【数学】2018届一轮复习人教A版充分条件、必要条件与命题的四种形式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版充分条件、必要条件与命题的四种形式学案

专题03 充分条件、必要条件与命题的四种形式（教学案）‎ ‎1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；‎ ‎2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.‎ ‎1．充分条件、必要条件与充要条件 ‎(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的充要条件．‎ ‎(2)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．‎ p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．‎ ‎2．命题的四种形式及真假关系 互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．‎ ‎【特别提醒】等价命题和等价转化 ‎(1)逆命题与否命题互为逆否命题；‎ ‎(2)互为逆否命题的两个命题同真假；‎ ‎(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．‎ 高频考点一　四种命题的关系及其真假判断 例1、(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　)‎ A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题 ‎(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真、假、真 B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假 ‎【感悟提升】(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．‎ ‎(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．‎ ‎(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． ‎ ‎【变式探究】已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)‎ A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题 B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 解析　由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.‎ 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．‎ 答案　D 高频考点二、充分条件与必要条件的判定 例2、(1)函数f(x)在x处导数存在．若p：f′(x)＝0；q：x是f(x)的极值点，则(　　)‎ A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件 ‎(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【感悟提升】充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．‎ ‎(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．‎ ‎【举一反三】(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．‎ 因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．‎ 答案　A 高频考点三　充分条件、必要条件的应用 例3、已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．‎ 解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}．‎ ‎∵x∈P是x∈S的必要条件，‎ 则S⊆P.‎ ‎∴解得m≤3.‎ 又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.‎ 综上，可知m≥0≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．‎ ‎【特别提醒】充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验．‎ ‎【变式探究】 ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________．‎ ‎【2016高考山东理数】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】直线a与直线b相交,则一定相交,若相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.‎ ‎【2016高考天津理数】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n−1+a2n<0”的（ ）‎ ‎（A）充要条件 （B）充分而不必要条件 ‎（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.‎ ‎【2016高考上海理数】设，则“”是“”的（ ） ‎ （A） 充分非必要条件 （B）必要非充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，所以是充分非必要条件，选A.‎ ‎【2015高考湖北，理5】设，. 若p：成等比数列；‎ q：，则（ ）‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 ‎ B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 ‎ D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；对命题，①当时，成立；‎ ②当时，根据柯西不等式，等式成立，则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件．‎ ‎【2015高考天津，理4】设 ，则“ ”是“ ”的( )‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】,或，所以 ‎“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【2015高考重庆，理4】“”是“”的（　　 ）‎ A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，因此选B.‎ ‎【2015高考安徽，理3】设，则是成立的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由，解得，易知，能推出，但不能推出，故是成立的充分不必要条件，选A.‎ ‎【2015高考湖南，理2】.设，是两个集合，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由题意得，，反之，‎ ‎，故为充要条件，选C.‎ ‎【2014·安徽卷】“x＜‎0”‎是“ln(x＋1)＜‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】ln(x＋1)<0⇔0<1＋x<1⇔－1‎1”‎是“{an}为递增数列”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 ‎ B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】D　‎ ‎【解析】当a1<0，q>1时，数列{an}递减；当a1<0，数列{an}递增时，0b”是“a|a|>b|b|”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】当ab≥0时，可得a>b与a|a|>b|b|等价．当ab<0时，可得a>b时a|a|>0>b|b|；反之，由a|a|>b|b|知a>0>b，即a>b.‎ ‎【2014·浙江卷】 已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝‎1”‎是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i, 得所以或故选A.‎ ‎【2014·重庆卷】已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0，q：“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．綈p∧綈q ‎ C．綈p∧q D．p∧綈q ‎【答案】D　‎ ‎【解析】根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x>‎1”‎是“x>‎‎2”‎ 的必要不充分条件，所以q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．‎ ‎ 1．设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)‎ A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0‎ B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0‎ C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0‎ D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ 解析　根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．‎ 答案　D ‎2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．‎ 答案　A ‎3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　m⊂α，m∥β α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．‎ 答案　B ‎4．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．下列结论错误的是(　　)‎ A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”‎ B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件 C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题 D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”‎ 解析　C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，‎ 即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题．‎ 答案　C ‎6．设x∈R，则“1”是“ln a>ln b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>，故必要性成立．‎ 当a＝1，b＝0时，满足>，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立．‎ 答案　B ‎9．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．‎ 解析　cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，‎ 即cos α＝±sin α.‎ 由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．‎ ‎∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．‎ 答案　充分不必要 ‎11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．‎ 解析　令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－20”是“x>1”的充分不必要条件；‎ ‎②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x∈R，sin x>1”；‎ ‎③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；‎ ‎④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.‎ 解析　①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误．‎ 对于②，命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x∈R，sin x>1”，故②正确．‎ 对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，其为假命题，故③错误．‎ 对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log32，‎ ‎∴log32与log23不互为相反数，故④错误．‎ 答案　②‎