【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第十一章　第1讲　随机抽样学案

【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第十一章　第1讲　随机抽样学案

第1讲　随机抽样 一、知识梳理 ‎1．简单随机抽样 ‎(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样．‎ ‎(2)常用方法：抽签法和随机数法．‎ ‎2．系统抽样 ‎(1)步骤：①先将总体的N个个体编号；‎ ‎②根据样本容量n，当是整数时，取分段间隔k＝；‎ ‎③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；‎ ‎④按照一定的规则抽取样本．‎ ‎(2)适用范围：适用于总体中的个体数较多时．‎ ‎3．分层抽样 ‎(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．‎ ‎(2)适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．‎ 常用结论 ‎1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．‎ ‎2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差的整数倍．‎ ‎3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．‎ 二、习题改编 ‎1．(必修3P100A组T1改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)‎ A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 答案：A ‎2．(必修3P64A组T5改编)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．‎ 答案：18‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．(　　)‎ ‎(2)在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(　　)‎ ‎(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．(　　)‎ ‎(4)用系统抽样从102个学生中抽取20人，需用简单随机抽样方法剔除2人，这样对被剔除者不公平．(　　)‎ ‎(5)在分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ 二、易错纠偏 (1)随机数表法的规则不熟出错；‎ ‎(2)系统抽样中先剔除部分个体，再分段；‎ ‎(3)分层抽样每层抽取的抽样比是相同的．‎ ‎1．假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则抽取的第3支疫苗的编号为 ．(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)‎ ‎84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67‎ ‎21 76 33 50 25　83 92 12 06 76‎ ‎63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75‎ ‎12 86 73 58 07　44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38‎ ‎15 51 00 13 42　99 66 02 79 54‎ 解析：由题意得，从随机数表第7行第8列的数开始向右读，符合条件的前三个编号依次是331，455，068，故抽取的第3支疫苗的编号是068.‎ 答案：068‎ ‎2．某学校为了解高一年级1 203名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，若采用系统抽样，则分段间隔为 ．‎ 解析：因为1 203除以40不是整数，所以需随机剔除3个个体，从而每一段有30个个体，则分段间隔为30.‎ 答案：30‎ ‎3．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2 400人、高二2 000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为 ．‎ 解析：由分层抽样可得×90＝36，则n＝1 600，所以高三被抽取的人数为×90＝24.‎ 答案：24‎ ‎　　　　　　简单随机抽样(师生共研)‎ ‎ (2020·武汉市武昌区调研考试)已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　4698　0371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281‎ 据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为 ．‎ ‎【解析】　4次射击中有1次或2次击中目标的有：0371，6011，7610，1417，7140，所以所求概率P＝1－＝＝0.75.‎ ‎【答案】　0.75‎ 抽签法与随机数法的适用情况 ‎(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．‎ ‎(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：‎ 一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．‎ ‎1．下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)‎ A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 解析：选B.因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．‎ ‎2．大、中、小三个盒子中分别装有同一种产品120个、60个、20个，现在需从这三个盒子中抽取一个样本容量为25的样本，较为恰当的抽样方法为 ．‎ 解析：因为三个盒子中装的是同一种产品，且按比例抽取每盒中抽取的不是整数，所以将三盒中的产品放在一起搅匀按简单随机抽样法抽样较为适合．‎ 答案：简单随机抽样 ‎　　　　　　系统抽样(典例迁移)‎ ‎ 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)‎ A．7 B．9 ‎ C．10 D．15‎ ‎【解析】　从960人中用系统抽样方法抽取32人，则将整体分成32组，每组30人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30·(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝16，17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)．‎ ‎【答案】　C ‎【迁移探究】　(变条件)若本例中条件变为“若第5组抽到的号码为129”，求第1组抽到的号码．‎ 解：设第1组抽到的号码为x，则第5组抽到的号码为x＋(5－1)×30，由x＋(5－1)×30＝129，解得x＝9，因此第1组抽到的号码为9.‎ 系统抽样的特点 ‎(1)适用于元素个数很多且均衡的总体．‎ ‎(2)各个个体被抽到的机会均等．‎ ‎(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样．‎ ‎(4)如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝.‎ ‎[提醒]　如果总体容量N不能被样本容量n整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．‎ ‎1．某单位有840名职工，现采用系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为(　　)‎ A．11 B．12 ‎ C．13 D．14‎ 解析：选B.由题意得，抽样间隔为＝20.所以在区间[481，720]抽取＝12(人)．‎ ‎2．(2020·内蒙古呼和浩特第一次质量普查)某班共有学生60名，座位号分别为01，02，…，60.现根据坐位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中另外一位同学的座位号为 号．‎ 解析：由题意知抽样间隔f＝＝15，‎ 因为03号、18号、48号同学在样本中，‎ 所以样本中另外一位同学的座位号为18＋15＝33号．‎ 答案：33‎ ‎　　　　　　分层抽样(师生共研)‎ ‎ (1)(一题多解)某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：‎ 最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 ‎4 800‎ ‎7 200‎ ‎6 400‎ ‎1 600‎ 电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为(　　)‎ A．25，25，25，25 B．48，72，64，16‎ C．20，40，30，10 D．24，36，32，8‎ ‎(2)一支田径队有男运动员56人，女运动员m人，用分层抽样抽出一个容量为n的样本，在这个样本中随机取一个当队长的概率为，且样本中的男队员比女队员多4人，则m＝ ．‎ ‎【解析】　(1)法一：因为抽样比为＝，‎ 所以每类人中应抽选出的人数分别为 ‎4 800×＝24，7 200×＝36，6 400×＝32，1 600×＝8.故选D.‎ 法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，‎ 所以每类人中应抽选出的人数分别为×100＝24，×100＝36，×100＝32，×100＝8，故选D.‎ ‎(2)由题意知n＝28，设其中有男队员x人，女队员有y人．‎ 则解得x＝16，y＝12，m＝42.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)42‎ ‎(1)分层抽样中的两个等量关系 ‎①＝ ‎②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．‎ ‎(2)分层抽样问题类型及解题思路 ‎①求某层应抽个体数量，根据该层所占总体的比例计算．‎ ‎②已知某层个体数量，求总体容量，根据分层抽样即按比例抽样，列比例式进行计算．‎ ‎③确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．‎ ‎1．(2020·重庆中山外国语学校模拟)如饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为(　　)‎ A．12 B．6 ‎ C．4 D．3‎ 解析：选D.青年教师的人数为120×30%＝36，‎ 所以青年女教师为12人，故青年女教师被选出的人数为12×＝3.故选D.‎ ‎2．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：‎ 产品类别 A B C 产品数量(件)‎ ‎1 300‎ 样本容量(件)‎ ‎130‎ 由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是 ．‎ 解析：设样本容量为x，则×1 300＝130，所以x＝300.所以A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170，所以y＝80.所以C产品的数量为×80＝800.‎ 答案：800‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．(2020·桂林期末)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是(　　)‎ A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 解析：选B.因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法，故选B.‎ ‎2．某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是(　　)‎ ‎49　54　43　54　82　17　37　93　23　78　87　35‎ ‎20　96　43　84　26　34　91　64　57　24　55　06‎ ‎88　77　04　74　47　67　21　76　33　50　25　83‎ ‎92　12　06‎ A．23 B．09 ‎ C．02 D．16‎ 解析：选D.从随机数表第一行的第6列数字3开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21，32，09，16，17，故第4个志愿者的座号为16.‎ ‎3．(2020·陕西汉中重点中学联考)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：‎ 不喜欢 喜欢 男性青年观众 ‎30‎ ‎10‎ 女性青年观众 ‎30‎ ‎50‎ 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”中抽取了6人，则n＝(　　)‎ A．12 B．16 ‎ C．20 D．24‎ 解析：选D.由题意得＝＝，解得n＝24.故选D.‎ ‎4．某学校采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是(　　)‎ A．5 B．7 ‎ C．11 D．13‎ 解析：选B.把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组．所以第1组抽到的数为39－32＝7.故选B.‎ ‎5．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人．‎ 解析：由年龄分布情况图可得40岁以下年龄段应抽取40×50%＝20(人)．‎ 答案：20‎ ‎6．(2020·惠州市第二次调研)某班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为 ．‎ 解析：由题意得，需要将56人按学号从小到大分成4组，每组抽取第2个学号对应的同学，所以还有一位同学的学号为1×14＋2＝16.‎ 答案：16‎ ‎7．(2020·开封市定位考试)某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为k∶5∶3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为 ．‎ 解析：依题意得＝，解得k＝2，所以C种型号产品抽取的件数为×120＝36.‎ 答案：36‎ ‎8．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：‎ 初一年级 初二年级 初三年级 女生 ‎373‎ x y 男生 ‎377‎ ‎370‎ z 已知从全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.‎ ‎(1)求x的值；‎ ‎(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？‎ 解：(1)因为＝0.19，所以x＝380.‎ ‎(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为×500＝12(名)．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　)‎ A.， B.， ‎ C.， D.， 解析：选A.在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为，故选A.‎ ‎2．某工厂的一、二、三车间在2018年11月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c成等差数列，则二车间生产的产品数为(　　)‎ A．800 B．1 000 ‎ C．1 200 D．1 500‎ 解析：选C.因为a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的，所以二车间生产的产品数为3 600×＝1 200.故选C.‎ ‎3．一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是 ．‎ 解析：由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.‎ 答案：76‎ ‎4．(应用型)某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动．每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：‎ 高一年级 高二年级 高三年级 跑步 a b c 登山 x y z 其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取 人．‎ 解析：根据题意可知样本中参与跑步的人数为200×＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×＝36.‎ 答案：36‎