【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第6章第6讲直接证明与间接证明作业

【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第6章第6讲直接证明与间接证明作业

对应学生用书[练案44理][练案43文]‎ 第六讲　直接证明与间接证明 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　B　)‎ A．综合法　 B．分析法 C．反证法　 D．归纳法 ‎[解析]　根据分析法的特点，易知选B．‎ ‎2．(2020·广东珠海一中、惠州一中联考)欲证－<－，只需证(　A　)‎ A．(＋)2<(＋)2‎ B．(－)2<(－)2‎ C．(－)2<(－)2‎ D．(－－)2<(－)2‎ ‎[解析]　欲证－<－，只需证＋<＋，只需证(＋)2<(＋)2，故选A．‎ ‎3．(2020·安徽淮南模拟)用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，下列假设正确的是(　B　)‎ A．三个内角中至少有一个钝角 B．三个内角中至少有两个钝角 C．三个内角都不是钝角 D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 ‎[解析]　由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设“三个内角中至少有两个钝角”．‎ ‎4．(2019·湖北孝感协作体联考)设a，b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0(a>0，且a≠1)．其中能推出“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件为(　D　)‎ A．②③④　 B．②③④⑤‎ C．①②③⑤　 D．②⑤‎ ‎[解析]　a＝b＝1时，a＋b＝2，所以推不出a，b中至少有一个大于1，①不符合；当a＝b＝0时，a＋b>－2，推不出a，b中至少有一个大于1，③不符合；当a＝b＝－2时，ab>1，推不出a，b中至少有一个大于1，④不符合；对于②，假设a，b都不大于1，即 a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，所以②能推出a，b中至少有一个大于1；对于⑤，假设a，b都不大于1，则logab≥loga1＝0，与logab<0矛盾，故⑤能推出a，b中至少有一个大于1.综上，选D．‎ ‎5．(2020·济宁微山一中高二期中)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　C　)‎ A．P>Q　 B．P＝Q C．Pb>c，且a＋b＋c＝0，求证0　 B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0　 D．(a－b)(a－c)<0‎ ‎[解析]　0⇔(a－c)(‎2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C．‎ ‎7．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋(　C　)‎ A．都大于2‎ B．至少有一个大于2‎ C．至少有一个不小于2‎ D．至少有一个不大于2‎ ‎[解析]　因为＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥2＋2＋2＝6，所以＋，＋，＋中至少有一个不小于2.故选C．‎ ‎8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　A　)‎ A．恒为负值　 B．恒等于零 C．恒为正值　 D．无法确定正负 ‎[解析]　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是①③④ .‎ ‎[解析]　要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④都能使＋≥2成立．‎ ‎11．(2019·山东省潍坊一中期中)＋与2＋的大小关系为＋>2＋　.‎ ‎[解析]　要比较＋与2＋的大小，‎ 只需比较(＋)2与(2＋)2的大小，‎ 只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小，‎ 只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，‎ ‎∵42>40，∴＋>2＋.‎ ‎12．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是(0,16] .‎ ‎[解析]　因为a，b∈(0，＋∞)且＋＝1，‎ 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋(＋)≥10＋2＝16，所以a＋b的最小值为16.‎ 所以要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，所以0<μ≤16.‎ 三、解答题 ‎13．(2019·吉林省白山一中模拟)已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤.‎ ‎[解析]　a⊥b⇔a·b＝0，‎ 要证≤.‎ 只需证|a|＋|b|≤|a＋b|，‎ 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋‎2a·b＋b2)，‎ 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤‎2a2＋2b2，‎ 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，‎ 即证(|a|－|b|)2≥0，‎ 上式显然成立，故原不等式得证．‎ ‎14．(2020·驻马店期末)设非等腰△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，‎ B，C成等差数列，用分析法证明：＋＝.‎ ‎[证明]　因为△ABC非等腰三角形，所以a－b≠0，c－b≠0.‎ 要证＋＝，‎ 只需证＝，‎ 只需证(a＋c－2b)(a－b＋c)＝3(a－b)(c－b)，‎ 只需证(a＋c－b)2－b(a＋c－b)＝3(ac＋b2－bc－ab)，‎ 只需证b2＝a2＋c2－ac，‎ 只需证cos B＝＝，‎ 只需证B＝.‎ 因为A，B，C成等差数列，所以B＝＝，‎ 所以B＝要显然成立．故结论成立．‎ B组能力提升 ‎1．(2020·重庆巴蜀中学月考)用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c，d中恰有一个偶数”时正确的假设为(　D　)‎ A．自然数a，b，c，d都是奇数 B．自然数a，b，c，d都是偶数 C．自然数a，b，c，d中至少有两个偶数 D．自然数a，b，c，d中至少有两个偶数或都是奇数 ‎[解析]　a、b、c、d中偶数情况，共有以下几种，都是偶数，1奇3偶，2奇2偶，3奇1偶，都是奇数，故选D．‎ ‎2．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则(　A　)‎ A．A≤B≤C　 B．A≤C≤B C．B≤C≤A　 D．C≤B≤A ‎[解析]　∵≥≥，又f(x)＝()x在R上是减函数，∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C．故选A．‎ ‎3．设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有(　D　)‎ A．[－x]＝－[x]　 B．[2x]＝2[x]‎ C．[x＋y]≤[x]＋[y]　 D．[x－y]≤[x]－[y]‎ ‎[解析]　取x＝1.6，y＝2.7，则[x]＝[1.6]＝1，[y]＝[2.7]＝2，[2x]＝[3.2]＝3，[－x]＝[－1.6]＝－2，故A，B错误；[x＋y]＝[1.6＋2.7]＝4，故C错．故选D．‎ ‎4．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.‎ ‎(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；‎ ‎(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．‎ ‎[解析]　(1)证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b.‎ 因为f(x)在R上单调递增，所以f(a)≥f(－b)．‎ 同理，a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．‎ 两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．‎ ‎(2)(1)中命题的逆命题为：‎ 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.‎ 该命题成立，下面用反证法证之．‎ 假设a＋b<0，那么：‎ a＋b<0⇒a<－b⇒f(a)0可得：a1＝1‎ 当n≥2时，2Sn＝a＋an……①‎ ‎2Sn－1＝a＋an－1……②‎ 由①－②得：2an＝a－a＋an－an－1，‎ 即：(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，‎ 数列{an}为正项数列，an＋an－1≠0，‎ 所以an－an－1－1＝0‎ 所以{an}为以a1＝1为首项，公差为1的等差数列，‎ ‎∴an＝n(n∈N*)‎ ‎(2)由bn＝可得：bn＝ 由<＝－(n∈N*)‎ 可知：Tn＝＋＋…＋ ‎<(－)＋(－)＋…＋(－)<－<，n∈N*‎ ‎∴对任意正整数，都有Tn<.‎