山东省淄博市淄川区第十中学2020届高三上学期期末考试数学试题

山东省淄博市淄川区第十中学2020届高三上学期期末考试数学试题

数学试题 ‎（满分：150分，考试时间：120分钟）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．‎ ‎【详解】由题意得，，则 ‎．故选C．‎ ‎【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．‎ ‎2.若复数满足（为虚数单位），则（ ）．‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数除法计算出，再由复数模的运算计算模。‎ 详解】由题意，‎ 所以．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查求复数的模，掌握复数的除法运算是解题关键．‎ ‎3.已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（　　）‎ A. sina＞sinb B. ca＞cb C. ac＜bc D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调性逐项判断即可 ‎【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；‎ 对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确 对C,因为y＝xc为增函数,故 ，错误；‎ 对D, 因为在为减函数，故 ，错误 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．‎ ‎4.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由任意角的三角函数的定义求得，然后展开二倍角公式求．‎ ‎【详解】解：∵角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 则.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．‎ ‎5.已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是 A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 由题意，A中，若，则或与异面，所以不正确；‎ ‎ B中，若，则或与相交或异面，所以不正确；‎ ‎ C中，若，则或与平面斜交或平行，所以不正确；‎ ‎ D中，若，则是正确的，故选D.‎ ‎6.在中，，，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要是找到两个基底向量，，然后用两个基底向量表示，，再通过向量的运算即可得出结果．‎ ‎【详解】解：由题意，画图如下：‎ 则：，‎ ‎ .‎ ‎∴‎ ‎.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．‎ ‎7.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为 （ ）‎ A. 8 B. ‎7 ‎C. 6 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）； A（甲，丁）B（丙）C（乙）； A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B. ‎ ‎8.用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出正三棱柱内接于球的直观图，设底面边长，由球的体积公式得 ‎，再由勾股定理得正三棱柱的，代入体积公式，利用基本不等式可求得．‎ ‎【详解】如图所示，正三棱柱内接于球的直观图，为底面的中心，因为．‎ 设底面边长，则，‎ ‎，‎ 等号成立当且仅当，故选D.‎ ‎【点睛】本题以实际问题为背景，本质考查正三棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9.若是的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ）．‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的解集，确定的范围后再选择．‎ ‎【详解】由得，‎ 因此由若是的充分不必要条件，则．‎ 故选：BCD．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．‎ ‎10.（多选题）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 样本中支出在元的频率为0.03‎ B. 样本中支出不少于40元的人数为132‎ C. n的值为200‎ D. 若该校有2000名学生，则定有600人支出在元 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频率分布直方图求出每组的频率，补齐第四组的频率，结合频数与频率和样本容量的关系即可判定.‎ ‎【详解】样本中支出在元频率为，故A错误；‎ 样本中支出不少于40元的人数为，故B正确；‎ ‎，故n的值为200，故C正确；‎ 若该校有2000名学生，则可能有600人支出在[50，60）元，故D错误.‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】此题考查根据频率分布直方图求每组的频率，补齐频率分布直方图，用数据特征估计总体的特征.‎ ‎11.把函数的图象沿轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断，其中不正确的判断（ ）．‎ A. 该函数的解析式为 B. 该函数的图象关于点对称 C. 该函数在上是增函数 D. 若函数在上的最小值为，则 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的解析式，然后由正弦函数性质判断．‎ ‎【详解】由题意，A正确；‎ ‎，B错；‎ 时，，所以在上是增函数，C正确；‎ 由上可得，，，D错．‎ 故选：BD．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查正弦函数性质．掌握三角函数图象变换是解题基础．掌握正弦函数性质是解题关键．‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线上一点，且 ‎，若，则下面有关结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】ABCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对分类讨论，利用双曲线的定义以及，再结合对应的余弦定理，即可计算出离心率的值，从而可求的关系.‎ ‎【详解】若为锐角时，，如图所示，‎ 因为，，所以，‎ 所以，‎ 所以，所以，所以，‎ 所以，，故BD正确；‎ 若为钝角时，，如图所示，‎ 因为，，所以，‎ 所以，‎ 所以，所以，所以，‎ 所以，，故AC正确.‎ 故选：ABCD.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线性质的综合应用，着重考查了离心率以及根据离心率求等量关系，强调了分类讨论的思想，难度一般.双曲线中的焦点三角形要注意利用定义以及顶角的余弦定理进行问题分析.‎ 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.设的值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项式定理的通项公式求解即可.‎ ‎【详解】由题,令10-2r=6,得r=2,∴‎ 故答案为80‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理，是基础题.‎ ‎14. 设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是＝2，∴c＝2.‎ ‎15.已知函数是定义在上的奇函数，且，则________，当时，则等于________．‎ ‎【答案】 (1). 4 (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用得出周期，由周期性和单调性计算函数值．‎ ‎【详解】因为，所以，所以周期为，‎ 函数为奇函数，则，，，所以．‎ 故答案为：4；2．‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性，函数定义域为，若，或，或，则是周期函数，且周期为（）．‎ ‎16.圆：和圆：只有一条公切线，若，，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由题设中可知两圆相内切，其中， 故，由题设可知，即，则，应填答案．‎ 点睛：本题以两圆的相内切这种位置关系为背景，精心设置了一道“两圆相内切”作为已知条件的最值问题，求解时则通过巧妙变形 ‎，这是解答本题的难点，然后再运用基本不等式从而使得问题简捷、巧妙获解．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知数列的前项和满足，其中．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和为．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得，两式相减可化为从而判断出是等比数列，进而求出数列的通项公式；（2）利用（1），化简可得，利用裂项求和法求解即可.‎ ‎【详解】(1)∵， ①‎ 当，∴，‎ 当，∵， ②‎ ‎①-②：，即： ‎ 又，‎ 对都成立，所以是等比数列，‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎18.已知函数．‎ ‎(I)求函数的最小正周期和最小值；‎ ‎(II)在中，A，B，C的对边分别为，已知，求a，b的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 的最小正周期,最小值为-4; (Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)由三角恒等变形化简f(x)=即可求解；(Ⅱ)得,再由正余弦定理得a的方程即可求.‎ ‎【详解】(Ⅰ)‎ ‎ ，‎ 所以的最小正周期,最小值为. ‎ ‎(Ⅱ)因为所以.‎ 又所以，得.因为，由正弦定理得，由余弦定理得，，‎ 又c=a，所以.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，正余弦定理，是中档题.‎ ‎19.如图，三棱柱中，，分别为，的中点．‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2），，，，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设与交于点，通过证明是平行四边形证得，得线面平行；‎ ‎（2）证明两两垂直，然后以为轴建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角的余弦得二面角的余弦．‎ ‎【详解】证明：（1）设与交于点，连接，，‎ 因为四边形是平行四边形，所以是中点，‎ 是的中点，所以，．‎ 又因为是的中点，所以，．‎ 所以且，所以四边形是平行四边形，‎ 所以．又因为平面，平面，‎ 所以直线平面．‎ ‎（2）因为，所以平行四边形是菱形，所以．‎ 又因为，所以．‎ 又，且是的中点，所以．又因为，‎ 所以，‎ 所以，故，从而，，两两垂直．‎ 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，‎ 设，因为，，‎ 所以等边三角形，所以，，，．‎ ‎，．‎ 因为，，两两垂直，所以平面，‎ 所以是平面的一个法向量；‎ 设是平面的一个法向量，则 ‎，即，令，得，，‎ 所以，所以．‎ 所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求二面角．掌握线面平行的判定定理是证明线面平行的关键．立体几何中求空间角，常常是建立空间直角坐标系，用向量法求解，这样直接用计算方法求解可以减少思维量，但对运算求解能力有一定的要求．‎ ‎20.为了推行“智慧课堂”教学，某老师分别用传统教学和“智慧课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期屮考试后，分别从两个班级屮各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.‎ 分数 甲班频数 ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ 乙班频数 ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 附：.‎ 临界值表 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采川分层扣样的方法扣取8人进行考核.在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用频数与频率，求解两个班的成绩，得到2×2列联表中的数据，求出的观测值，判断即可；（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．‎ 试题解析：（1）‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎9‎ ‎16‎ ‎25‎ 成绩不优良 ‎11‎ ‎4‎ ‎15‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据列联表中的数据，得的观测值为 ‎∴在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.‎ ‎（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎；；‎ ‎；.‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.‎ 点睛：数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.‎ ‎21.已知椭圆的左右焦点分别为和，由4个点、、和组成了一个高为，面积为的等腰梯形．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）过点的直线和椭圆交于两点、，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由梯形的条件得，，求得，后得椭圆方程；‎ ‎（2）直线的斜率不能为0，设直线方程为，直线与椭圆交于，．‎ 直线方程代入椭圆方程化简后应用韦达定理得，而的面积为，代入后，变形整理，令换元后由函数单调性可得面积的最大值．‎ ‎【详解】解：（1）由条件，得，且，所以．‎ 又，解得，，所以椭圆的方程．‎ ‎（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为，直线与椭圆交于，．‎ 联立方程，消去得，，‎ 因为直线过椭圆内的点，无论为何值，直线和椭圆总相交．‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 令，设，易知时，函数单调递减，函数单调递增，所以当即时，，取最大值3．‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的面积问题．直线与椭圆相交，常常采用设而不求思想求解．即直线方程为，直线与椭圆交于，，直线方程与椭圆方程联立后消元应用韦达定理得（或者）代入题中其他条件计算化简．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）存在,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；‎ ‎（2）求出导函数，假设存在，则在上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值．‎ ‎【详解】（1）当时，．‎ 所以 令，则或，令，则，‎ 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为 ‎（2）存在，满足题设，‎ 因为函数 所以 要使函数在上单调递增，‎ 即，，‎ 令，，‎ 则，‎ 所以当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 所以是的极小值点，也是最小值点，且，‎ ‎∴在上的最大值为．‎ 所以存在，满足题设．‎ ‎【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用确定增区间，用确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．‎