2018届二轮复习　回归分析、独立性检验学案（全国通用）

2018届二轮复习　回归分析、独立性检验学案（全国通用）

第7讲　回归分析、独立性检验 题型1　回归分析 ‎(对应 生用书第23页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1．变量的相关性 ‎(1)正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域．‎ ‎(2)负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域．‎ ‎(3)相关系数r：当r>0时，两变量正相关；当r<0时，两变量负相关；当|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越高，当|r|≤1且|r|越接近于0，相关程度越低．‎ ‎2．线性回归方程 方程＝x＋称为线性回归方程，其中＝，＝－.(，)称为样本中心点．‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题】　(2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ 图71‎ 表中wi＝，w]＝.‎ ‎(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)‎ ‎(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：‎ ‎①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ ‎ ‎【导 号：07804047】‎ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝－.‎ ‎[解]　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．‎ ‎(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．‎ 由于＝＝＝68，‎ ＝－ ＝563－68×6.8＝100.6，‎ 所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，‎ 因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.‎ ‎(3)①由(2)知，当x＝49时，‎ 年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，‎ 年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.‎ ‎②根据(2)的结果知，年利润z的预报值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.‎ 所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．‎ ‎[类题通法]求线性回归方程的步骤：‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ 某品牌2017款汽车即将上市，为了对这款汽车进行合理定价，某公司在某市五家4S店分别进行了两天试销售，得到如下数据：‎ ‎4S店 甲 乙 丙 丁 戊 单价x/万元 ‎18.0‎ ‎18.6‎ ‎18.2‎ ‎18.8‎ ‎18.4‎ ‎19.0‎ ‎18.3‎ ‎18.5‎ ‎18.5‎ ‎18.7‎ 销量y/辆 ‎88‎ ‎78‎ ‎85‎ ‎75‎ ‎82‎ ‎66‎ ‎82‎ ‎78‎ ‎80‎ ‎76‎ ‎(1)分别以五家4S店的平均单价与平均销量为散点，求出单价与销量的回归直线方程＝x＋；‎ ‎(2)在大量投入市场后，销量与单价仍服从(1)中的关系，且该款汽车的成本为12万元/辆，为使该款汽车获得最大利润，则该款汽车的单价约为多少万元(保留一位小数)?‎ 附：＝，＝－.‎ ‎[解]　(1)五家4S店的平均单价和平均销量分别为(18.3,83)，(18.5,80)，(18.7,74)，(18.4,80) ，(18.6,78)，‎ ‎∴＝＝18.5，‎ ＝＝79，‎ ‎∴＝＝＝－20.‎ ‎∴＝－＝79－(－20)×18.5＝79＋370＝449，‎ ‎∴＝－20x＋449.‎ ‎(2)设该款汽车的单价应为x万元，‎ 设利润f(x)＝(x－12)(－20x＋449)＝－20x2＋689x－5 388，‎ f′(x)＝－40x＋689，令－40x＋689＝0，解得x≈17.2，‎ 故当x≈17.2时，f(x)取得最大值．‎ ‎∴要使该款汽车获得最大利润，该款汽车的单价约为17.2万元．‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T1、T3、T5、T6、T7、T9、T10、T11、T12、T14)‎ 题型2　独立性检验 ‎(对应 生用书第24页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ 独立性检验的步骤 ‎(1)确定分类变量，获取样本频数，得到列联表．‎ ‎(2)求观测值：k＝.‎ ‎(3)根据临界值表，作出正确判断．如果k≥kα，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”．‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题】　(2017·郑州第一次质量预测)人机大战也引发全民对围棋的关注，某 校社团为调查 生 习围棋的情况，随机抽取了100名 生进行调查．根据调查结果绘制的 生日均 习围棋时间的频率分布直方图如图72所示，将日均 习围棋时间不低于40分钟的 生称为“围棋迷”．‎ 图72‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有95 的把握认为“围棋迷”与性别有关？‎ 非围棋迷 围棋迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量 生中，采用随机抽样方法每次抽取1名 生，抽取3次，记被抽取的3名 生中的“围棋迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．‎ 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎[思路分析]　(1)频率分布直方图2×2列联表下结论；‎ ‎(2)频率计算二项分布计算E(X)、D(X)．‎ ‎[解]　(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，‎ 从而2×2列联表如下：‎ 非围棋迷 围棋迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 K2＝＝ ‎＝≈3.030，‎ 因为3.030＜3.841，所以没有95 的把握认为“围棋迷”与性别有关．‎ ‎(2)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从该地区 生中抽取一名“围棋迷”的概率为.由题意知，X～B，从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝3×＝，D(X)＝3××＝.‎ ‎[类题通法] 独立性检验的方法 ‎(1)在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．‎ ‎(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤进行求解．‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ 某课题组对全班45名同 的饮食习惯进行了一次调查，并用如图73所示的茎叶图表示45名同 的饮食指数．说明：饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类．‎ 图73‎ ‎(1)根据茎叶图，完成下面2×2列联表，并判断是否有90 的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”，说明理由；‎ 喜食蔬菜 喜食肉类 合计 男同 ‎ 女同 ‎ 合计 ‎(2)用分层抽样的方法按照喜食蔬菜、喜食肉类从全班同 中随机抽取15名同 进行进一步调查，记抽到的喜食肉类的女同 的人数为ξ，求ξ的分布列和数 期望E(ξ). ‎ ‎【导 号：07804048】‎ 附：K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎[解]　(1)根据茎叶图，完成的2×2列联表如下：‎ 喜食蔬菜 喜食肉类 合计 男同 ‎ ‎19‎ ‎6‎ ‎25‎ 女同 ‎ ‎17‎ ‎3‎ ‎20‎ 合计 ‎36‎ ‎9‎ ‎45‎ 计算得K2＝＝0.562 5＜2.706，‎ 对照临界值得出，没有90 的把握认为“喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关”．‎ ‎(2)因为从喜食肉类的同 中抽取的人数为9×＝3，所以ξ的可能取值有0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以ξ的数 期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T2、T4、T8、T13)‎ 三年真题| 验收复习效果 ‎(对应 生用书第26页)‎ ‎1．(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(　　)‎ 图74‎ A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以 我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以 我国二氧化硫年排放量与年份正相关 D　[对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确．对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确．由图知2006年以 我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.]‎ ‎2．(2016·全国Ⅲ卷)如图75所示，是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．‎ 图75‎ 注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.‎ ‎(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. ‎ ‎【导 号：07804049】‎ 参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数r＝，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.‎ ‎[解]　(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得 ＝4， (ti－)2＝28，＝0.55，‎ ‎ (ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89，‎ 所以r≈≈0.99.‎ 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．‎ ‎(2)由＝≈1.331及(1)得 ＝＝≈0.103.‎ ＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.‎ 所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.‎ 将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82. ‎ 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．‎ ‎3．(2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧 箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个 箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如76所示：‎ 图76‎ ‎(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于‎50 kg，新养殖法的箱产量不低于‎50 kg”，估计A的概率；‎ ‎(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关；‎ 箱产量＜‎‎50 kg 箱产量≥‎‎50 kg 旧养殖法 新养殖法 ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．‎ 附：‎ K2＝.‎ ‎[解]　(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于‎50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于‎50 kg”．‎ 由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．‎ 旧养殖法的箱产量低于‎50 kg的频率为 ‎(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，‎ 故P(B)的估计值为0.62.‎ 新养殖法的箱产量不低于‎50 kg的频率为 ‎(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，‎ 故P(C)的估计值为0.66.‎ 因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.‎ ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量＜‎‎50 kg 箱产量≥‎‎50 kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ K2＝≈15.705.‎ 由于15.705>6.635，故有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于‎50 kg的直方图面积为 ‎(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，‎ 箱产量低于‎55 kg的直方图面积为 ‎(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，‎ 故新养殖法产量的中位数的估计值为 ‎50＋≈52.35(kg)．‎