江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）数学试题含附加题（解析版）

江苏省苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）数学试题含附加题（解析版）

‎2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）‎ 数学I 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知i为虚数单位，复数，则＝ ．‎ ‎2．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为 ．‎ ‎3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝ ．‎ ‎5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 ．‎ ‎6．右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为 ．‎ ‎ ‎ ‎7．“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝‎2”‎的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．‎ ‎8．已知等差数列的前n项和为，，，则＝ ．‎ ‎9．已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．‎ ‎10．已知，(，)，则＝ ．‎ ‎11．如图在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2．分别以A，D为圆心，1为半经作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）‎ 绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．‎ ‎12．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是 ．‎ ‎13．若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是 ．‎ ‎14．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为 ．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）已知a＝，B＝，求△ABC的面积．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．‎ ‎（1）证明：AP∥平面EBD ；‎ ‎（2）证明：BE⊥PC．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M ），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．‎ ‎（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；‎ ‎（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数(mR)的导函数为．‎ ‎（1）若函数存在极值，求m的取值范围；‎ ‎（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mR，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列，，数列满足，n．‎ ‎（1）若，，求数列的前2n项和；‎ ‎（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．‎ 第II卷（附加题，共40分）‎ ‎21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sinq。‎ ‎（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标。‎ C．选修4—5：不等式选讲 已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值。‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.‎ ‎（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;‎ ‎（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.‎ ‎（1）求点G的轨迹方程；‎ ‎（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.‎ ‎2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）‎ 数学I 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知i为虚数单位，复数，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：复数 解析：．‎ ‎2．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为 ．‎ 答案：2‎ 考点：集合交集运算 解析：由题意知a﹣1＝1，得a＝2．‎ ‎3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．‎ 答案：0.08‎ 考点：方差 解析：首先求得，‎ ‎．‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝ ．‎ 答案：3‎ 考点：双曲线的渐近线 解析：由题意知：，∴a＝3．‎ ‎5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是 ．‎ 答案：‎ 考点：概率 解析：乙不输包括乙获胜或和棋，故P＝＋＝．‎ ‎6．右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为 ．‎ ‎ ‎ 答案：6‎ 考点：算法与流程图 解析：第一次：x＝4，y＝16，‎ ‎ 第二次：x＝5，y＝32，‎ ‎ 第三次：x＝6，y＝64，此时64＞10×6＋3，输出x，故输出x的值为6．‎ ‎7．“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝‎2”‎的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．‎ 答案：必要不充分 考点：两直线平行，充要性 解析：“直线l1：与直线l2：平行”等价于a＝±2，‎ 故“直线l1：与直线l2：平行”是“a＝2”的必要不充分条件．‎ ‎8．已知等差数列的前n项和为，，，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：等差数列及其性质 解析：．‎ ‎9．已知点M是曲线y＝2lnx＋x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．‎ 答案：‎ 考点：导数与切线，基本不等式 解析：，＝1时有最小值1，此时M(1，﹣2)，‎ ‎ 故切线方程为：，即．‎ ‎10．已知，(，)，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数，同角三角函数关系式 解析：∵，∴，‎ ‎ 则，．‎ ‎11．如图在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2．分别以A，D为圆心，1为半经作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．‎ ‎ ‎ 答案：‎ 考点：圆柱与球的体积 解析：．‎ ‎12．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是 ．‎ 答案：3‎ 考点：平面向量数量积 解析：‎ ‎ ，解得＝3．‎ ‎13．若函数(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a 的取值范围是 ．‎ 答案：(1，)‎ 考点：函数与导数综合 解析：由题意知：与的图像在(1，)上恰有两个交点 ‎ 考查临界情形：与切于，‎ ‎ ．‎ ‎14．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为 ．‎ ‎ ‎ 答案：‎ 考点：向量与解三角形、圆的综合 解析：设 ‎ B，O，E共线，则，解得，从而O为CD中点，故，‎ ‎ 在△BOD中，BD＝2，，易知O的轨迹为阿圆，其半径，‎ ‎ 故．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）已知a＝，B＝，求△ABC的面积．‎ 解：（1）由正弦定理：，得：‎ ‎ B为△ABC内角，故sinB＞0，所以，‎ ‎ 若，则，与矛盾，故，‎ ‎ 因此，又A为△ABC内角，所以；‎ ‎ （2）由正弦定理得：，‎ ‎ 故．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．‎ ‎（1）证明：AP∥平面EBD ；‎ ‎（2）证明：BE⊥PC．‎ 证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE ‎ 因为四边形ABCD为平行四边形 ‎ ∴O为AC中点，‎ 又E为PC中点，‎ ‎ 故AP∥OE，‎ 又AP平面EBD，OE平面EBD ‎ 所以AP∥平面EBD ；‎ ‎ （2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点 ‎ 所以PC⊥DE ‎ 因为平面PCD⊥平面ABCD，‎ 平面PCD平面ABCD＝CD，‎ ‎ 又BD平面ABCD，BD⊥CD ‎ ∴BD⊥平面PCD ‎ 又PC平面PCD，故PC⊥BD ‎ 又BDDE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE ‎ 故PC⊥平面BDE ‎ 又BE平面BDE，‎ 所以BE⊥PC．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M ），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．‎ ‎（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；‎ ‎（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．‎ 解：（1）以A为原点，l1为x轴，抛物线的对称轴为y轴建系 ‎ 由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为 ‎ 代入点B得：p＝1，故方程为，x[0，1]；‎ ‎ （2）设P(，)，t[0，]，作PQ⊥l3于Q，记∠EPQ＝，∠FPQ＝‎ ‎ ，，‎ ‎ ‎ ‎ 令，，则：‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当即，即，即时取等 ‎ 故P(，)时视角∠EPF最大，‎ ‎ 答：P(，)时，视角∠EPF最大．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为．且经过点(1，)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．‎ 解：（1）设焦距为‎2c，由题意知：；‎ ‎ （2）由（1）知：F(﹣1，0)，设l：，D(，)，E(，)，＜0＜‎ ‎ ①，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 由①②得：，，‎ ‎ 代入③得：，又，故，‎ ‎ 因此，直线l的方程为．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数(mR)的导函数为．‎ ‎（1）若函数存在极值，求m的取值范围；‎ ‎（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意mR，若关于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整数k的取值集合．‎ 解：（1）因为，所以，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 则，‎ ‎ 由题意可知，解得；‎ ‎ （2）由（1）可知，，‎ ‎ 所以 ‎ 因为 ‎ 整理得，‎ ‎ 设，则，所以单调递增，‎ ‎ 又因为，且＋m﹣，‎ ‎ 所以存在，使得，‎ ‎ 设，‎ ‎ 则，‎ ‎ 设，则，，‎ ‎ 所以单调递增，因为，‎ ‎ 所以存在，使得，即，‎ ‎ 且当时，，当时，，‎ ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎ 又由题意可知，所以，‎ ‎ 解得，所以正整数k的取值集合为{1，2}．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列，，数列满足，n．‎ ‎（1）若，，求数列的前2n项和；‎ ‎（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．‎ 解：（1）因为，，所以，且，‎ ‎ 由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎ 数列是首项和公比均为4的等比数列，‎ ‎ 所以；‎ ‎ （2）①设数列的公差为，数列的公差为，‎ ‎ 当n为奇数时，，‎ ‎ 若，则当时，，‎ ‎ 即，与题意不符，所以，‎ ‎ 当n为偶数时，，，‎ ‎ 若，则当时，，‎ 即，与题意不符，所以，‎ ‎ 综上，，原命题得证；‎ ‎ ②假设可以为等比数列，设公比为q，‎ ‎ 因为，所以，所以，，‎ ‎ 因为当时，‎ ‎，‎ ‎ 所以当n为偶数，且时，，‎ ‎ 即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，‎ ‎ 所以数列不能为等比数列．‎ 第II卷（附加题，共40分）‎ ‎21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量。‎ 解：设矩阵M＝，则AM＝，‎ 所以，解得，所以M＝，‎ 则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，‎ 设特征值的特征向量为，则，‎ 即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．‎ B．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sinq。‎ ‎（1）求曲线C的普通方程；‎ ‎（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标． ‎ 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，‎ ‎ ∴，则 ‎ 即：‎ ‎ （2），‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴‎ ‎ （舍）或，‎ ‎ 公共点(，3)，极坐标(2，)．‎ C．选修4—5：不等式选讲 已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值。‎ 解：因为 ‎ ‎ ‎ 即，当且仅当，，时，上述等号成立，‎ ‎ 所以，即，又x，y，z＞0，∴x+y+z=t＝4．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.‎ ‎（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;‎ ‎（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.‎ 解：由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40‎ 且，，‎ 所以，‎ 即随机变量X的概率分布为 X ‎10‎ ‎20‎ ‎40‎ P 所以随机变量X的数学期望；‎ ‎（2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，‎ ‎ 因为60＝20×3＝40＋10＋10，‎ ‎ 所以．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k¹0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.‎ ‎（1）求点G的轨迹方程；‎ ‎（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.‎ 解：（1）设，则，‎ 抛物线C的方程可化为，则，‎ 所以曲线C在点A处的切线方程为，‎ ‎ 在点B处的切线方程为，‎ ‎ 因为两切线均过点G，所以，‎ 所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，‎ 又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为；‎ ‎ （2）设点G(，)，由（1）可知，直线AB的方程为，‎ 即，‎ ‎ 将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，‎ ‎ 所以，，解得，‎ ‎ 因为直线AB的斜率，所以，‎ 且，‎ ‎ 线段AB的中点为M，所以直线EM的方程为：‎ ‎，‎ ‎ 所以E点坐标为(0，)，‎ ‎ 直线AB的方程整理得，‎ ‎ 则G到AB的距离，‎ ‎ 则E到AB的距离，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 设，因为p是质数，且为整数，所以或，‎ ‎ 当时，，是无理数，不符题意，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 因为当时，，即是无理数，所以不符题意，‎ ‎ 当时，是无理数，不符题意，‎ ‎ 综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．‎