山东省济宁市嘉祥一中2020届高三第四次质量检测数学试题

山东省济宁市嘉祥一中2020届高三第四次质量检测数学试题

‎2020届山东省济宁市嘉祥一中高三第四次质量检测数学试题 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ 第Ⅰ卷选择题部分（单选和多选）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数（其中，i为虚数单位），则实数a值为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数和0的大小关系，可知虚部为0，即可结合不等式求得a的值.‎ ‎【详解】∵为正实数，‎ ‎∴且，‎ 解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的概念，虚数不能比较大小，当虚部为0时，复数变为实数才可比较大小，属于基础题.‎ ‎2.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴，‎ 故选A ‎3.已知，令，，，那么之间的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴，，，即，故选C．‎ 考点：对数函数与指数函数．‎ ‎4.已知一系列样本点…的回归直线方程为若样本点与的残差相同，则有()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】样本点残差为，样本点的残差为，依题意，故，所以选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎5.已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos，即可求得结果.‎ ‎【详解】由，两边同时平方得=，‎ 则有3=4+1+2=5+22cos，‎ ‎∴cos，，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.‎ ‎6.设为等差数列，p，q，k，l为正整数，则“”是“”的（）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式，得到等差数列公差的正负性和p，q，k，l之间的关系，结合充分性、必要性的定义选出正确答案即可.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 或，显然由不一定能推出，由也不一定能推出 ，‎ 因此是的既不充分也不必要条件，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了充要条件的判断.‎ ‎7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (‎ 即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（ ）‎ A. 100 B. ‎ C. 300 D. 400‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．‎ ‎【详解】设大圆锥的高为，所以，解得．‎ 故．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题．‎ ‎8.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，.若直线与曲线恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（ ）‎ A. （） B. （）‎ C. （） D. （）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数及条件，可知的对称轴及周期，由时的解析式，画出函数图像，结合函数图像即可求得直线与曲线恰有三个公共点时a的取值集合.‎ ‎【详解】定义在R上的偶函数满足，‎ 所以的图像关于对称，且为周期是2的偶函数，‎ 当时，，所以画出函数图像如下图所示：‎ ‎①当时，结合图像可知与（）有两个公共点；‎ ‎②当与（）相切时，满足，即，令，解得.‎ 当时，结合图像可知与（）有两个公共点；‎ 由图像可知， 时，直线与（）有三个公共点；‎ 又因为周期，可知（）. ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性、单调性与周期性的综合应用，直线与曲线交点问题的求法，数形结合的综合应用，属于中档题.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.已知点P为所在平面内一点，且，若E为的中点，F为的中点，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 向量与可能平行； B. 向量与可能垂直；‎ C. 点P在线段上； D. .‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意并根据平面向量线性运算可知，，代入等式可得，即可判断C和D；根据平面向量线性运算，可判断A和B.‎ ‎【详解】根据题意，E为的中点，F为的中点，‎ 结合平面向量的线性运算可知则，，‎ 代入可得，‎ 则点P在线段上，且，所以C正确.‎ 而由平面向量线性运算可知，向量与不可能平行，但可能垂直，所以B正确.‎ 由以上可知，正确的为BC.‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量线性运算，向量共线基本定理的简单应用，属于基础题.‎ ‎10.设函数, 已知在有且仅有个零点.下述四个结论中正确的是（ ）‎ A. 在有且仅有个最大值点 B. 在有且仅有个最小值点 C. 在单调递增 D. 的取值范围是 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求已知求出的范围，然后再结合的图象判断选择支是否正确．‎ ‎【详解】由于，，而在有且仅有个零点，‎ 所以，解得，D正确；‎ 因此只有满足的是在上的最大值点，共3个，A正确；‎ 满足的显然是在上的最小值点，但当接近时，，也是一个最小值点，这时有3个最小值点，B错；‎ 当时，由，所以是递增的，C正确．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题时掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．把作为一个整体，函数就可与进行类比．‎ ‎11.如果对于函数定义域内任意的两个自变量的值，，当时，都有，且存在两个不相等的自变量值，，使得，就称为定义域上的“不严格的增函数”.下列所给的四个函数中为“不严格增函数”的是（ ）‎ A. ； B. ；‎ C. ； D. .‎ ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义，结合函数的定义域和解析式，借助分析法和特殊值，即可判断各选项是否为“不严格的增函数”.‎ ‎【详解】由已知可知函数定义域内任意的两个自变量的值，，当时，都有，且存在两个不相等的自变量值，，使得，就称为定义域上的不严格的增函数.‎ A.，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；‎ B.，当，，，故不是不严格的增函数；‎ C.，满足条件，为定义在R上的不严格的增函数；‎ D.，当，，，故不是不严格的增函数，‎ 故已知的四个函数中为不严格增函数的是AC.‎ 故选：AC.‎ ‎【点睛】本题考查了函数新定义的简单应用，读懂题意是解决问题的关键，属于中档题.‎ ‎12.在棱长为1的正方体中，已知点P为侧面上的一动点，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 若点P总保持，则动点P的轨迹是一条线段；‎ B. 若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一段圆弧；‎ C. 若P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是一段抛物线；‎ D. 若P到直线与直线的距离比为，则动点P的轨迹是一段双曲线.‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面且平面平面，即可判断A；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B；作，，连接，作.建立空间直角坐标系，由即可求得动点P的轨迹方程，即可判断C；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.‎ ‎【详解】对于A，，且，所以平面，平面平面，故动点P的轨迹为线段，所以A正确；‎ 对于B，点P的轨迹为以A为球心、半径为的球面与面的交线，即为一段圆弧，所以B正确；‎ 对于C，作，，连接；作.由，在面内，以C为原点、以直线、、为x，y，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：‎ 设，则，化简得，P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C错误.‎ 对于D，由题意可知点P到点的距离与点P到直线的距离之比为，结合C中所建立空间直角坐标系，可得，所以，代入可得 ‎，化简可得，故点P的轨迹为双曲线，所以D正确.‎ 综上可知，正确的为ABD.‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体中截面的形状判断，空间直角坐标系的综合应用，轨迹方程的求法，属于难题.‎ 第Ⅱ部分非选择题部分（填空和解答）‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.的展开式中常数项为 ‎ ‎【答案】-33‎ ‎【解析】‎ 展开式通项为，令12-3r=0得：r=4,它的常数项是令12-3r=-3得：r=5,它的项系数为：；‎ 故展开式中常数项为:‎ ‎14.我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为（a，b，），把a，b，c叫做勾股数.下列给出几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，以此类推，可猜测第6组勾股数的第二个数是______.‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给示例，找出数据的排列规律和特征，即可确定第6组勾股数的第二个数.‎ ‎【详解】先找出所给勾股数的规律：①以上各组数均满足，最小的数a为奇数；‎ ‎②其余两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方是另两个连续整数的和.‎ 如；；；，‎ 依次类推，第六组的奇数为13，则，‎ 解得.‎ 故答案为：84.‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理在数与式推理中的简单应用，找到规律和特征是解决问题的关键，属于基础题.‎ ‎15.在中，，点D在边上，且，，则的面积最大值为______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可设，则，在中，由余弦定理求得的表达式，结合同角三角函数关系式，即可求得；根据三角形面积公式，表示出，结合二次函数性质即可确定三角形面积的最大值.‎ ‎【详解】设，‎ 则，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 解得，‎ 则由同角三角函数关系式可知，‎ 则由三角形面积公式可得 ‎，‎ 所以当时，.‎ 故答案为：9.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，同角三角函数关系式的应用，三角形面积的综合应用，根据二次函数性质求最值，属于中档题.‎ ‎16.双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点 为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则 ‎（1）双曲线的标准方程为______；‎ ‎（2）的内切圆半径与外接圆半径之比为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线方程可求得焦点坐标，由到其双曲线的渐近线的距离可求得再由双曲线中的关系即可求得双曲线标准方程；设点P在双曲线的右支上，，则，根据余弦定理求得，进而结合双曲线中焦点三角形面积公式求得内切圆半径，由正弦定理求得外接圆半径，即可求得的内切圆半径与外接圆半径之比.‎ ‎【详解】到其双曲线的渐近线的距离为，而抛物线的焦点，‎ ‎，‎ 则双曲线的标准方程为；‎ 设点P在双曲线的右支上，，则，‎ 则由余弦定理可得，‎ 解得，（舍去），‎ 设的内切圆和外接圆的半径分别为r，R，‎ ‎，‎ 解得，‎ 而由正弦定理可得，‎ 所以.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线标准方程的求法，双曲线几何性质的综合应用，焦点三角形面积公式的应用，三角形内切圆和外接圆半径求法，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，综合性强，属于中档题.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设为等差数列的前n项和，是正项等比数列，且，.在①，②，③这三个条件中任选一个，回答下列为题：‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）如果（m，），写出m，n的关系式，并求.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若选①②，结合等差数列与等比数列通项公式的基本量计算，即可求得公差和公比，即可求得数列和的通项公式；若选③，结合等差数列前n项和公式、等差数列与等比数列通项公式，即可求得公差和公比，即可求得数列和的通项公式；‎ ‎（2）根据数列和的通项公式，即可由得m，n的关系式，利用分组求和法即可求得.‎ ‎【详解】（1）若选①：‎ 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q（），‎ 则，‎ 解得或（舍），‎ 则，，‎ 若选②：‎ 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q（），‎ 则由得，‎ ‎，又，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 若选③：‎ 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q（），‎ 则，解得或（舍），‎ 则，.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式与等比数列通项公式的综合应用，等差数列求和与等比数列求和公式的应用，属于基础题.‎ ‎18.在三角形中，角所对的边分别为已知.‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角；‎ ‎（2）由正弦定理可得，将转化为关于的三角函数，利用三角函数的性质求出取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 由正弦定理，，即 ‎ 由余弦定理，，‎ 又 ‎ ‎（2）因为且，由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于中档题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，，平面平面，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平面与平面垂直的性质，结合线面垂直性质即可判定；‎ ‎（2）取中点O，连接，，可证明，进而建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面和平面的法向量，即可由空间向量法求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：在四棱锥中，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 又因为，平面，‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以.‎ ‎（2）取中点O，连接，，‎ 因为，所以.‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 因为平面，所以平面，所以，.‎ 因为，，，所以，，‎ 所以四边形是平行四边形，所以.‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，.‎ ‎，.‎ 设平面的法向量为，则 即令，则，，所以.‎ 因为平面的法向量，‎ 所以 由图可知二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质，线面垂直性质的应用，由空间向量法求二面角大小，属于中档题.‎ ‎20.某摄影协会在2019年10月举办了主题“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头，记录了国强民富的幸福生活，向祖国母亲70岁的生日献了一份厚礼.摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎（i）利用该正态分布，求；‎ 附：，若，则，，.‎ ‎（ii）摄影协会从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“讲述图片背后的故事”座谈会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）60；180；（2）（i）0.3413；（ii）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图，即可由平均数求法求得这100位作者年龄的样本平均数；结合方差公式即可求得这100位作者年龄的样本方差；‎ ‎（2）（i）结合（1）可得正态分布，即可由参考数据计算得解.‎ ‎（ii）根据分层抽样方法特征可知抽取的这7人中年龄在内有3人，在内有4人，所以Y可能的取值为0，1，2，3，分别求得各组的概率，即可得变量Y的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】（1）这100位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为 ‎（i）由（1）知，，‎ 从而；‎ ‎（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人，故Y可能的取值为0，1，2，3‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以Y的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以Y的数学期望为 ‎【点睛】本题考查了由频率分布直方图求平均数和方差的方法，正态分布曲线求指定区间的概率，原则的应用，分层抽样的应用，离散型随机变量分布列与数学期望的求法，属于中档题.‎ ‎21.已知直线l：与曲线C：（，）交于不同的两点A，B，O为坐标原点.‎ ‎（1）若，，求证：曲线C是一个圆；‎ ‎（2）若曲线C过、，是否存在一定点Q，使得为定值？若存在，求出定点Q和定值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，定点， ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线l与曲线C的交点为，，由两点间距离公式及可得，将A，B代入曲线方程，作差化简变形即可证明 ‎，因而可知曲线C是一个圆；‎ ‎（2）由曲线C过、，可得曲线C为椭圆，且求得标准方程，假设存在点 ，设交点为，，联立直线与椭圆，并由韦达定理表示出，,由平面向量数量积的坐标运算，代入化简即可确定所过定点坐标，亦可求得的值.‎ ‎【详解】（1）证明：设直线l与曲线C的交点为，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎∴‎ ‎∵A，B曲线C上，‎ ‎∴，，‎ ‎∴两式相减得 ‎∴即,所以，‎ ‎∴曲线C是一个圆.‎ ‎（2）由题意知，椭圆C的方程为,‎ 假设存在点 ，设交点为，，‎ 由得，,‎ ‎，,‎ 直线l：恒过椭圆内定点，故恒成立.‎ 当时，即，时,‎ 故存在定点，不论k为何值，为定值.‎ ‎【点睛】本题考查了圆方程的特征，直线与椭圆位置关系的综合应用，解析几何与向量的综合，椭圆中的定点求法，平面向量数量积的应用，属于难题.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）过点存在几条直线与曲线相切，并说明理由；‎ ‎（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）增区间为，，单调减区间为；（2）三条切线，理由见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对求导，分别令，，得到的单调区间；‎ ‎（2）设切点坐标为，利用导数得切线斜率，表示出切线方程，代入过点 ‎，得到的方程，解出的值，从而得到结论；‎ ‎（3）设，分为，，进行讨论，易得，时的情况，当时，易得时成立，时，令，利用导数，得到，从而得到的范围.‎ ‎【详解】（1），‎ 得，或；‎ 得，； ‎ 所以的单调增区间为，；单调减区间为； ‎ ‎（2）过点可做的三条切线；理由如下：‎ 设切点坐标为，‎ 所以切线斜率 所以过切点的切线方程为：，‎ 切线过点，代入得，‎ 化简得，‎ 方程有三个解，，，，即三个切点横坐标，‎ 所以过点可做的三条切线.‎ ‎（3）设，‎ ‎①时，因为，，所以显然对任意恒成立；‎ ‎②时，若，则不成立，‎ 所以不合题意 ‎ ‎③时，时，显然成立，‎ 只需考虑时情况；‎ 转化为对任意恒成立 令（），‎ 则，‎ ‎，‎ 当时，，单调减；‎ 当时，，单调增；‎ 所以，‎ 所以.‎ 综上所述，的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数的几何意义求函数的切线，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.‎