四川省德阳市2020届高三“二诊”考试数学（理）试卷 Word版含解析

四川省德阳市2020届高三“二诊”考试数学（理）试卷 Word版含解析

www.ks5u.com 德阳市高中2017级“二诊”考试 数学试卷（理工农医类）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，其中为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.‎ ‎【详解】解：，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数代数形式乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.‎ ‎2.函数的定义域为，集合，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.‎ ‎【详解】解：由函数得，解得，即；‎ 又，解得，即，‎ 则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.‎ - 28 -‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得 ‎，故输入的实数值的个数为3．‎ 考点：程序框图．‎ ‎4.函数在的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性，在时函数范围的判断进行排除，即可得答案.‎ - 28 -‎ ‎【详解】解：由已知，则函数在上是奇函数，故排除B；‎ 又，故排除CD；‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质，如奇偶性，单调性，特殊点的函数值等进行排除是常用的方法，是基础题.‎ ‎5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；‎ ‎【详解】解：函数，‎ 要得到函数的图象，‎ 只需将函数的图象向左平移个单位．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．‎ ‎6.二项式的展开式中，常数项为（ ）‎ A. B. 80 C. D. 160‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 28 -‎ ‎【分析】‎ 求出二项式的展开式的通式，再令的次数为零，可得结果.‎ ‎【详解】解：二项式展开式的通式为，‎ 令，解得，‎ 则常数项为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.‎ ‎7.已知为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是（ ）‎ A. B. 4 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设抛物线焦点为，由题意利用抛物线的定义可得，当共线时，取得最小值，由此求得答案.‎ ‎【详解】解：抛物线焦点，准线，‎ 过作交于点，连接 由抛物线定义， ‎ - 28 -‎ ‎， 当且仅当三点共线时，取“＝”号，‎ ‎∴的最小值为. 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.‎ ‎8.不等式组表示的平面区域为，则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设，分析的几何意义，可得的最小值，据此分析选项即可得答案.‎ ‎【详解】解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，‎ - 28 -‎ 其中 ，， 设，则，的几何意义为直线在轴上的截距的2倍， 由图可得：当过点时，直线在轴上的截距最大，即，‎ 当过点原点时，直线在轴上的截距最小，即，‎ 故AB错误； 设，则的几何意义为点与点连线的斜率，‎ 由图可得最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.‎ ‎9.平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.‎ ‎【详解】解：‎ ‎，‎ 得，‎ - 28 -‎ 则向量在上的投影为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.‎ ‎10.已知的内角、、的对边分别为、、，且，，为边上的中线，若，则的面积为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，根据余弦定理可求出，进而可得的面积.‎ ‎【详解】解：延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，‎ 则，，，‎ 在中，‎ 则，得，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.‎ ‎11.已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案.‎ ‎【详解】解：根据题意，函数在上单调递增， 当，若为增函数，则①， 当，‎ 若为增函数，必有在上恒成立， ‎ - 28 -‎ 变形可得：， 又由，可得在上单调递减，则， 若在上恒成立，则有②， 若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，‎ 则需有，③ 联立①②③可得：. 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.‎ ‎12.是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.‎ ‎【详解】如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，‎ 当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，‎ - 28 -‎ ‎、分别为、的中点，则必有，‎ ‎，即为直角三角形.‎ 对于等腰梯形，如图：‎ 因为是等边三角形，、、分别为、、的中点，‎ 必有，‎ 所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图 ‎，，‎ 所以四棱锥底面的高为，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.‎ ‎13.随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：‎ - 28 -‎ ‎）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.‎ ‎【答案】3000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.‎ ‎【详解】解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，‎ 则，‎ 该市身高高于的高中男生人数大约为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.‎ ‎14.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.‎ ‎【详解】解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有，‎ 若甲乙两名护士到同一地的种数有，‎ 则甲乙两名护士不到同一地的种数有.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.‎ ‎15.已知、为正实数，直线截圆所得的弦长为 - 28 -‎ ‎，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.‎ ‎【详解】解：圆的圆心为，‎ 则到直线的距离为，‎ 由直线截圆所得的弦长为可得 ‎，整理得，‎ 解得或(舍去)，令 ‎，‎ 又，当且仅当时,等号成立,‎ 则 ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题.‎ ‎16.在中，、的坐标分别为，，且满足 - 28 -‎ ‎，为坐标原点，若点的坐标为，则的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理可得点在曲线上，设，则，将代入可得，利用二次函数的性质可得范围.‎ ‎【详解】解：由正弦定理得，‎ 则点在曲线上，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ 因为，则，‎ 即的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列满足：对一切成立.‎ - 28 -‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先通过求得，再由得，和条件中的式子作差可得答案；‎ ‎（2）变形可得，通过裂项求和法可得答案.‎ ‎【详解】（1）①，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 当时，②，‎ ‎①②得：，‎ ‎，‎ 适合，‎ 故；‎ ‎（2），‎ - 28 -‎ ‎　　.‎ ‎【点睛】本题考查法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.‎ ‎18.如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；‎ ‎（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：设中点为，连接、，‎ 为等边三角形，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ - 28 -‎ 平面，‎ 为的中位线，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 平面，‎ ‎、为平面内二相交直线，‎ 平面平面，‎ 平面DMN，‎ 平面；‎ ‎（2）设中点为，连接、‎ 为等边三角形，是等腰三角形，且顶角 ‎，，‎ ‎、、共线，‎ ‎，，，，平面 平面.‎ 平面 平面平面，交线为，平面 平面.‎ 设，则 在中，由余弦定理，得：‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，为中点，‎ ‎，‎ 建立直角坐标系（如图），则 - 28 -‎ ‎，，，.‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ ‎，‎ 取，则，‎ ‎，‎ 平面的法向量为，‎ ‎，‎ 二面角为锐角，‎ 二面角的余弦值大小为.‎ ‎【点睛】本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.‎ ‎19.贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计，两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：‎ 市场：‎ - 28 -‎ 需求量（吨）‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎110‎ 频数 ‎20‎ ‎50‎ ‎30‎ 市场：‎ 需求量（吨）‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎110‎ 频数 ‎10‎ ‎60‎ ‎30‎ 把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产吨该产品，在、两市场同时销售，以（单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润.‎ ‎（1）求的概率；‎ ‎（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）吨，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，由题可得，，，，，，代入，计算可得答案；‎ ‎（2）可取180，190，200，210，220，求出吨和吨时的期望，比较大小即可.‎ ‎【详解】（1）设“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，“市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件，，，则 ‎，，，‎ ‎，，，‎ - 28 -‎ ‎；‎ ‎（2）可取180，190，200，210，220，‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎.‎ ‎，‎ 时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量吨.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.‎ ‎20.已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可得，再根据离心率可求得，则可得椭圆方程；‎ ‎（2）当与轴垂直时，设直线的方程为：，与椭圆联立求得的坐标，通过、斜率之积为列方程可得的值，进而可得 - 28 -‎ 的面积；当与轴不垂直时，设，，的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理和、斜率之积为可得，再利用弦长公式求出，以及到的距离，通过三角形的面积公式求解.‎ ‎【详解】（1）抛物线的焦点为，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 椭圆方程为；‎ ‎（2）（ⅰ）当与轴垂直时，设直线的方程为：‎ 代入得：，，‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎；‎ ‎（ⅱ）当与轴不垂直时，设，，的方程为 由，‎ 由①‎ - 28 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 即 整理得：‎ 代入①得：‎ 到的距离 综上：为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.‎ - 28 -‎ ‎21.已知函数（，为自然对数的底数），.‎ ‎（1）若有两个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将有两个零点转化为方程有两个相异实根，令求导，利用其单调性和极值求解；‎ ‎（2）将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果.‎ ‎【详解】（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根 由，知 有两个零点有两个相异实根.‎ 令，则，‎ 由得：，由得：，‎ 单调递增，在单调递减 ‎，‎ 又 当时，，当时，‎ 当时，‎ - 28 -‎ 有两个零点时，实数的取值范围为；‎ ‎（2）当时，，‎ 原命题等价于对一切恒成立 对一切恒成立.‎ 令 ‎ 令，，则 在上单增 又，‎ ‎，使即①‎ 当时，，当时，，‎ 即在递减，在递增，‎ 由①知 ‎ 函数在单调递增 - 28 -‎ 即 ‎，‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.‎ ‎22.已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求点的轨迹的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设的极坐标为，在中，有，即可得结果；‎ ‎（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，联立两个方程，可求出，联立可得，则计算可得，利用三角函数的性质可得最值.‎ ‎【详解】（1）设的极坐标为，在中，有，‎ 点的轨迹的极坐标方程为；‎ - 28 -‎ ‎（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，‎ 由得：，‎ 由得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当，即时，，‎ 的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.‎ - 28 -‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若正数、满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ），分别解出，再求并集即可；‎ ‎（2）利用基本不等式及可得，代入可得最值.‎ ‎【详解】（1）等价于（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）‎ 由（Ⅰ）得：‎ 由（Ⅱ）得：‎ 由（Ⅲ）得：.‎ 原不等式的解集为；‎ ‎（2），，，‎ - 28 -‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎，‎ 当且仅当即时取等号，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.‎ - 28 -‎ - 28 -‎