【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版4-5-1简单的三角恒等变换学案
§4.5 简单的三角恒等变换
最新考纲
考情考向分析
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
2．倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3.半角公式
cos ＝±，
sin ＝±，
tan ＝±，
概念方法微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
2．怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？
提示 先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.( √ )
(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.( × )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
题组二 教材改编
2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案
解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
题组三 易错自纠
5．化简：＝ .
答案
解析 原式＝
＝＝＝.
6．(2018·抚顺模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝ .
答案 －
解析 方法一 sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，
可求得sin θ＋cos θ＝，
∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
方法二 ∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，∴tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.
7．化简：＝ .
答案 4sin α
解析 ＝＝＝4sin α.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一 和差公式的直接应用
1．(2018·呼和浩特质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案 A
解析 因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为( )
A. B.
C. D．1
答案 D
解析 ∵tan＝，tan＝，
∴tan(α＋β)＝tan
＝＝＝1.
3．(2018·辽阳调研)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 ∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
4．计算的值为 ．
答案
解析 ＝
＝＝＝.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
题型二 和差公式的灵活应用
命题点1 角的变换
例1 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .
答案
解析 依题意得sin α＝＝，
因为sin(α＋β)＝
α，
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
(2)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为( )
A. B.
C．－ D．－
答案 B
解析 因为α为锐角，且cos＝，
所以sin＝＝，
所以sin＝sin 2
＝2sincos＝2××＝，故选B.
命题点2 三角函数式的变换
例2 (1)化简： (0<θ<π)；
(2)求值：－sin 10°.
解 (1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0，
∴＝＝2cos .
又(1＋sin θ＋cos θ)
＝
＝2cos
＝－2cos cos θ，
故原式＝＝－cos θ.
(2)原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
引申探究
化简： (0<θ<π)．
解 ∵0<θ<π，∴0<<，∴＝2sin ，
又1＋sin θ－cos θ＝2sin cos ＋2sin2
＝2sin ，
∴原式＝
＝－cos θ.
命题点3 公式的逆用与变形
例3 (1)已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝ .
答案 －
解析 ∵sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，
∴(sin α＋cos β)2＝，(sin β－cos α)2＝，
即sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＝，①
sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝.②
①＋②得sin2α＋2sin αcos β＋cos2β＋sin2β－2sin βcos α＋cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋(cos2β＋sin2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝，则sin(α－β)＝－.
(2)已知α－β＝，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为 ．
答案 －
解析 ∵tan α－tan β＝－＝＝3，且α－β＝，∴cos αcos β＝，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，∴sin αsin β＝－，那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
跟踪训练 (1)已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为________．
答案
解析 cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，
∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.
(2)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝ .
答案
解析 由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
(3)若sin x＋cos x＝，则tan＝ .
答案 ±
解析 由sin x＋cos x＝，得2sin＝，
即sin＝，所以cos＝±，
所以tan＝±，
即tan＝tan＝±.
用联系的观点进行三角变换
三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．
例 (1)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为 ．
答案
解析 ∵α为锐角且cos＝>0，
∴α＋∈，∴sin＝.
∴sin＝sin
＝sin 2cos －cos 2sin
＝sincos－
＝××－
＝－＝.
(2)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 ．
答案 2
解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2.
(3)已知sin α＝，α∈，则＝ .
答案 －
解析 ＝
＝cos α－sin α，
∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－，∴原式＝－.
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 D
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．若cos θ＝，θ为第四象限角，则cos的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由cos θ＝，θ为第四象限角，得sin θ＝－，
故cos＝(cos θ－sin θ)＝×＝.故选B.
3．(2018·包头模拟)若sin α＝，则sin－cos α等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 A
解析 sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝×＝.
4．已知sin α＝且α为第二象限角，则tan等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 D
解析 由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝.∴tan 2α＝－，
∴tan＝＝
＝－.
5．已知α为锐角，若sin＝，则cos等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由于α为锐角，且sin＝，
则cos＝，
则cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，故选A.
6．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 因为α∈，所以2α∈(0，π)，
因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，
所以sin 2α＝＝，
而α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝.
7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是( )
A．α<<β B．β<<α
C.<α<β D.<β<α
答案 B
解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝>0，∴<α<.
又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴α＋β＝，
又α>，∴β<<α.
8．的值是________．
答案
解析 原式＝
＝
＝＝.
9.＝________.
答案
解析 ＝
＝＝.
10．已知sin α＋cos α＝，则sin2＝________.
答案
解析 由sin α＋cos α＝，两边平方得1＋sin 2α＝，
解得sin 2α＝－，
所以sin2＝
＝＝＝.
11．化简：·＝________.
答案
解析 原式＝tan(90°－2α)·
＝··
＝··＝.
12．(2018·营口模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝________.
答案
解析 依题意可将已知条件变形为
sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－.
又β是第三象限角，所以cos β＝－.
所以sin＝－sin
＝－sin βcos －cos βsin
＝×＋×＝.
13．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 由3cos 2α＝sin可得
3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
又由α∈可知，cos α－sin α≠0，
于是3(cos α＋sin α)＝，
所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.故选C.
14．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．
答案
解析 因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝2＋2
＝＋＝.
15．化简：·＝_________________________________.
答案 －4
解析 原式＝·＝·
＝－4·tan(45°＋15°)＝－4.
16．已知α，β∈，且sin ＋cos ＝，sin(α－β)＝－，则sin β＝________.
答案
解析 由sin ＋cos ＝，平方可得sin α＝.
∵α∈，
∴cos α＝－.
又∵－<α－β<，sin(α－β)＝－，
∴cos(α－β)＝.
故sin β＝sin
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
