山东省威海市文登区2019届高三三模考试数学（理）试题

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高三理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 注意事项：‎ 每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，按交集定义即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算，以及不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.若复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，再计算共轭复数得到答案.‎ ‎【详解】，则，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题得到答案.‎ ‎【详解】特称命题的否定是全称命题，‎ 故命题“”的否定是：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了特称命题的否定，意在考查学生的推断能力.‎ ‎4.已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，‎ 在中，，故，即.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎5.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图像得到函数的一个解析式为，再根据平移法则得到答案.‎ ‎【详解】设函数解析式为，‎ 根据图像：，，故，即，‎ ‎，，取，得到，‎ 函数向右平移个单位得到.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. 84‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.‎ ‎【详解】该几何体的直观图如图所示：‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎7.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由辅助角公式将所求的角化为与已知同角，再利用同角间的三角函数关系，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值，应用平方关系要注意角的范围判断，属于中档题.‎ ‎8.某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，‎ ‎，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）‎ A. 8年 B. 9年 C. 10年 D. 11年 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.‎ ‎【详解】依题意在回归直线上，‎ ‎，‎ 由，‎ 估计第年维修费用超过15万元.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.‎ ‎9.公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 当时，，当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 当时，，当时，，‎ 最小值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.‎ ‎10.函数在内有且只有一个零点，则a的值为（ ）‎ A. 3 B. －‎3 ‎C. 2 D. －2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ 若，，‎ 在单调递增，且，‎ 在不存在零点；‎ 若，，‎ 在内有且只有一个零点，‎ ‎.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.‎ ‎11.已知奇函数是上的减函数，若满足不等式组，则的最小值为（ ）‎ A. -4 B. ‎-2 ‎C. 0 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.‎ ‎【详解】奇函数是上的减函数，则，且，画出可行域和目标函数，‎ ‎，即，表示直线与轴截距的相反数，‎ 根据平移得到：当直线过点，即时，有最小值.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.‎ ‎12.设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，‎ ‎，，根据勾股定理计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：切点为，连接，作轴于，‎ ‎，故，‎ 在中，，故，故，，‎ 根据勾股定理：，解得.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 注意事项：‎ 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置.在试题卷上答题无效.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.展开式中的系数为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 变换，根据二项式定理计算得到答案.‎ ‎【详解】的展开式的通项为：，，‎ 取和，计算得到系数为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎14.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率．‎ ‎【详解】解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球，‎ 基本事件总数n126，‎ 其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白球和2个黄球，‎ 所以包含的基本事件个数m72，‎ ‎∴其中三种颜色的球都有的概率是p．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15.如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.‎ ‎【详解】根据图像：，，故，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎16.在△ABC中，∠BAC＝，AD为∠BAC的角平分线，且，若AB＝2，则BC＝_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求出长度关系，利用角平分线以及面积关系，求出边，再由余弦定理，即可求解.‎ ‎【详解】,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.‎ ‎（1）求cosC；‎ ‎（2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角关系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解；‎ ‎（2）在中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出，由正弦定理求出 ‎，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）在中，由（1）得，‎ ‎，‎ 由余弦定理得 ‎，‎ ‎，在中，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎18.在以为顶点的五面体中，底面为菱形，，，，二面角为直二面角.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结，证明平面得到答案.‎ ‎（Ⅱ）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）连接交于点，取中点，连结 因为为菱形，所以.‎ 因为，所以. ‎ 因为二面角为直二面角，所以平面平面，‎ 且平面平面，所以平面所以 ‎ 因为 所以是平行四边形，所以. ‎ 所以，所以，所以平面，‎ 又平面，所以. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知两两垂直，分别以为轴 建立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 设 ‎ 设平面的法向量为，由，‎ 取.‎ 平面的法向量为 . ‎ 所以二面角余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎19.改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们交通安全意识也需要不断加强.‎ 为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.‎ 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 ‎（Ⅰ）求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数的分布列及期望.‎ 附：，其中 ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）.0.2（Ⅱ）见解析，有 的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接根据频率和为1计算得到答案.‎ ‎（Ⅱ）完善列联表，计算，对比临界值表得到答案.‎ ‎（Ⅲ）的取值为，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ，解得.‎ 所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.‎ ‎（Ⅱ）‎ 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女性 ‎4‎ ‎46‎ ‎50‎ 合计 ‎20‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎，‎ 所以有的把握认为交通安全意识与性别有关 ‎（Ⅲ）的取值为 ‎ 所以的分布列为 期望.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎20.已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可；‎ ‎（2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.‎ ‎【详解】（1）抛物线的准线方程为，‎ ‎，直线，点F到直线l的距离为，‎ ‎，‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）依题意斜率不为0，又过点，设方程为，‎ 联立，消去得，，‎ ‎，设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 线段AB的中垂线交直线l于点Q，所以横坐标为3，‎ ‎，，‎ ‎，平方整理得，‎ 解得或（舍去），，‎ 所求的直线方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.设函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求导得到，讨论，，三种情况得到单调区间.‎ ‎（Ⅱ）设，要证，即证，，设，根据函数单调性得到证明.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ， ‎ 令，，‎ ‎（1）当，即时，，，在上单调递增； ‎ ‎（2）当，即时，设的两根为（），‎ ‎，‎ ‎①若，，时，，‎ 所以在和上单调递增， ‎ 时，，所以在上单调递减，‎ ‎②若，，时，，所以在上单调递减， 时，，所以在上单调递增. ‎ 综上，当时，在上单调递增；‎ 当时， 在和上单调递增，‎ 在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增. ‎ ‎（Ⅱ）不妨设，要证，‎ 即证，‎ 即证，‎ 由（Ⅰ）可知，，，可得，‎ ‎，‎ 所以有， ‎ 令，‎ ‎，‎ 所以在单调递增， 所以， ‎ 因为，所以，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）设直线与曲线交于，两点，求；‎ ‎（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，求取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）化简得到直线的普通方程化为，，是以点为圆心，为半径的圆，利用垂径定理计算得到答案.‎ ‎（Ⅱ）设，则，得到范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意可知，直线的普通方程化为，‎ 曲线的极坐标方程变形为，‎ 所以的普通方程分别为，是以点为圆心，为半径的圆，‎ 设点到直线的距离为，则， 所以. ‎ ‎（Ⅱ）的标准方程为，所以参数方程为（为参数），设，‎ ‎，‎ 因为，所以， ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若存在满足不等式，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或.（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分类讨论解绝对值不等式得到答案.‎ ‎（Ⅱ）讨论和两种情况，得到函数单调性，得到只需，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，不等式为，‎ 变形为或或，解集为或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 由此可知在单调递减，在单调递增， ‎ 当时，同样得到在单调递减，在单调递增，‎ 所以，存在满足不等式，只需，即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式存在性问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎