1，T＝2＝π，ω＝＝2，即y＝sin(2x＋φ)；将点 代入得sin＝0，结合|φ|≤，得φ＝，所以y＝sin.‎ 故选A.‎ ‎5．(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－2π ‎ B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ ‎ D．f(x)在单调递减 答案　D 解析　A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；‎ B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；‎ C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；‎ D项，因为f(x)＝cos的递减区间为 (k∈Z)，递增区间为 (k∈Z)，所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误．故选D.‎ ‎6．(2017届安徽省合肥市模拟)已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin2α＋sin 2α＝________.‎ 答案　1或 解析　由sin 2α－2＝2cos 2α，得sin 2α－2(1＋cos 2α)＝0，即2sin αcos α－4cos2α＝0，所以cos α＝0或tan α＝2.‎ 当cos α＝0时，sin2α＋sin 2α＝1－cos2α＋2sin αcos α＝1；‎ 当tan α＝2时，sin2α＋sin 2α＝＝＝＝，‎ 故答案为1或.‎ ‎7．(2017·浙江省温州中学模拟)函数f(x)＝2cos2x＋cos ‎－1，则函数的最小正周期为_____，在[0，π]内的一条对称轴方程是________________．‎ 答案　π　x＝或x＝中的一条 解析　因为f(x)＝1＋cos 2x＋cos 2x＋sin 2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以最小正周期T＝＝π；解sin＝±1，得2x＝kπ＋，也即x＝＋(k∈Z)是对称轴方程，由于x∈[0，π]，‎ 所以x＝或x＝.‎ ‎8．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．‎ 答案　1‎ 解析　f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－2＋1.‎ ‎∵x∈，∴cos x∈[0,1]，‎ ‎∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.‎ ‎9．(2017届湖南省长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学联考)若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间上的最小值大于零，则a的取值范围是________．‎ 答案　(1，＋∞)‎ 解析　因为f(x)＝1－2sin2x＋asin x，令sin x＝t，因为x∈，故t∈，则函数f(t)＝－2t2＋at＋1是开口向下，对称轴为t＝的抛物线，由于f(1)＝a－1，‎ f ＝(a＋1)，结合图象可知，⇒a>1.‎ ‎10．(2017·河北省衡水中学二调)已知向量m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，设函数f(x)＝m·n＋b.‎ ‎(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)在(1)的条件下，当x∈时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．‎ 解　m＝(sin ωx,1)，n＝(cos ωx，cos2ωx＋1)，‎ f(x)＝m·n＋b＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋1＋b ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋＋b＝sin＋＋b.‎ ‎(1)∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴2ω·＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 解得ω＝3k＋1(k∈Z)，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，‎ ‎∴f(x)＝sin(2x＋)＋＋b，‎ 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin＋＋b，‎ ‎∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递增；‎ 当2x＋∈，即x∈时，函数f(x)单调递减．‎ 又f(0)＝f ，‎ ‎∴当f >0≥f 或f ＝0时，函数f(x)有且只有一个零点．‎ 即sin ≤－b－0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝f 且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．‎ 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴－2asin∈[－2a，a]．‎ ‎∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，‎ ‎∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝－4sin－1，‎ ‎∴g(x)＝f ＝－4sin－1‎ ‎＝4sin－1.‎ 又由lg g(x)>0，得g(x)>1，‎ ‎∴4sin－1>1，∴sin>，‎ ‎∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，‎ g(x)单调递增，即kπ

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