2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-2 双曲线及其性质（理科）

2013-2017高考数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-2 双曲线及其性质（理科）

第2节 双曲线及其性质 题型116 双曲线的定义与标准方程 ‎1.（2013江西理14）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则 ．‎ ‎2.(2013陕西理11） 双曲线的离心率为，则等于 .‎ ‎3．（2013广东理7）已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，在双曲线的方程是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎4.（2014 天津理 5）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（　　）.‎ A.　　 B.‎ C.　 　D.‎ ‎5.（2014 广东理 4）若实数满足则曲线与曲线的（ ）.‎ A.焦距相等 B.实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 　D.离心率相等 ‎6.（2014 北京理 11）设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________.‎ ‎7.（2015福建理3）若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线 上，且，则（ ）.‎ A．11 B．‎9 ‎ C．5 D．3‎ ‎7．解析　由双曲线定义得，即，得 ‎．故选B．‎ ‎8.（2015广东理7）已知双曲线的离心率，且其右焦点为，‎ 则双曲线的方程为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎8．解析 因为所求双曲线的右焦点为，且离心率为，所以，，‎ 所以，所以所求双曲线方程为.故选C．‎ ‎9.（2015天津理6）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎9．解析 双曲线的渐近线方程为，‎ 由点在渐近线上，所以，‎ 双曲线的一个焦点在抛物线准线方程上，‎ 所以，由此可解得，，所以双曲线方程为.故选D.‎ ‎10.（2016江苏3）在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ．‎ ‎10. 解析 ，故焦距为．‎ ‎11.（2016全国乙理5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎11. A 解析 由表示双曲线，则，‎ 得，所以焦距，得，‎ 因此.故选A.‎ ‎12.（2016天津理6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎12. D 解析 根据对称性，不妨设在第一象限，，‎ 联立，得.所以，得.‎ 故双曲线的方程为.故选D.‎ ‎13.（2016北京理13）双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点.若正方形的边长为，则_______________.‎ ‎13. 解析 可得双曲线C的渐近线方程为，所以.再由正方形的边长为，得其对角线的长，所以，解得.‎ ‎14.（2017北京理9）若双曲线的离心率为，则实数_________.‎ ‎14. 解析 由题知，则.‎ ‎15.（2017天津理5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过点和点两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎15.解析 由题意得，，所以.又因为，所以，，则双曲线方程为.故选B.‎ ‎16.（2017全国3卷理科5）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎16．解析 因为双曲线的一条渐近线方程为，则 ①‎ 又因为椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则 ②‎ 由①,②，解得，则双曲线的方程为.故选B.‎ 题型117 双曲线的渐近线 ‎1.（2013江苏3）双曲线的两条渐近线的方程为 .‎ ‎2．（2013四川理6）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. (2013福建理3）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2014 新课标1理4）已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.（2014 山东理 10）已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎6.（2014 北京理 11）设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________.‎ ‎7.（2015安徽理4）下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 解析 由题可得选项A，C的渐近线方程都为，但选项A的焦点在轴上．‎ 故选C．‎ ‎8.（2015北京理10）已知双曲线的一条渐近线为，则 ‎ .‎ ‎8. 解析 依题意，双曲线的渐近线方程为，‎ 则，得.‎ ‎9.（2015江苏12）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若 点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为 ．‎ ‎9. 解析 找到到直线的最小距离（或取不到），该值即为实数的最大值．‎ 由双曲线的渐近线为，易知与平行，‎ 因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达到），故实数的最大值为 ‎．‎ ‎10.（2015四川理5）过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两 条渐近线于两点，则（ ）.]‎ A. B. C. 6 D. ‎ ‎10. 解析 由题意可得，，故.‎ 所以渐近线的方程为.将代入渐近线方程，得.‎ 则.故选D.‎ ‎11.（2015浙江理9）双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．‎ ‎11. 解析 因为，所以焦距是，渐近线方程为.‎ ‎12.（2015重庆理10）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过 作的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线，两垂线交 于点.若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ‎（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 解析 根据题意知点一定在轴上，所以点到直线的距离为，由图知 ‎，，又因为，‎ 所以，解出，所以，‎ 根据实际情况，所以．故选A．‎ ‎13.（2016上海理21（1））双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于，两点.若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎13.解析 （1）由已知，，不妨取，则，由题意，又，，‎ 所以，即，解得，‎ 因此渐近线方程为．‎ ‎14.（2017江苏08）在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是，则四边形的面积是 ．‎ ‎14.解析 双曲线的渐近线方程为，而右准线为，所以，，从而．故填．‎ ‎15.（2017山东理14）.在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若 ‎，则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎15. 解析 设，由题意得.‎ 又，所以，‎ 从而双曲线的渐近线方程为.‎ 题型118 双曲线离心率的值及取值范围 ‎1．(2013湖南理14）设是双曲线的两个焦点，是上一点，若 且的最小内角为，则的离心率为___.‎ ‎2.（2013浙江理9）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是，在第二.四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是 A. B. ‎ C. D.‎ ‎3．（2013湖北理5）已知，则双曲线与 的（ ）.‎ ‎ A． 实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 ‎4.（2014 重庆理 8）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（ ）.‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎5.（2014 湖北理 9）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）.‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎6.（2014 浙江理 14）设直线与双曲线两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是__________.‎ ‎7.（2015湖北理8）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加 个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）．‎ ‎ A．对任意的， B．当时，；当时，‎ ‎ C．对任意的， D．当时，；当时，‎ ‎7．解析 由题意，，‎ 当时，，；当时，，.故选D.‎ 命题意图 考查双曲线的有关概念、性质及比较实数大小的基本方法 ‎8.（2015湖南理13）设是双曲线的一个焦点，若上存在点，使线 段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .‎ ‎8. 解析 根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线 上，所以.‎ ‎9.（2015全国II理11）已知为双曲线的左、右顶点，点在上，为 等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 解析 设双曲线方程为，如图所示，‎ 由，，则过点作轴，垂足为， ‎ 在中，，，故点的坐标为，‎ 代入双曲线方程可得，即有，所以.故选D．‎ 命题意图 在圆锥曲线的考查中，双曲线经常以选择或填空题的形式出现.一般抓住其定义和性质可以求解.本题中要充分利用顶角为的等腰三角形的性质来求解.‎ ‎10.(2015山东理15)平面直角坐标系中，双曲线的渐近 线与抛物线交于点. 若△的垂心为的焦点，则的 离心率为 .‎ ‎10.解析 由题意，可设所在直线方程为，则所在直线方程为，‎ 联立，解得，而抛物线的焦点为的垂心，‎ 所以，所以，所以，‎ 所以，所以．‎ ‎11.（2016山东理13）已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_______.‎ ‎ 11. 解析 由题意，，又因为，则，于是点在双曲线上，代入方程，得，再由得的离心率为.‎ ‎12.（2016全国甲理11）已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，，则E的离心率为（ ）.‎ A. B. C. D.2‎ ‎12. A 解析 离心率，因为，所以.故选A．‎ ‎13.（2016四川理19）已知数列的首项为， 为数列的前项和， ，其中， .‎ ‎（1）若，，成等差数列，求的通项公式；‎ ‎(2)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明：.‎ ‎13.解析 （1）由已知得，，，两式相减得到，‎ ‎.又由得到，故对所有都成立.‎ 所以，数列是首项为，公比为的等比数列.从而.‎ 由，，成等差数列，可得，即，则.‎ 又，所以.所以.‎ ‎（2）由（1）可知，.‎ 所以双曲线的离心率 .‎ 由，解得.‎ 因为，所以.‎ 于是，故.‎ ‎14.（2107全国2卷理科9）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）.‎ A．2 B． C． D．‎ ‎14．解析 取渐近线，化成一般式，圆心到直线的距离为，得，，．故选A.‎ ‎15.（2017全国1卷理科15）已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若，则的离心率为________.‎ ‎15. 解析 如图所示，，.因为，所以，‎ ‎，从而.又因为，所以 ‎，解得，则.‎ 题型119 双曲线的焦点三角形 ‎1.（2014 大纲理 9）已知双曲线的离心率为，焦点为，，点在上，若，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎