【数学】2018届一轮复习人教A版 函数的图象 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 函数的图象 学案

第7讲　函数的图象 最新考纲　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.‎ ‎2.利用图象变换法作函数的图象 ‎(1)平移变换 ‎(2)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；‎ y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；‎ y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；‎ y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.‎ ‎(3)伸缩变换 y＝f(x)y＝f(ax).‎ y＝f(x)y＝Af(x).‎ ‎(4)翻转变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；‎ y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到.(　　)‎ ‎(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.(　　)‎ ‎(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同.(　　)‎ ‎(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)　解析　(1)y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)，故(1)错.‎ ‎(2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于y轴对称，后者是两个函数关于y轴对称，故(2)错.‎ ‎(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图象不同，故(3)错.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)‎ A.f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1‎ C.f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1‎ 解析　依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.‎ 答案　D ‎3.(2016·浙江卷)函数y＝sin x2的图象是(　　)‎ 解析　∵y＝sin(－x)2＝sin x2，且x∈R，‎ ‎∴函数为偶函数，可排除A项和C项；当x＝时，sin x2＝sin≠1，排除B项，只有D满足.‎ 答案　D ‎4.若函数y＝f(x)在x∈[－2，2]的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－x)＝________.‎ 解析　由于y＝f(x)的图象关于原点对称∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.‎ 答案　0‎ ‎5.若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.由图象知当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解.‎ 答案　(0，＋∞)‎ ‎6.(2017·绍兴调研)已知函数f(x)＝2x，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________；若把函数f(x)的图象向左移1个单位，向下移4个单位后，所得函数的解析式为h(x)＝________.‎ 解析　∵g(x)的图象与函数f(x)＝2x关于x轴对称，∴g(x)＝－2x，把f(x)＝2x的图象向左移1个单位，得m(x)＝2x＋1，再向下平移4个单位，得h(x)＝2x＋1－4.‎ 答案　－2x　2x＋1－4‎ 考点一　作函数的图象 ‎【例1】 作出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.‎ 解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.‎ ‎(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.‎ ‎(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移 ‎1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.‎ ‎(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.‎ 规律方法　画函数图象的一般方法 ‎(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.‎ ‎(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.‎ ‎【训练1】 分别画出下列函数的图象：‎ ‎(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.‎ 解　(1)∵y＝|lg x|＝ ‎∴函数y＝|lg x|的图象，如图①.‎ ‎(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.‎ 考点二　函数图象的辨识 ‎【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)‎ ‎(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)‎ 解析　(1)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，‎ 又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B.‎ 设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.‎ 又g′(0)＜0，g′(2)＞0，‎ ‎∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，‎ ‎∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.‎ ‎(2)当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A，C.‎ 当x∈时，f＝f＝1＋，‎ f＝2.∵2<1＋，‎ ‎∴f0，∴a>1.‎ 则函数g(x)＝|ax－2|的图象是由函数y＝ax的图象向下平移2个单位，然后将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的，故选D.‎ 答案　(1)B　(2)D 考点三　函数图象的应用(多维探究)‎ 命题角度一　研究函数的零点 ‎【例3－1】 已知f(x)＝则函数y＝‎2f2(x)－‎3f(x)＋1的零点个数是________.‎ 解析　由‎2f2(x)－‎3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1‎ 作出函数y＝f(x)的图象.‎ 由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.‎ 因此函数y＝‎2f2(x)－‎3f(x)＋1的零点有5个.‎ 答案　5‎ 命题角度二　求不等式的解集 ‎【例3－2】 函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________.‎ 解析　当x∈时，y＝cos x>0.‎ 当x∈时，y＝cos x<0.‎ 结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，当1＜x<时，<0.‎ 又函数y＝为偶函数，‎ ‎∴在[－4，0]上，<0的解集为，‎ 所以<0的解集为∪.‎ 答案　∪ 命题角度三　求参数的取值或范围 ‎【例3－3】 (2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；‎ ‎②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，0) B.(0，1) C. D.(0，＋∞)‎ 解析　依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y＝f(x)的图象上，且关于坐标原点对称.‎ 可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝ln x(x>0)的图象，‎ 使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可.‎ 当直线y＝kx－1与y＝ln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，‎ 又y＝ln x的导数为y′＝，‎ 则km－1＝ln m，k＝，解得m＝1，k＝1，‎ 可得函数y＝ln x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，‎ 结合图象可知k∈(0，1)时两函数图象有两个交点.‎ 答案　B 规律方法　(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.‎ ‎(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解.‎ ‎(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.‎ ‎【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(　　)‎ A.－1 B‎.1 ‎ C.2 D.4‎ ‎(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________.‎ 解析　(1)设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C.‎ ‎(2)由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.‎ 在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，].‎ 答案　(1)C　(2)(－1，0)∪(1，]‎ ‎[思想方法]‎ ‎1.识图 对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.‎ ‎2.用图 借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错.‎ ‎2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.‎ ‎3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用. ‎