高中数学讲义微专题71 求圆锥曲线方程

高中数学讲义微专题71 求圆锥曲线方程

微专题 71 求曲线（或直线）的方程 一、基础知识： 1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多 （例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的 值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算， 那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中 的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾 向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理 2、所学方程中字母的几何意义 （1）直线：：斜率； ：直线所过的定点 （2）圆： :圆心的坐标； 圆的半径 （3）椭圆： ：长轴长，焦半径的和； 短轴长； ：焦距 （4）双曲线： ：实轴长，焦半径差的绝对值； 虚轴长； ：焦距 注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着 展开，通过这些条件也可以求出 的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）： 离心率： ；通径（焦点弦长的最小值）： 等 （5）抛物线： 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线： ， ② 圆： ③ 椭圆： 标准方程： （或 ，视焦点所在轴来决定） 椭圆方程通式： ④ 双曲线：  0 0,x y  ,a b :r 2a 2 :b 2c 2a 2 :b 2c , ,a b c , ,a b c ce a 22b a :p y kx m  x my t  2 2 0x y Dx Ey F       2 2 2 2 1 0x y a ba b      2 2 2 2 1 0y x a ba b     2 2 1 0, 0mx ny m n    标准方程： （或 ，视焦点所在轴决定） 双曲线方程通式： ⑤ 抛物线： 标准方程： 等 抛物线方程通式： ， （2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一 大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让 解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。常见的曲线系方程如下： ① 过相交直线 的交点的直线系方程为： 即 （其中 为参数） ② 与直线 平行的直线系方程为： （其中 为参数） ③ 与直线 垂直的直线系方程为： （其中 为参数） ④ 过相交两圆 交点的圆系方程为： 即 ⑤ 若直线 与圆 有公共点，则过公共点的 圆系方程为： 即 ⑥ 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线 渐近线相同的双曲线系方程为： 二、典型例题： 例 1：已知椭圆 的长轴长为 4，若点 是椭圆 上任意一点，过原   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b      2 2 2 2 1 0, 0y x a ba b     2 2 1 0mx ny mn    2 2 0y px p  2y mx 2x my 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 l A x B y C l A x B y C        1 2 0l l   1 1 1 2 2 2 0A x B y C A x B y C       0Ax By C   0Ax By     0Ax By C   0Bx Ay     2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 : 0 : 0 C x y D x E y F C x y D x E y F               1 2 0 1C C      2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 0x y D x E y F x y D x E y F          : 0l Ax By C   2 2 1 : 0C x y Dx Ey F     0C l   2 2 0x y Dx Ey F Ax By C        2 2 2 2 1x y a b    2 2 2 2 0x y a b       2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    P C 点的直线与椭圆相交于 两点，记直线 的斜率分别为 ，且 ，则 椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 思路：由已知可得 ，所以只需利用条件 求出的值即可，设 ， ， 则 。 则 ， 从 而 ，由分子分母平方差的特点及 在椭圆上联想到 点差法，得： ，所以 即 ，所以椭圆方程为 答案：D 例 2：椭圆 的右焦点为 ，右顶点，上顶点分别为 ，且 （1）求椭圆 的离心率 （2）若斜率为的直线过点 ，且交椭圆 于 两点， ，求直线的方程及椭 圆 的方程 解：（1）由椭圆方程可得： ,M N ,PM PN 1 2,k k 1 2 1 4k k   2 2 116 4 x y  2 2 14 2 x y  2 2 14 yx   2 2 14 x y  2a  1 2 1 4k k    0 0,P x y  1 1,M x y  1 1,N x y  1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 ,y y y yk kx x x x     2 2 1 0 1 0 1 0 1 2 2 2 1 0 1 0 1 0 1 4 y y y y y yk k x x x x x x          ,M P     2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 0 1 022 2 0 0 2 1 1 14 0414 x y b x x y ybx y b            2 2 2 1 0 2 2 1 0 1 4 4 y y b x x      2 1b  2 2 14 x y    2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    F ,A B 5 2AB BF C  0,2 C ,P Q OP OQ C      ,0 , 0. , ,0A a B b F c 2 2 2 2,AB a b BF b c a      5 2AB BF 2 2 2 2 25 5 2 4a b a a b a      （2）由（1）可得椭圆方程为： ， 由已知可得，直线的方程为 联立方程： ，消去 可得： ，即： ，解得： 经检验：当 ，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件 椭圆方程为 例 3：已知直线 ，椭圆 ， （1）若无论为何值，直线与椭圆 均有公共点，试求 的取值范围及椭圆离心率关于 的 函数关系式 （2）当 时，直线与椭圆 相交于 两点，与 轴交于点 ，若 ， 求椭圆 的方程 解：（1）由 可知直线过定点 2 24 2a b a b    : : 2 :1: 3a b c  3 2 ce a   2 2 2 2 2 2 2 1 4 44 x y x y bb b        1 1 2 2, , ,P x y Q x y OP OQ 1 2 1 2 0OP OQ x x y y      2 2y x  2 2 2 2 2 4 4 y x x y b      y  22 24 2 2 4 0x x b    2 217 32 16 4 0x x b    2 1 2 1 2 16 4 32,17 17 bx x x x          2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 42 2 2 2 4 4 4 4 17 by y x x x x x x           2 2 1 2 1 2 16 4 1 44 017 17 b bx x y y        1b  1b   2 2 14 x y  : 1l y kx    2 2 2: 1 09 x yE mm   E m m 10 3k  E ,A B y M 2AM MB  E : 1l y kx   0,1 与 恒有公共点 在椭圆上或椭圆内 的范围为 若 ，则 若 ，则 综上所述： （2）由已知可得： ， 设 联立直线与椭圆方程可得： l E  0,1 2 2 0 1 1 19 mm     2 9 3m m   m    1,3 3,m  2 9 1 3m m    2 2 29,a b m  2 2 29c a b m     29 3 c me a    2 9 3m m   2 2 2, 9a m b  2 2 2 9c a b m     2 9 3 c me a    2 2 9 , 33 9 ,1 33 m m e m m        10 13y x   0,1M    1 1 2 2, , ,A x y B x y    1 1 2 2,1 , , 1AM x y MB x y       2AM MB     1 2 1 2 2 1 2 1 x x y y      ，消去 可得： ，整理后可得： 可得： ，即 ，解得： 或 （舍） 椭圆方程为 例 4：过点 ，向椭圆 引两条切线，切点分别为 ，且 为正三角形，则 最大时椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 思路：由题意可知本题确定 值的关键在于 达到最大值时， 的取值，那么需要得到 关于 的关系（等式或不等式），作出图形可知，若 为正三角形，则 的斜率 为 ，进而能够得到 的方程。以 为例： ，与椭圆方程联立并 消元可得到： ，所以 ，则考 2 2 2 10 13 19 y x x y m       y 2 2 2 2109 1 93m x x m           2 2 210 6 10 9 1 0m x x m      2 1 2 1 22 2 9 16 10 ,10 10 m x x x xm m       1 22x x    1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 6 10 10 9 1 2 10 x x x m m x x x m            ① ② 2 ① ②     2 2 2 22 2 6 10 101 7209 12 109 1 10 m m mm m              2 21 10 80m m    4 29 90 0m m   2 6m  2 15m    2 2 19 6 x y   4,0A    2 2 2 2 1 0x y a ba b    ,B C ABC ab 2 24 14 3 x y  2 28 18 3 x y  2 23 14 4 x y  2 23 18 8 x y  ,a b ab ,a b ,a b ABC ,AB AC 3 3 ,AB AC AB  3 43y x   2 2 2 2 2 2 23 8 16 3 0a b x a x a a b     2 20 3 16a b     虑利用均值不等式得到 ，等号成立条件为 ，再结合 即可 求出 的值，从而确定椭圆方程 解：依图可知： 的方程为： ，联立方程： ，消去 ： ，整理后可得： 与椭圆相切 即 由均值不等式可得： （等号成立条件为： ） 的最大值为 ，此时 椭圆方程为： 答案：D 例 5：已知点 是椭圆 的右焦点， 是椭圆短轴的两个端点，且 是正三角形 （1）求椭圆 的离心率 （2）直线与以 为直径的圆 相切，并且被椭圆 截得的弦长的最大值为 ，求椭圆 的标准方程 8 30 3ab  2 23a b 2 23 16a b  ,a b ,6OAB   3 3ABk  AB  3 43y x    2 2 2 2 2 2 3 43y x b x a y a b       y  22 2 2 2 21 43b x a x a b    2 2 2 2 2 2 23 8 16 3 0a b x a x a a b     AB     22 2 2 2 2 28 4 3 16 3 0a a b a a b       4 4 4 2 2 2 2 464 64 12 192 36 0a a a b a b a b      4 2 2 2 2 412 192 36 0a b a b a b   2 23 16a b   2 2 2 23 2 3 2 3a b a b ab   8 32 3 16 3ab ab    2 23a b ab 8 3 3 2 2 2 22 2 83 83 16 3 aa b ba b          2 23 18 8 x y  F C ,A B ABF C AB O C 2 3 C 解：（1）设椭圆标准方程为 ，焦距为 ，由 是正三角形 可得： ，因为 解得： （2）由（1）可得椭圆的方程为： ， 设与椭圆 的交点为 若斜率不存在，可得弦长 若斜率存在，设 ，联立方程： ，整理可得： 与圆 相切 ， 代入到上式可得： （等号成立条件： ）   2 2 2 2 1 0x y a ba b    2c ABF 2a b 2 2 2a b c   : : 2 :1: 3a b c  3 2 ce a   2 2 24 4x y b  C    1 1 2 2, , ,M x y N x y 3MN b :l y kx m     2 2 2 2 2 2 2 4 1 8 4 0 4 4 y kx m k x kmx m b x y b            2 2 1 2 1 22 2 48 ,1 4 1 4 m bkmx x x xk k              2 2 22 2 1 2 1 2 1 21 1 4MN k x x k x x x x               2 2 2 2 2 2 22 16 1 4 1 4 k b m k b MN k       l 2 2 2x y b   2 2 2 2 1 1 md b m b k k              22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 1 3 1 216 16 4 1 4 1 4 k k k k MN b b k k            2 2 23 1 2k k k     max 2MN b  2 2 3 3b b    椭圆方程为： 例 6：设椭圆 的方程为 ，点 为坐标原点，点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ，点 在线段 上，满足 ，直线 的斜率为 （1）求 的离心率 （2）设点 的坐标为 ， 为线段 的中点，点 关于直线 的对称点的纵坐标 为 ，求 的方程 解（1）由 在线段 上和 可得： （2）由（1）中 ，可设 由 可得： ，设 的对称点 依题意可得： 可解得： 椭圆方程为 2 3a   2 2 112 3 x y  E   2 2 2 2 1 0x y a ba b    O A  ,0a B  0,b M AB 2BM MA OM 5 10 E C  0, b N AC N AB 7 2 E M AB 2BM MA 2BM MA     ,0 , 0,A a B b 1 2 2 1,3 3 3 3OM OB OA a b           5a b  : : 5 :1: 2a b c  2 2 555 ce a    : : 5 :1: 2a b c  : 1 5 5 5 x yAB x y bbb         ,0 , 0,A a C b 5 1,2 2N b b     N ' 0 7, 2N x     0 0 5 1 7 2 2 25 52 2 7 1 2 2 5 5 2 b x b b x b                   3b  3 5a   2 2 145 9 x y  1 53 2 2 10 3 OM b bk aa     例 7：已知椭圆 的半焦距为，原点 到经过两点 的 直线的距离为 （1）求椭圆的离心率 （2）如图， 是圆 的一条直 径，若椭圆 经过 两点，求椭圆 的方程 解：（1）过 的直线的方程为： ，由 可得： （2）由（1）可得： 椭圆方程为： 由圆方程 可得： 设 设 ，联立方程： 消去 可得： ，整理后可得：   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b    O    ,0 , 0,c b 1 2 c AB    2 2 5: 2 1 2M x y    E ,A B E    ,0 , 0,c b 1 0x y bx cy bcc b      2 2 1 2O l bc bcd cab c      1 1 2 2 b b aa    2 2 2a b c  2 2 2 2 2 3 2 4 a ca c a        3 2 ce a   : : 2 :1: 3a b c   2 2 2 2 2 2 2 1 4 44 x y x y bb b        2 2 52 1 2x y      102,1 , 2M r     1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2 422 102 10 x x x x ABAB r              : 2 1AB y k x     2 2 2 2 1 4 4 y k x x y b      y   22 24 2 1 4x k x b           22 2 21 4 8 1 2 4 1 2 4 0k x k k x k b          2 2 1 2 1 22 2 8 1 2 4 1 2 4,1 4 1 4 k k k bx x x xk k         椭圆方程为： 例 8：已知双曲线 的两个焦点为 ，其中一条渐近线方程为 ， 为双曲线上一点，且满足 ，若 成等比数列， 则双曲线 的方程为__________ 解： 成等比数列 由渐近线方程 可知： ，不妨设 在右支上 即 由中线定理可知： 即   2 8 1 2 141 4 2 k k kk      2 1 2 8 2x x b     2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 11 1 42 2AB x x x x x x                   210 2b  10AB  2 22 1 3b b      2 2 112 3 x y    2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b    1 2,F F  2 by x b N   P 5OP  1 1 2 2, ,PF F F PF C 1 1 2 2, ,PF F F PF 2 2 1 2 1 2 1 24F F PF PF c PF PF       2 by x b N   2a  P 1 2 2 4PF PF a     2 2 2 1 2 1 2 1 2= 2 16PF PF PF PF PF PF      2 2 2 1 2 8 16PF PF c    2 2 2 2 1 2 22PF PF OF OP    22 216 8 2c c OP     2 2 2 2 28 3 8 3 20 3OP c a b b       5OP  2 2 520 3 25 3b b     由 可知 双曲线方程为： 答案： 小 炼 有 话 说： 中 线 定 理 ： 已 知 为 中 底 边 的 中 线 ， 则 有 ， 证 明 如 下 ： 在 中， 由余弦定理可知： ① 同理，在 中，有： ② 且由 是 中点可知： 可得： ，即 例 9 ： （ 2014 ， 福 建 ） 已 知 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 分 别 为 ， （1）求双曲线 的离心率 （2）如图， 为坐标原点，动直线分别交直线 于 两点（ 分别在第一、四象 限），且 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线有且只有一 个公共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不存在请 说明理由 解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 （2）若直线不与轴垂直，设 b N  2 1b   2 2 14 x y  2 2 14 x y  AD ABC BC  2 2 2 22AB AC AD BD   ADB 2 2 2 2 cosAB AD BD AD BD ADB     ADC 2 2 2 2 cosAC AD CD AD CD ADC     ADB ADC     D BC BD CD  ① ② 2 2 2 2 22AB AC AD BD CD     2 2 2 22AB AC AD BD     2 2 2 2: 1 0, 0x yE a ba b    1 : 2l y x 2 : 2l y x  E O 1 2,l l ,A B ,A B OAB E E by xa  2 2b b aa    2 2 2 25c a b a    5ce a      1 1 2 2: , , , ,l y mx t A x y B x y  D A B C 联立方程： ，同理可得 设直线与轴交于 即 由直线与渐近线的交点 分别在第一、四象限可知： 由（1）可得双曲线方程为： 联立与双曲线方程： 因为与双曲线相切 整理可得： 所以 双曲线方程为： 存在一个总与相切的双曲线 ，其方程为 例 10：已知 分别为曲线 与轴的左，右两 个交点，直线过点 且与轴垂直， 为上异于点 的点，且 在第 一象限，连结 与曲线 交于点 （1）若曲线 为圆，且 ，求弦 的长 （2）设 是以 为直径的圆与线段 的交点，若 三点共线，求曲线 的方程 1 1 1 2 2 2 1 2 txx my t m y x ty m          1 1 1 2 2 2 1 2 txx my t m y x ty m             ,0C t 1 2 1 2OABS OC y y     2 21 2 2 8 4 1 42 1 2 1 2 t tt t mm m      ,A B 1 1 12 2 2mm      21 4 0m    2 24 1 4t m   2 2 2 2 14 x y a a     2 2 2 2 2 2 2 4 1 8 4 0 4 4 x my t m y mty t a x y a               2 2 2 28 16 4 1 0mt t a m          2 2 2 2 2 24 4 1 4 0 1 4 4 0m a m a m a        2 4a   2 2 14 16 x y   E 2 2 14 16 x y  ,A B   2 2 2: 1 0xC y aa    B P B P AP C M C 2 3 3BP  AM N BP BM , ,O N P C 解：（1）若曲线 为圆，则可知 的方程： （2）由已知可得： ，设直线 联立直线与椭圆方程可得： ，整理后可得： 可知该方程的两根为： ，由韦达定理可得： ，即 共线，且 为圆的直径 C 1a  2 2: 1C x y       2 31,0 , 1,0 , 1, 3A B P         2 3 33 1 1 3APk    AP  3 1 3 1 03y x x y       22 1 1 21 3 O APd     2 22 3O APAM r d        ,0 , ,0A a B a  :AP y k x a     ,2y k x a P a ak x a         2 2 22 2 22 1x y x k x a aa y k x a            2 2 2 3 2 4 2 21 2 0a k x a k x a k a     ,A Mx a x  4 2 2 2 21A M a k ax x a k   3 2 2 21M a a kx a k      2 2 2 1M M aky k x a a k     3 2 2 2 2 2 2,1 1 a a k akM a k a k       , ,O N P BP OP BM  0OP BM      3 2 2 2 2 2 2 2,2 , ,1 1 a k akOP a ak BM a k a k           ，即 解得： 曲线 的方程： 3 2 2 2 2 2 2 22 01 1 a k akOP BM a aka k a k           4 2 2 2 2 2 2 4 01 a k a k a k    4 2 2 22 4 0a k a k   2a   C 2 2 12 x y 