【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第9讲第2课时最值、范围、证明问题作业
对应学生用书[练案63理][练案58文]
第二课时 最值、范围、证明问题
A组基础巩固
一、选择题
1．(2019·北京模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，离心率e∈[，2]，则两条渐近线的夹角θ的取值范围是( B )
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
[解析] 由≤e≤2，得≤≤2，≤≤2，∴1≤≤，故两条渐近线的夹角θ的取值范围为[，]．
2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( D )
A．5 B．＋
C．7＋ D．6
[解析] 设Q点坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0,6)，故|QC|＝①，因为＋n2＝1②，联立①②，|QC|＝，因为－1≤n≤1，故当n＝－时，|QC|有最大值，最大值为5，所以|PQ|max＝|QC|max＋＝6.
3．(2019·深圳模拟)M是抛物线y2＝x上的一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称圆⊙C上的一点，则|MN|的最小值是( A )
A．－1 B．－1
C．－1 D．－1
[解析] 如图所示，设(－1,4)关于x－y＋1＝0的对称点是P(x0，y0)，
则解得
故⊙C的方程是(x－3)2＋y2＝1.
设M(x，y)，
则|MP|2＝(x－3)2＋y2
＝x2－5x＋9＝(x－)2＋，
∴|MP|的最小值为，
∴|MN|的最小值为－1.
4．已知P为椭圆＋＝1上一个动点，过点P作圆(x＋1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别是A，B，则·的取值范围为( C )
A．[，＋∞) B．[，]
C．[2－3，] D．[2－3，＋∞)
[解析] 记圆心为F(－1,0)，∠APB＝2θ，则有·＝|PA|2·cos2θ＝|PA|2(1－2sin2θ)＝(|PF|2－1)(1－)＝|PF|2＋－3，其中|PF|∈(1,3]．记f(x)＝x＋－3，x＝|PF|2∈(1,9]，则f′(x)＝1－＝，当1
0，f(x)在区间(，9]上单调递增．因此，函数f(x)的值域是[2－3，]，即·的取值范围为[2－3，]，选C．
二、填空题
5．(2019·河南安阳)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为__4___.
[解析] 因为椭圆＋＝1的两焦点坐标分别为(－1，0)，(1,0)，离心率为，故双曲线C的离心率为2，c＝1，从而a＝，|PF2|≥，所以＝＝|PF2|＋＋4a＝|PF2|＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当|PF2|＝1时，等号成立)．
6．(2019·福建模拟)已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，
双曲线以A，B为焦点，且与线段CD有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 [＋1，＋∞) .
[解析] 以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，双曲线方程为－＝1(0|AB|，
所以点M的轨迹E是以A(－1,0)，B(1,0)为焦点且长轴长为4的椭圆，
由于M，A，B三点不共线，所以y≠0，
所以E的方程为＋＝1(y≠0)．
(2)设直线PQ的方程为x＝my＋1，
代入3x2＋4y2＝12，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
所以·＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(my1＋1)(my2＋1)＋2(my1＋1＋my2＋1)＋4＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋3m(y1＋y2)＋9＝－＋9＝>0.
所以∠PDQ不可能为直角．
8．(2019·山西模拟)设椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在x轴上，A(0，－1)为顶点，故b＝1，
右焦点(c,0)到直线x－y＋2＝0的距离为3，即＝3，c＝，则a2＝b2＋c2＝3，故椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由消去y整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∵直线与椭圆交于不同的两点，
故Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0得3k2－m2＋1>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)的中点为Q(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，所以x0＝，y0＝，
|AM|＝|AN|等价于AQ垂直平分MN，
∴kAQ·k＝－1，即·k＝－1，
化简得2m＝3k2＋1>1，解得m>.
由解得00.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，
∴|BC|＝4，
又点A到直线l的距离d＝，
∴S△ABC＝×4×＝2·(3＋m)．
令＝t，t∈(1,2)，则m＝1－t2，
∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3.
令f(t)＝8t－2t3，则f′(t)＝8－6t2，
易知f(t)在(1，)上单调递增，在(，2)上单调递减，
∴当t∈(1,2)时，f(t)在t＝处取得最大值，最大值为.此时m＝－，满足－3b>0)，
由题意可知e2＝＝，得＝，a＝2b.
又由题意知2ab＝4，所以a＝2，b＝1，
椭圆方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)．
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝0，此时|AB|＝4>，与题意不符．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋3，
由消去y得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0，
所以Δ＝(6k)2－20(4＋k2)＝16k2－80>0，得k2>5，
则x1＋x2＝，x1·x2＝，
y1＋y2＝(kx1＋3)＋(kx2＋3)＝，
因为|AB|＝＝|x1－x2|，
＝·<，
解得－
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