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文档介绍
2016届高考数学(理)大一轮复习达标训练试题:课时跟踪检测(四十四) 空间点、直线、平面之间的位置关系
课时跟踪检测(四十四) 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面 2.(2015·云南思茅模拟)设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( ) A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”的充要条件 B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件 D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件 3.(2015·济宁一模)直线l1,l2平行的一个充分条件是( ) A.l1,l2都平行于同一个平面 B.l1,l2与同一个平面所成的角相等 C.l1平行于l2所在的平面 D.l1,l2都垂直于同一个平面 4.(2015·太原期末检测)已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面 5.(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( ) A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 6.(2014·全国大纲卷)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、填空题 7.(2015·济南一模)在正四棱锥VABCD中,底面正方形ABCD的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA与BD所成角的大小为________. 8.(2015·福建六校联考)设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,则a∥c; ③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交; ④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线. 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号). 9.(2015·揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为________. 10.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条. 三、解答题 11.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点, (1)求证:直线EF与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角. 12.如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊AD,BE綊FA,G,H分别为FA,FD的中点. (1)求证:四边形BCHG是平行四边形; (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么? 答案 1.选B 若l1⊥l2,l2⊥l3,则l1,l3有三种位置关系,可能平行、相交或异面,A不正确;当l1∥l2∥l3或l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3可能共面,也可能不共面,C,D不正确;当l1⊥l2,l2∥l3时,则有l1⊥l3,故选B. 2.选C C中,当m⊂α时,若n∥α,则直线m,n可能平行,可能异面;若m∥n,则n∥α或n⊂α,所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件,故选C. 3.选D 对A,当l1,l2都平行于同一个平面时,l1与l2可能平行、相交或异面;对B,当l1,l2与同一个平面所成角相等时,l1与l2可能平行、相交或异面;对C,l1与l2可能平行,也可能异面,只有D满足要求,故选D. 4.选C 直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行的直线,∴A错;l⊂α时,在平面α内不存在与l异面的直线,∴D错;l∥α时,在平面α内不存在与l相交的直线,∴B错.无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直. 5.选D 依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,故选D. 6.选B 法一:设正四面体ABCD的棱长为2.如图,取AD的中点F,连接EF,CF. 在△ABD中,由AE=EB,AF=FD,得EF∥BD,且EF=BD=1. 故∠CEF为直线CE与BD所成的角或其补角. 在△ABC中,CE=AB=; 在△ADC中,CF=AD=. 在△CEF中,cos∠CEF= ==. 所以直线CE与BD所成角的余弦值为. 法二:设正四面体ABCD的棱长为2. 如图,取AD的中点F,连接EF,CF. 在△ABD中,由AE=EB,AF=FD,得EF∥BD,且EF=BD=1.故∠CEF为直线CE与BD所成的角或其补角. 在△ABC中,CE=AB=; 在△ADC中,CF=AD=. 取EF的中点H,连接CH, 则EH=EF=,且CH⊥EF. 在Rt△CEH中,cos∠CEF===. 所以直线CE与BD所成角的余弦值为. 7.解析:如图,设AC∩BD=O,连接VO,因为四棱锥VABCD是正四棱锥,所以VO⊥平面ABCD,故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,所以BD⊥平面VAC,所以BD⊥VA,即异面直线VA与BD所成角的大小为. 答案: 8.解析:由公理4知①正确;当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错;a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错. 答案:① 9.解析:如图,取A1C1的中点D1, 连接B1D1, 因为D是AC的中点,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a, AD1= =a. 所以,在△AB1D1中,由余弦定理得, cos ∠AB1D1===,所以∠AB1D1=60°. 答案:60° 10.解析:法一:在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,M取不同的位置就确定不同的平面,从而与 CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示. 法二:在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交. 答案:无数 11.解:(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线. (2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角. 又因为AC⊥BD,则FG⊥EG. 在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°. 12.解:(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD, 所以GH綊AD.又BC綊AD, 故GH綊BC. 所以四边形BCHG是平行四边形. (2)C,D,F,E四点共面.理由如下: 由BE綊AF,G是FA的中点知,BE綊GF, 所以EF綊BG. 由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC,FH共面. 又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.查看更多