2020届二轮复习归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法教案（全国通用）

2020届二轮复习归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法教案（全国通用）

‎【例1】在数列{}中，，且，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）猜测数列{}的通项公式，并用数归纳法证明.‎ ‎ ‎ ‎【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.‎ ‎【反馈检测1】在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．‎ ‎（1）分别计算，和，的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式（将用表示）；‎ ‎（3）设数列的前项和为，证明：，．‎ 方法二 公式法 使用情景 已知数列是等差数列或等比数列或已知.‎ 解题步骤 已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量，再代入等差（比）数列的通项公式；已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项. *‎ ‎【例2】已知数列，是其前项的和，且满足，对一切都有成立，设．‎ ‎（1）求；（2）求证：数列 是等比数列；‎ ‎（3）求使成立的最小正整数的值．‎ ‎【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项.‎ ‎【反馈检测2】已知等比数列{}中，,公比,又分别是某等差数列的第项，第项，第项.‎ ‎(1)求；(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【例3】数列{}的前n项和为，=1， ( n∈),求{}的通项公式.‎ ‎【点评】（1）已知，一般利用和差法.如果已知也可 以采用和差法.（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验是否满足，能并则并，不并则分.‎ ‎【例4】已知函数 ，是数列的前项和，点（）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且是数列的前项和. 试问是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为点在曲线上，又，所以.‎ 当时，.‎ 当时，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）因为 ①所以 ‎ ②‎ ‎ ③‎ ‎②－③得 ‎ ‎.‎ 整理得， ④‎ 方法一 利用差值比较法 由④式得，所以 因为，所以.‎ 又，所以所以，‎ 所以. 所以Tn存在最大值 方法三 利用放缩法 由①式得，又因为是数列的前项和，‎ 所以. 所以 所以存在最大值.‎ ‎【反馈检测3】已知数列{}的前n项和()，求{}的通项公式.‎ 方法三 累加法 使用情景 在已知数列中相邻两项存在：的关系 解题步骤 先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项.‎ ‎【例4】已知数列，，，，，为数列的前项和，为数列的前项和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求证：.‎ ‎【解析】（1）法一：，‎ ‎【点评】（1）本题，符合累加法的使用情景，所以用累加法求数列的通项.（2）使用累加法时，注意等式的个数，是个，不是个.‎ ‎【反馈检测4】已知数列满足，求数列的通项公式.‎ 方法四 累乘法 使用情景 若在已知数列中相邻两项存在：的关系.‎ 解题步骤 先给递推式中的从2开始赋值，一直到，一共得到个式子，再把这个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项.‎ ‎【例5】已知数列满足 ‎【点评】（1）由已知得符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项.（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出个等式就可以了，不必写个等式.‎ ‎【反馈检测5】 已知数列满足，求数列的通项公式.‎ 高中数常见题型解法归纳及反馈检测第36讲：‎ 数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案 ‎【反馈检测1答案】，，，.‎ ‎①当时，，，猜想成立；‎ ‎②假设时，猜想成立，即,，那么 ‎,‎ ‎ ‎ ‎∴时，猜想也成立．由①②，根据数归纳法原理，对任意的，猜想成立． ‎ ‎∴当为奇数时，； ‎ ‎ 当为偶数时，． ‎ ‎ 即数列的通项公式为． ‎ ‎（方法2）由（2）得．‎ 以下用数归纳法证明，．‎ ‎①当时，；‎ 当时，．∴时，不等式成立． ‎ ‎②假设时，不等式成立，即，‎ 那么，当为奇数时，‎ ‎；‎ 当为偶数时，‎ ‎ ．∴时，不等式也成立．‎ 综上所述：‎ ‎【反馈检测2答案】（1）；(2) =.‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测4答案】*‎ ‎【反馈检测4详细解析】由得则 ‎ 所以 ‎【反馈检测5答案】‎ ‎【反馈检测5详细解析】因为，所以，则，‎ 故 所以数列的通项公式为 ‎