2018-2019学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先分解因式再解不等式.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以或，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎2．若 的三个内角满足,则（ ）.‎ A．一定是直角三角形 B．一定是钝角三角形 C．一定是锐角三角形 D．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】先根据正弦定理得边的关系，再根据余弦定理求最大角的余弦值，最后根据符号确定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以,‎ 因此最大角为C，设,则，所以C为钝角，即一定是钝角三角形，选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本分析与求解能力，属基础题.‎ ‎3．已知向量，，，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.‎ ‎4．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据不等式性质确定选项.‎ ‎【详解】‎ 当时，不成立；‎ 因为，所以；‎ 当时，不成立；‎ 当时，不成立；‎ 所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎5．平面向量与的夹角为60°,则（ ）‎ A． B．12 C．4 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据向量数量积定义得，再根据向量的模求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6．在中，角所对的边分别是,若，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：，则有，则有 ‎，即，即，则有，即，因为，‎ 所以，故有，解得，因为，所以，故选C.‎ ‎【考点】1.正弦定理；2.边角互化 ‎7．已知，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先寻找与、的关系，再根据不等式性质得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为+2（），所以，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8．若数列满足，记数列的前项积为，则下列说法错误的是（ ）‎ A．无最大值 B．有最大值 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求数列周期，再根据周期确定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以 因此数列为周期数列，，有最大值2，，‎ 因为,‎ 所以为周期数列，，有最大值4，,‎ 综上选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列周期，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎9．设等差数列的前项和为，且,则使得的最小的为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据条件得首项与公差关系，再结合选项判断符号.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以 当时，，‎ 当时，‎ 所以选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析判断能力，属中档题.‎ ‎10．数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎，‎ 所以，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.‎ 二、填空题 ‎11．已知等比数列满足：，且，则_____；_____‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据条件列方程组解得首项与公比，再求.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以或，‎ 因为，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列首项与公比，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎12．已知等差数列的前项和记为，若,则_____;_____‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据等差数列和项性质求.根据首项与公差求.‎ ‎【详解】‎ 因为等差数列中仍成等差数列，‎ 所以，‎ 因为,‎ 所以，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列求和公式以及性质，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎13．在中，角所对的边分别是，已知.若，则的面积为____；若有两解，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据等腰三角形性质可得的面积，根据正弦定理确定有两解条件.‎ ‎【详解】‎ 若，则,因此的面积为 由正弦定理得,‎ 因为有两解，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理以及三角形面积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ ‎14．已知 是不共线的两个单位向量， 若，则_____；若对任意的，都不可能垂直，则在上的投影为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据向量平行可列方程解得;先根据向量数量积探求的值，再根据向量投影公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为， 是不共线的两个单位向量，所以 由题意得, 对任意的恒成立，所以 所以在上的投影为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线、垂直与投影，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ ‎15．已知平面向量满足，则的夹角等于_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由向量垂直的充分必要条件可得，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可.‎ ‎【详解】‎ 由得，，即，‎ 据此可得：，‎ ‎，‎ 又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．已知中，的平分线交对边BC于点D，，且，则实数的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角形面积公式列函数关系式，再根据三角形内角范围求结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得,‎ 所以,‎ 即 ‎【点睛】‎ 本题考查三角形面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ ‎17．已知数列满足，且当时，，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】变形递推关系式，再根据叠乘法求结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，，所以，‎ 因此当时，‎ 所以 因为当时，，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用叠乘法求数列通项，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ 三、解答题 ‎18．已知函数 ‎（Ⅰ）若不等式的解集是，求实数的值;‎ ‎（Ⅱ）若，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据不等式解集与对应方程根的关系列式求解，（Ⅱ）分离变量，转化为求对应函数最值问题.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为不等式的解集是，‎ 所以为两根，且,‎ 因此 ‎（Ⅱ）因为，所以不等式可化为 因为当时,‎ 所以，因为，解得 ‎【点睛】‎ 本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及不等式恒成立问题，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ ‎19．在中，角所对的边分别是，已知的周长为，且 ‎（Ⅰ）求边的长；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理得边的关系，再根据周长求；（Ⅱ）根据三角形面积公式得的值，再根据余弦定理求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为，所以由正弦定理得,‎ 因为周长为，所以 ‎（Ⅱ）因为的面积为，所以，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ ‎20．如图，在梯形中，‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若,求数量积的值 ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根据向量数量积定义求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为，所以,,‎ 因此，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.‎ ‎21．设公差不为的等差数列中，且构成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列的前项和满足：，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据条件列方程解得公差，再根据等差数列通项公式得结果，（Ⅱ）先根据和项求通项，再根据错位相减法求和.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为构成等比数列，所以 ‎（0舍去）‎ 所以 ‎（Ⅱ）当时，‎ 当时，‎ ‎ ，‎ 相减得 所以 即 ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎22．已知数列满足， .‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）比较的大小，并用数学归纳法证明；‎ ‎（Ⅲ）设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据等比数列定义证明，（Ⅱ）先求，再根据数学归纳法证明，（Ⅲ）先化简，再利用裂项相消法求和得，最后根据最大值得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）‎ 且,是以3为首项，为公比的等比数列，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ ‎ ‎ ‎,下面用数学归纳法证明 ‎（1）当时,‎ ‎（2）假设当时,,‎ 当时,,即当时,结论成立，‎ 由（1）（2）得,‎ ‎（Ⅲ）因为 ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证等比数列、数学归纳法以及裂项相消法求和，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.‎