四川省内江市2018-2019学年高一下学期期末教学质量检查数学（文）试题

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www.ks5u.com 内江市2018-2019学年高一下学期期末考试数学（文科）试卷 第Ⅰ卷(选择题 共60 分)‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项理的代号填在答题卡的指定位置上 ‎1.如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）‎ A. B. a2＜b2 C. a3＜b3 D. ac2＜bc2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可．‎ ‎【详解】∵a＜b＜0，‎ 不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，则，a2>b2‎ 所以A、B不成立，当c=0时，ac2=bc2所以D不成立，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法进行排除的应用，属于基础题．‎ ‎2.若向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝3，则|2|＝（　　）‎ A. 2 B. 14 C. 2 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得||，根据数量积公式求解即可．‎ ‎【详解】||．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查了利用数量积进行向量模的运算求解方法，属于基础题．‎ ‎3.在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，则a4•a7的值为（）‎ A. 6 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a4•a7的值．‎ ‎【详解】∵等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，∴a2•a9＝﹣6，‎ 则a4•a7＝a2•a9＝﹣6，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题．‎ ‎4.已知向量，且，则的值是（　　）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得，然后展开两角差的正切求解．‎ ‎【详解】解：由，且，得，即。‎ ‎，故选：A。‎ ‎【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．‎ ‎5.若不等式的解集是，则的值为（　　）‎ A. 12 B. C. D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数，从而求出所求．‎ ‎【详解】解：不等式的解集为，‎ 为方程的两个根，根据韦达定理：‎ 解得，故选：B。‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及韦达定理的运用和一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题．‎ ‎6.等差数列的前项和为，若，且，则（　　）‎ A. 10 B. 7 C. 12 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的前项和公式解得，由，‎ 得，由此能求出的值。‎ ‎【详解】解：差数列的前n项和为，，‎ ‎，解得，‎ 解得，故选：C。‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎7.已知分别是的内角的的对边，若，则的形状为（　）‎ A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合正弦定理可得利用三角形的内角和及诱导公式可得，整理可得从而有结合三角形的性质可求 ‎【详解】解：是的一个内角，，‎ 由正弦定理可得，‎ 又，，即为钝角，故选：A。‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．‎ ‎8.已知为锐角，角终边过点，则（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用任意角的三角函数的定义求得和，再利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式求得的值．‎ ‎【详解】角的终边过点，‎ ‎，‎ 又为锐角，‎ 由，可得 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查两角差的余弦，是基础题。‎ ‎9.在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为 （ ）．‎ A. 6 B. 12 C. 24 D. 48‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为，，，所以 ‎＝＝＋＝＝，故选C．‎ 考点：1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算．‎ ‎10.内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 成等比数列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．‎ ‎【详解】解：成等比数列，，又，，‎ 则 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11.《九章算术》中有如下问题：今有浦生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高尺，莞第一天长高尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为( ).(结果精确到，参考数据: ，)‎ A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An ‎；莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及对数的运算性质即可得出．‎ ‎【详解】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An，则An=.‎ 莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则Bn ，‎ 由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．‎ ‎∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式在实际中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12.在中，角的对边分别为,，且边，则面积的最大值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用同角三角函数基本关系式可求，根据余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而利用三角形面积公式即可求解．‎ ‎【详解】解：，可解得：，‎ 由余弦定理，可得 ‎，即，当且仅当时成立。‎ 等号当时成立。故选：D。‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．‎ 第II卷(选择题 共90 分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，请把答案填在答题卡上 ‎13.已知，，，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】解：，，，‎ ‎，当且仅当时取等号．故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用 “乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.‎ ‎14.已知两点A（2，1）、B（1，1+）满足＝（sinα，cosβ），α，β∈（﹣，），则α+β＝_______________‎ ‎【答案】或0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的加减运算和特殊角的三角函数值，可得所求和．‎ ‎【详解】两点A（2，1）、B（1，1）满足（sinα，cosβ），‎ 可得（﹣1，）＝（，）＝（sinα，cosβ），‎ 即为sinα，cosβ，‎ α，β∈（），可得α，β＝±，‎ 则α+β＝0或．‎ 故答案为：0或．‎ ‎【点睛】本题考查向量的加减运算和三角方程的解法，考查运能力，属于基础题．‎ ‎15.已知为所在平面内一点，且，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 将向量进行等量代换，然后做出对应图形，利用平面向量基本定理进行表示即可．‎ ‎【详解】解：设，则根据题意可得，，‎ 如图所示，作，垂足分别为，则 又，，故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理及其意义，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．‎ ‎16.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn＝+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出a1＝1，a2＝2×1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，由此利用累乘法能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎【详解】∵数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2＝2a1，且Sn1（n≥2），‎ ‎∴a2＝S2﹣S1＝a2+1﹣a1，‎ 解得a1＝1，a2＝2×1＝2，‎ ‎∴，解得a3＝4，‎ ‎，解得a4＝6，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，即，‎ ‎∴n≥2时，22n﹣2，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n项和公式的关系，考查运算求解能力，分类讨论是本题的易错点，是基础题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 ‎17.（1）设0＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值；‎ ‎（2）解关于x的不等式x2-（a+1）x+a＜0．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意利用二次函数的性质，求得函数的最大值．‎ ‎（2）不等式即（x﹣1）（x﹣a）＜0，分类讨论求得它的解集．‎ ‎【详解】（1）设0＜x，∵函数y＝x（3﹣2x）2，故当x时，函数取得最大值为．‎ ‎（2）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0．‎ 当a＝1时，不等式即 （x﹣1）2＜0，不等式无解；‎ 当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；‎ 当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．‎ 综上可得，当a＝1时，不等式的解集为∅，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的性质，求二次函数的最值，一元二次不等式的解集，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．‎ ‎18.已知数列满足 ‎ ‎（1）若，证明：数列是等比数列，求的通项公式；‎ ‎（2）求的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可得，即，运用等比数列的定义，即可得到结论；运用等比数列的通项公式可得所求通项。（2‎ ‎）数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求的和。‎ ‎【详解】解：（1）证明：由，得，‎ 又，，又，‎ 所以是首相为1，公比为2的等比数列；‎ ‎，‎ ‎（2）前项和，‎ ‎，‎ 两式相减可得：‎ 化简可得 ‎【点睛】本题考查利用辅助数列求通项公式，以及错位相减求和，考查学生的计算能力，是一道基础题。‎ ‎19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2+c2﹣b2）．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若边b＝，求a+c的取值范围．‎ ‎【答案】（1）B=60°（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可求tanB的值，结合B的范围可求B的值．‎ ‎（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a+csin（A），由题意可求范围A∈（，），根据正弦函数的图象和性质即可求解．‎ ‎【详解】（1）在△ABC中，∵S（a2+c2﹣b2）acsinB，cosB．‎ ‎∴tanB，‎ ‎∵B∈（0，π），‎ ‎∴B．‎ ‎（2）∵B，b，‎ ‎∴由正弦定理可得1，可得：a＝sinA，c＝sinC，‎ ‎∴a+c＝sinA+sinC＝sinA+sin（A）＝sinAcosAsinAsin（A），‎ ‎∵A∈（0，），A∈（，），‎ ‎∴sin（A）∈（，1]，‎ ‎∴a+csin（A）∈（，]．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式及三角函数恒等变换的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20.设函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．‎ ‎（1）求f（x）的周期和最大值；‎ ‎（2）已知△ABC中，角A.B.C的对边分别为A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．‎ ‎【答案】（1）周期为π，最大值为2.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用倍角公式降幂，展开两角差的余弦，将函数的关系式化简余弦型函数，可求出函数的周期及最值；‎ ‎（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．‎ ‎【详解】（1）函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）‎ ‎＝1+cos2x ‎＝cos（2x）+1，‎ ‎∵﹣1≤cos（2x）≤1，‎ ‎∴T，f（x）的最大值为2；‎ ‎（2）由题意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，‎ 即：cos（﹣2A），‎ 又∵0＜A＜π，‎ ‎∴2A，‎ ‎∴﹣2A，即A．‎ 在△ABC中，b+c＝2，cosA，‎ 由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，‎ 由于：bc，当b＝c＝1时，等号成立．‎ ‎∴a2≥4﹣1＝3，即a．‎ 则a的最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，余弦形函数的性质的应用，余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．‎ ‎21.如图，在中，，角的平分线交于点，设，其中 ‎．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据求出和的值，利用角平分线和二倍角公式求出，即可求出；‎ ‎（2）根据正弦定理求出，的关系，利用向量的夹角公式求出，可得，正弦定理可得答案 ‎【详解】解：（1）由，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则 ‎；‎ ‎（2）由正弦定理，得，即，，‎ 又，，‎ 由上两式解得，又由，得，‎ 解得 ‎【点睛】本题考查了二倍角公式和正弦定理的灵活运用和计算能力，是中档题．‎ ‎22.数列，各项均为正数，其前项和为，且满足.‎ ‎（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，即得数列为首项和公差都是的等差数列，再求出，再利用项和公式求数列的通项公式.(2)先求出，再利用裂项相消求出，最后解二次不等式得解.‎ ‎【详解】（1）证明：，当时，，‎ 整理得，，‎ 又，‎ 数列为首项和公差都是的等差数列.‎ ‎，‎ 又，‎ 时，，又适合此式 数列的通项公式为；‎ ‎（2）解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 依题意有，解得，‎ 故所求最大正整数的值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎