2013-2017高考数学分类汇编-第十章第2节 双曲线及其性质

2013-2017高考数学分类汇编-第十章第2节 双曲线及其性质

第二节 双曲线及其性质 题型118 双曲线的定义与标准方程 ‎2013年 ‎1.（2013湖北文2）已知，则双曲线：与：的（ ）.‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 ‎2. (2013天津文11）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦 点， 且双曲线的离心率为，则该双曲线的方程为 .‎ ‎2014年 ‎1.（2014天津文6）已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）.‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎2.（2014大纲文11）双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）.‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎3. （2014广东文8）若实数满足，则曲线与曲线的（ ）.‎ A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 ‎4.（2014江西文9）过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线相交于.若以的右焦点为圆心、半径为的圆经过则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.（2014北京文10）设双曲线的两个焦点为，，一个顶点是，‎ 则的方程为 .‎ ‎2015年 ‎1.（2015天津文5）已知双曲线的一个焦点为，且双曲 线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎1．解析 由双曲线的渐近线与圆相切得，‎ 由，解得 .故选D.‎ 评注 由双曲线的焦点到渐近线的距离为，依题意，，所以，双曲线方程为.‎ ‎2.（2015北京文12）已知是双曲线的一个焦点，则 .‎ ‎2. 解析 依题意，由是双曲线的一个焦点，得，‎ 即，又，得.‎ ‎3.（2015全国II文15）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲 线的标准方程为 .‎ ‎3. 解析 根据题意知，双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：‎ ‎，把点 代入得.所以双曲线的方程为.‎ 评注 双曲线的问题多在小题中出现，注意基本的等量关系及定义，特别是特有的渐近线方程的求解.‎ ‎2016年 ‎1.（2016天津文4）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎1. A 解析 由题意得，解得，所以双曲线的方程为.‎ 故选.‎ ‎2.（2016江苏3）在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 .‎ ‎2. 解析 ，故焦距为.‎ ‎3.（2016北京文12）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则_______；_______.‎ ‎3. 8. 解析 双曲线的渐近线为，一个焦点为.再由题设，可得，解得.‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国1卷文5）已知是双曲线的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是，则的面积为（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎1. 解析 由，得，所以，将代入，得，所以，又A的坐标是(1，3)，故的面积为.故选D.‎ ‎2.（2017天津卷文5）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 解析 因为是边长为2的等边三角形，所以， 不妨设点在第二象限内，则点，又因为点在双曲线的渐近线上，所以，由，得，所以，则双曲线的方程为.故选D．‎ 题型119 双曲线的渐近线 ‎2013年 ‎1．(2013福建文4）双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（2013山东文11）抛物线的焦点与双曲线的右焦点 的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则 ‎（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.（2013江苏3）双曲线的两条渐近线的方程为 .‎ ‎2014年 ‎1. （2014山东文15）已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　.‎ ‎2015年 ‎1.（2015安徽文6）下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎1．解析 由双曲线的渐近线的公式为，‎ 可知选项A的渐近线方程为.故选A.‎ ‎2.（2015四川文7）过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条 渐近线于两点，则（ ）.]‎ A. B. C. 6 D. ‎ ‎2.解析 由题意可得，，故.所以渐近线的方程为.‎ 将代入渐近线方程，得，则.故选D.‎ ‎3.（2015江苏12）在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．‎ 若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为 ．‎ ‎3. 9．解析 利用几何意义，即找到到直线的最小距离（或取不到），该值即为实数的最大值．‎ 由双曲线的渐近线为，易知与 平行，因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达到），故实数的最大值为．‎ ‎2016年 ‎9.（2016上海文21（1））双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点.若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程.‎ ‎9.解析由已知，，不妨取，则，‎ 由题意，又，，‎ 所以，即，解得，‎ 因此渐近线方程为.‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国3卷文14）双曲线的一条渐近线方程为，则 .‎ ‎1.解析 渐近线方程为，由题可知.‎ 评注 本题着重考查双曲线的基本知识点，考查双曲线的方程及其渐近线的公式，难度偏低.‎ ‎2.（2017山东卷文15）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎2. 解析 .‎ 又，可得，所以，解得，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ ‎3.（2017江苏卷8）在平面直角坐标系中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是，则四边形的面积是 ．‎ ‎3.解析 双曲线的渐近线方程为，而右准线为，所以，，‎ 从而． ‎ 题型120 双曲线离心率的值及取值范围 ‎2013年 ‎1. （2013浙江文9）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分 别是，在第二.四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2. (2013重庆文10）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点，所成的角为 的直线和 ，使，其中和分别是这对直线与双曲 线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）.‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎3. (2013陕西文11）双曲线的离心率为 .‎ ‎4. (2013湖南文14） 设是双曲线的两个焦点.若在上 存在一点，使，且，则的离心率为________________.‎ ‎2014年 ‎1.（2014新课标Ⅰ文4）已知双曲线的离心率为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2014重庆文8）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（ ）.‎ A. ‎ B. C.4 D.‎ ‎3.（2014四川文11）双曲线的离心率等于____________.‎ ‎4.（2014浙江文17）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是______________.‎ ‎2015年 ‎1.（2015湖北文9）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增 加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）.‎ A．对任意的，， B．当 时，；当时，‎ C．对任意的，， D．当 时，；当时，‎ ‎1. 解析 由题意，，‎ 当时，，；当时，，.故选D.‎ ‎2.（2015湖南文6）若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离 心率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 解析 双曲线的渐近线为，由已知渐近线经过点，‎ 所以，.故选D.‎ ‎3. (2015山东文15)过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平 行的直线，交于点. 若点的横坐标为，则的离心率为 .‎ ‎3. 解析 假设过双曲线右焦点的直线与渐近线平行，‎ 右焦点为，所以.又在双曲线上，且为第四象限内一点，‎ 可得，所以.整理得，即.‎ 所以离心率.‎ ‎2016年 ‎1. （2016山东文14）已知双曲线，若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则的离心率是_______.‎ ‎1. 解析 由题意，又因为，则，于是点在双曲线上，代入方程，得，再由得的离心率为.‎ ‎2.（2016四川文19）已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，‎ ‎（1）若，，成等差数列，求数列的通项公式；‎ ‎（2）设双曲线的离心率为，且，求.‎ ‎2. 解析 （1）由已知，， 两式相减得到，.‎ 又由，得到，故对所有都成立.‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列.从而.‎ 由，，成等差数列，可得，所以，故.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可知，.‎ 所以双曲线的离心率.‎ 由，解得.‎ 所以 ‎2017年 ‎1.（2017全国2卷文5）若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1.解析 由题意，，因为，所以，则.‎ 故选C.‎ ‎2.（2017北京卷文10）若双曲线的离心率为，则实数_________.‎ ‎2．解析 解法一（基本量法）：由，，，‎ ‎，即.‎ 解法二：由，即.‎ 题型121 双曲线的焦点三角形 ‎1.（2016浙江文13）设双曲线的左、右焦点分别为，.若点在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是_______.‎ ‎1. 解析 由已知得，，，则.设是双曲线上任一点，由对称性不妨设在右支上，由于为锐角三角形，所以为锐角.则.由三角形大边对大角，则也为锐角.‎ ‎，，为锐角，则，即，解得，所以.由，得.‎