- 2021-06-16 发布 |
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高考数学_最后100个知识点
高考数学 100 个提醒—— 知识、方法与例题 一、集合与逻辑 1、区分集合中元素的形式：如： xyx lg| —函数的定义域； xyy lg| —函 数的值域； xyyx lg|),( —函数图象上的点集，如（1）设集合 { | 3}M x y x ，集合 N＝ 2| 1,y y x x M ，则 MN ___（答： [1, ) ）；（2）设集合 { | (1,2) (3,4), }M a a R ， { | (2,3) (4,5)N a a ， }R ，则 NM _____（答： )}2,2{( ） 2、条件为 BA ，在讨论的时候不要遗忘了 A 的情况 如： }012|{ 2 xaxxA ，如果 RA ，求 a 的取值。（答：a≤0） 3、 }|{ BxAxxBA 且 ; }|{ BxAxxBA 或 CUA={x|x∈U 但 x A}; BxAxBA 则 ;真子集怎定义？ 含 n 个 元 素 的 集 合 的 子 集 个 数 为 2n, 真 子 集 个 数 为 2n － 1; 如 满足 {1,2} {1,2,3,4,5}M 集合 M 有______个。 （答：7） 4、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=? 5、A∩B=A A∪B=B A B CUB CUA A∩CUB= CUA∪B=U 6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如已知函数 12)2(24)( 22 ppxpxxf 在区间 ]1,1[ 上至少存在一个实 数 c ，使 0)( cf ，求实数 p 的取值范围。 （答： 3( 3, )2 ） 7、原命题: pq ;逆命题: qp ;否命题: pq ；逆否命题: qp ；互为逆否的两个命题是等价的. 如：“ sinsin ”是“ ”的 条件。（答：充分非必要条件） 8、若 且 qp ;则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件）; 9、注意命题 的否定与它的否命题的区别: 命题 的否定是 pq ；否命题是 命题“p 或 q”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且 q”的否定是“┐P 或┐Q” 注意：如 “若 a 和b 都是偶数，则 ba 是偶数”的 否命题是“若 和 不都是偶数，则 是奇数” 否定是“若 和 都是偶数，则 是奇数” 二、函数与导数 10、指数式、对数式： m n mnaa ， 1m n m n a a ，， 0 1a ，log 1 0a ， log 1a a ，lg2 lg5 1， log lne xx ， log ( 0, 1, 0)b aa N N b a a N ， loga NaN 。 如 2log 81()2 的值为________(答： 1 64 ) 11、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0 时奇函数; 12、二次函数①三种形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点式 f(x)=a(x-h)2+k;零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0 偶函数; ③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如： 若函数 422 1 2 xxy 的定义域、值域都是闭区间 ]2,2[ b ，则 b ＝ （答：2） ④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 13、反比例函数: )0x(x cy 平移 bx cay (中心为(b,a)) 14、对勾函数 x axy 是奇函数, 上为增函数，，在区间时 )0(),0(,0 a 递减，在时 )0,[],0(,0 aaa 递增，在 ),a[],a( 15、单调性①定义法;②导数法. 如：已知函数 3()f x x ax在区间[1, ) 上是 增函数，则 a 的取值范围是____(答： ( ,3] ))； 注意①： 0)( xf 能推出 )(xf 为增函数，但反之不一定。如函数 3)( xxf 在 ),( 上单调递增，但 0)( xf ，∴ 是 为增函数的充分不必 要条件。 注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求 参 数 范 围 ） . 如 已 知 奇 函 数 )(xf 是 定 义 在 )2,2( 上 的 减 函 数 , 若 0)12()1( mfmf ，求实数 m 的取值范围。（答： 12 23m ） ③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式. 如函数 2 1 2 log 2y x x 的单调递增区间是________(答：（1,2）)。 16、奇偶性：f(x)是偶函数 f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x); 定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的 必要而不充分的条件。 17、周期性。（ 1）类比“三角函数图像”得： ①若 ()y f x 图像有两条对称轴 , ( )x a x b a b ，则 ()y f x 必是周期函 数，且一周期为 2 | |T a b； ②若 ()y f x 图像有两个对称中心 ( ,0), ( ,0)( )A a B b a b ，则 ()y f x 是周 期函数，且一周期为 2 | |T a b； ③ 如 果 函 数 ()y f x 的 图 像 有 一 个 对 称 中 心 ( ,0)Aa 和 一 条 对 称 轴 ()x b a b，则函数 必是周期函数，且一周期为 4 | |T a b； 如已知定义在 R 上的函数 ()fx是以 2 为周期的奇函数，则方程 ( ) 0fx 在 [ 2,2] 上至少有__________个实数根（答：5） （2）由周期函数的定义“函数 ()fx满足 xafxf ( 0)a ，则 是 周期为 a 的周期函数”得：①函数 满足 xafxf ，则 是周期为 2 的 周 期 函 数 ； ② 若 1( ) ( 0)()f x a afx 恒 成 立 ， 则 2Ta ； ③ 若 1( ) ( 0)()f x a afx 恒成立，则 . 如(1) 设 )(xf 是 ),( 上的奇函数， )()2( xfxf ，当 10 x 时， xxf )( ，则 )5.47(f 等于_____(答： 5.0 )；(2)定义在 R 上的偶函数 ()fx满 足 ( 2) ( )f x f x ，且在[ 3, 2] 上是减函数，若 ,是锐角三角形的两个内角， 则 (sin ), (cos )ff的大小关系为_________(答： (sin ) (cos )ff )； 18、常见的图象变换 ①函数 axfy 的图象是把函数 xfy 的图象沿 x 轴向左 )0( a 或向 右 )0( a 平移 a 个单位得到的。如要得到 )3lg( xy 的图像，只需作 xy lg 关 于_____轴对称的图像，再向____平移 3 个单位而得到(答： y ；右)；（3）函数 ( ) lg( 2) 1f x x x 的图象与 x 轴的交点个数有____个(答：2) ②函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上 或向 下 )0( a 平移 个单位得到的；如将函数 aax by 的图象向右平移 2 个单位 后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与原图象关于直线 xy 对称,那么 0,1)( baA RbaB ,1)( 0,1)( baC RbaD ,0)( (答：C) ③函数 axfy 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来 的 a 1 得到的。如（1）将函数 ()y f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的 1 3 （纵 坐标不变），再将此图像沿 轴方向向左平移 2 个单位，所得图像对应的函数为 _____(答： (3 6)fx )；（2）如若函数 (2 1)y f x是偶函数，则函数 (2 )y f x 的对称轴方程是_______(答： 1 2x )． ④函数 xafy 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来 的 倍得到的. 19、函数的对称性。 ①满足条件 f x a f b x 的函数的图象关于直线 2 abx 对称。如已 知二次函数 )0()( 2 abxaxxf 满足条件 )3()5( xfxf 且方程 xxf )( 有等根，则 )(xf ＝_____(答： 21 2 xx)； ②点( , )xy关于 y 轴的对称点为( , )xy ；函数 xfy 关于 轴的对称曲线 方程为 xfy ； ③点 关于 x 轴的对称点为( , )xy ；函数 关于 轴的对称曲线方 程为 xfy ； ④点 关于原点的对称点为( , )xy ；函数 关于原点的对称曲线 方程为 xfy ； ⑤点 关于直线 y x a 的对称点为( ( ), )y a x a ；曲线 ( , ) 0f x y 关于直线 的对称曲线的方程为 ( ( ), ) 0f y a x a 。特 别地，点 关于直线 yx 的对称点为( , )yx；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 ( , ) 0f y x ；点 关于直线 yx 的对称点为( , )yx； 曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 ( , ) 0f y x 。如己知函数 33( ) ,( )2 3 2 xf x xx ,若 )1( xfy 的图像是 1C ,它关于直线 yx 对称图像 是 22 ,CC 关于原点对称的图像为 33 , CC 则 对应的函数解析式是___________（答： 2 21 xy x ）； 若 f(a－x)＝f(b+x),则 f(x)图像关于直线 x= 2 ba 对称;两函数 y=f(a+x)与 y=f(b-x)图像关于直线 x= 2 ab 对称。 提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴） 的对称点仍在图像上；如（ 1）已知函数 )(1)( Raxa axxf 。求证：函数 )(xf 的图像关于点 ( , 1)Ma 成中心对称图形。 ⑥曲线 关于点( , )ab的对称曲线的方程为 (2 ,2 ) 0f a x b y 。 如若函数 xxy 2 与 )(xgy 的图象关于点（-2，3）对称，则 )(xg ＝______ （答： 2 76xx ） ⑦形如 ( 0, )ax by c ad bccx d 的图像是双曲线，对称中心是点( , )da cc 。 如已知函数图象C 与 2: ( 1) 1C y x a ax a 关于直线 yx 对称，且图象C 关于点（2，－3）对称，则 a 的值为______（答：2） ⑧| ( ) |fx 的图象先保留 ()fx原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关 于 轴的对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； (| |)fx的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去 轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图 形得到。如（1）作出函数 2| log ( 1)|yx及 2log | 1|yx的图象；（2）若函数 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，则函数 )()()( xfxfxF 的图象关于____对称 （答： y 轴） 20.求解抽象函数问题的常用方法是： （1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ： ①正比例函数型： ( ) ( 0)f x kx k --------------- ( ) ( ) ( )f x y f x f y ； ②幂函数型： 2()f x x -------------- ( ) ( ) ( )f xy f x f y ， ()() () x f xf y f y ； ③指数函数型： () xf x a ---------- ( ) ( ) ( )f x y f x f y ， ()()() fxf x y fy ； ④对数函数型： ( ) logaf x x --- ( ) ( ) ( )f xy f x f y， ( ) ( ) ( )xf f x f yy ； ⑤三角函数型： ( ) tanf x x ----- ( ) ( )()1 ( ) ( ) f x f yf x y f x f y 。 如已知 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T， 则 )2( Tf __（答：0） 21.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇 函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数 具相同单调性⑤f(x)定义域为 A,值域为 B,则 f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈ A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。 如：已知函数 ()y f x 的图象过点(1,1),那么 4fx 的反函数的图象一定经 过点_____（答：（1,3））； 22、题型方法总结 Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 Ⅱ求函数解析式的常用方法： （1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般 式： 2()f x ax bx c ； 顶 点 式 ： 2( ) ( )f x a x m n ； 零 点 式 ： 12( ) ( )( )f x a x x x x ）。 如已知 ()fx为二次函数，且 )2()2( xfxf ， 且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 的解析式 。（答： 21( ) 2 12f x x x ） （2）代换（配凑）法――已知形如 ( ( ))f g x 的表达式，求 ()fx的表达式。如 （ 1 ） 已知 ,sin)cos1( 2xxf 求 2xf 的解析式（ 答 ： 2 4 2( ) 2 , [ 2, 2]f x x x x ）；（ 2 ） 若 2 2 1)1( xxxxf ，则函数 )1( xf =_____（答： 2 23xx）；（3）若函数 是定义在 R 上的奇函数，且 当 ),0( x 时， )1()( 3 xxxf ，那么当 )0,(x 时， =________（答： 3(1 )xx ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即 的定义 域应是 ()gx的值域。 （3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于 及另外一个函 数的方程组。如（1）已知 ( ) 2 ( ) 3 2f x f x x ，求 ()fx的解析式（答： 2( ) 3 3f x x ）；（2）已知 是奇函数， )(xg 是偶函数，且 + = 1 1 x , 则 = （答： 2 1 x x ）。 Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?; 零指数幂的底数?);实际问题有意义;若 f(x)定义域为[a,b],复合函数 f[g(x)]定义 域由 a≤g(x)≤b 解出；若 f[g(x)]定义域为[a,b],则 f(x)定义域相当于 x∈[a,b] 时 g(x)的值域； 如：若函数 )(xfy 的定义域为 2,2 1 ，则 )(log 2 xf 的定义域为__________ （答： 42| xx ）；（2）若函数 2( 1)fx 的定义域为[ 2,1) ，则函数 ()fx的 定义域为________（答：[1,5]）． Ⅳ求值域: ①配方法：如：求函数 2 2 5, [ 1,2]y x x x 的值域（答：[4,8]）； ②逆求法（反求法）：如： 3 13 x xy 通过反解，用 y 来表示3x ，再由 的取 值范围，通过解不等式，得出 的取值范围（答：（0,1））； ③换元法：如（1） 22sin 3cos 1y x x 的值域为_____（答： 17[ 4, ]8 ）； （2） 2 1 1y x x 的值域为_____（答： 3, ）（令 1xt， 0t 。 运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）； ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； 如： 2sin 1 1 cosy 的值域（答： 3( , ]2 ）； ⑤不等式法――利用基本不等式 2 ( , )a b ab a b R 求函数的最值。如设 12, , ,x a a y 成等差数列， 12, , ,x b b y 成等比数列，则 21 2 21 )( bb aa 的取值范围是 ____________.（答：( ,0] [4, ) ）。 ⑥ 单 调 性 法 ： 函 数 为 单 调 函 数 ， 可 根 据 函 数 的 单 调 性 求 值 域 。 如 求 1 (1 9)y x xx ， 2 2 9sin 1 sinyx x ， 2 32 log 5xyx 的值域为 ______（答： 80(0, )9 、 11[ ,9]2 、 0, ）； ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如（1）已 知点 ( , )P x y 在圆 221xy上，求 2 y x 及 2yx 的取值范围（答： 33[ , ]33 、 [ 5, 5] ）；（2）求函数 22( 2) ( 8)y x x 的值域（答：[10, ) ）； ⑧判别式法：如（1）求 21 xy x 的值域（答： 11,22 ）；（2）求函数 2 3 xy x 的值域（答： 1[0, ]2 ）如求 2 1 1 xxy x 的值域（答：( , 3] [1, ) ） ⑨导数法;分离参数法;―如求函数 32( ) 2 4 40f x x x x ， [ 3,3]x 的最 小值。（答：－48） 用 2 种方法求下列函数的值域：① 32( [ 1,1])32 xyxx ② )0,(,32 xx xxy ；③ )0,(,1 32 xx xxy ⑤解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.⑥恒成立问题:分离参数法; 最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立 a≥[f(x)]max,;a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min; ⑦任意定义在 R 上函数 f（x）都可以唯一地表示成一个奇 函数与一个偶函数的和。即 f（x）＝ ( ) ( )g x h x＋ 其中 g（x）＝ f x f x 2 （ ）＋ （－ ）是偶函数，h（x）＝ f x f x 2 （ ）－ （－ ）是奇函数 ⑦利用一些方法（如赋值法（令 x ＝0 或 1，求出 (0)f 或 (1)f 、令 yx 或 yx 等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如（ 1）若 xR ， ()fx满足 ( ) ( )f x y f x ()fy ，则 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若 ， 满足 ( ) ( )f xy f x ()fy ，则 的奇偶性 是______（答：偶函数）；（3）已知 是定义在 ( 3,3) 上 的奇函数，当03x时， ()fx的图像如右图所示，那么不 等式 ( ) cos 0f x x 的 解 集 是 _____________ （ 答 ： ( , 1) (0,1) ( ,3)22 ）；（4）设 ()fx的定义域为 R ，对 任意 ,x y R ，都有 ( ) ( ) ( )xf f x f yy ，且 1x 时， ( ) 0fx ，又 1( ) 12f ， ①求证 为减函数；②解不等式 2( ) (5 )f x f x .（答： 0,1 4,5 ）． 23、导数几何物理意义:k=f/(x0)表示曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。 V＝s/(t)表示 t 时刻即时速度,a=v′(t)表示 t 时刻加速度。如一物体的运动方 程是 21s t t ，其中 s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在 3t 时的瞬时速 度为_____（答：5 米/秒） O 1 2 3 x y 24、基本公式: m m-10(C );(x ) mx (m Q)C 为常数 25、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数 3( ) 3f x x x 过点 (2, 6)P 作曲线 ()y f x 的切线，求此切线的方程（答： 30xy或 24 54 0xy ）。 ⑵研究单调性步骤:分析 y=f(x)定义域;求导数;解不等式 f/(x)≥0 得增区间;解不 等式 f/(x)≤0 得减区间;注意 f/(x)=0 的点; 如：设 0a 函数 axxxf 3)( 在 ),1[ 上单调函数，则实数 a 的取值范围______（答：03a）； ⑶求极值、最值步骤:求导数;求 0)( xf 的根;检验 )(xf 在根左右两侧符号,若左正 右负,则 f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则 f(x)在该根处取极小值;把极值与 区 间 端 点 函 数 值 比 较 ,最 大 的 为 最 大 值 , 最 小 的 是 最 小 值 . 如：（ 1 ） 函数 51232 23 xxxy 在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5； 15 ）； （2）已知函数 32()f x x bx cx d 在区间[－1,2 ]上是减函数，那么 b＋c 有 最__值__答：大， 15 2 ）（3）方程 01096 23 xxx 的实根的个数为__（答： 1） 特别提醒：（1） 0x 是极值点的充要条件是 点两侧导数异号，而不仅是 0fx ＝0， ＝0 是 为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件， 一定要既考虑 0( ) 0fx ，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否 则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数 3 2 2 1f x x ax bx a x 在 处 有极小值 10，则 a+b 的值为____（答：－7） 三、数列、 26、an={ ),2( )1( * 1 1 NnnSS nS nn 注意验证 a1 是否包含在 an 的公式中。 27、 )*,2(2)( 111 中项常数｝等差｛ Nnnaaadaaa nnnnnn ?,,,);0()( 2 BAbaBnAnsbana nn 的二次常数项为一次 2 n n-1 n 1 n 1n a a a (n 2,n N)a } q( ); a0 n n a a ｛ 等比 定 ?m;aa 1 1n n n n qmmsq 如若{}na 是等比数列，且 3n nSr，则 r ＝ （答：－1） 28、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前 n 项和最大(或最小)问题,转化为解 不等式 )0 0(0 0 11 n n n n a a a a 或 ,或用二次函数处理;(等比前 n 项积?)，由此你能求一般 数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{}na 中， 1 25a ， 9 17SS ，问此数列 前多少项和最大？并求此最大值。（答：前 13 项和最大，最大值为 169）；（2）若 是等差数列，首项 1 0,a 2003 2004 0aa， 2003 2004 0aa，则使前 n 项和 0nS 成 立的最大正整数 n 是 （答：4006） 29、等差数列中 an=a1+(n-1)d;Sn= dnnna 2 )1( 1 = dnnnan 2 )1( = 2 )( 1 naan 等比数列中 an= a1 qn-1;当 q=1,Sn=na1 当 q≠1,Sn= q qa n 1 )1(1 = q qaa n 1 1 30.常用性质：等差数列中, an=am+ (n－m)d, nm aad nm ;当 m+n=p+q,am+an=ap+aq； 等比数列中，an=amqn-m; 当 m+n=p+q ，aman=apaq； 如（1）在等比数列{}na 中， 3 8 4 7124, 512a a a a ，公比 q 是整数，则 10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列 中，若 569aa，则 3 1 3 2 3 10log log loga a a （答：10）。 31.常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、 nb 1 、 {anbn}、 n n b a 等比;{an}等差,则 nac (c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0 且 c 1)等差。 32.等差三数为 a-d,a,a+d;四数 a-3d,a-d,,a+d,a+3d; 等比三数可设 a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什 么？) 如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第 四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。（答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16） 33. 等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、…… 仍为等差数列。 等比数列{an}的任意连续 m 项的和且不为零时构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 如：公比为-1 时， 4S 、 8S - 、 12S - 8S 、…不成等比数列 34.等差数列{an},项数 2n 时,S 偶-S 奇＝nd;项数 2n-1 时,S 奇-S 偶＝an ; 项数为 n2 时， 则 qS S 奇 偶 ;项数为奇数 21n 时， 1S a qS奇 偶 . 35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构. 分组法求数列的和：如 an=2n+3n 、错位相减法求和：如 an=(2n-1)2n、裂项法求和： 如求和： 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 n （答： 2 1 n n ）、倒序相 加法求和：如①求证： 0 1 23 5 (2 1) ( 1) 2nn n n n nC C C n C n ；②已知 2 2() 1 xfx x ，则 111(1) (2) (3) (4) ( ) ( ) ( )234f f f f f f f ＝___（答：7 2 ） 36.求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）： ①an+1-an=…… 0 0 0 如 an= -2n2+29n-3 ② 1 1 1 1 n n a a (an>0) 如 an= n n n 10 )1(9 ③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 1562 n n 求 通项常法: （ 1 ） 已 知 数 列 的 前 n 项和 ns , 求通项 na ， 可 利 用 公 式: 2)(n SS 1)(n Sa 1nn 1 n 如：数列{}na 满足 122 1 1 1 252 2 2 nna a a n ，求 na （答： 1 14, 1 2 , 2nn na n ） （2）先猜后证 （3）递推式为 1na ＋ ＝ ＋f(n) (采用累加法)； ＝ ×f(n) (采用累积法)； 如已知数列{}na 满足 1 1a ， nn aa nn 1 1 1 ( 2)n ，则 na =________ （答： 1 2 1nan ） （4）构造法形如 1nna ka b、 1 n nna ka b（ ,kb为常数）的递推数列如①已 知 111, 3 2nna a a ，求 na （答： 12 3 1n na ）； （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下 3 个公式的合 理运用 an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+……＋（a2－a1）＋a1 ； an＝ 1 1 2 2n 1n 1n n aa a a a a a － － － （6）倒数法形如 1 1 n n n aa ka b 的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知 1 1 1 1, 31 n n n aaaa ，求 （答： 1 32na n ）； ② 已 知 数 列 满 足 1a =1 ， 11n n n na a a a ，求 na （答： 2 1 na n ） 37、常见和： 11 2 3 ( 1)2n n n ， 2 2 2 11 2 ( 1)(2 1)6n n n n ， 3 3 3 3 2( 1)1 2 3 [ ]2 nnn 四、三角 38 、 终 边 相 同 ( β =2k π + α ); 弧 长 公 式 ： ||lR ， 扇 形 面 积 公 式： 211||22S lR R ，1 弧度(1rad) 57.3 . 如已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇 形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。（答：2 2cm ） 39、函数 y= )sin( xA b（ 0,0 A ）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期 T= 2 ,频率?φ =kπ 时奇函数;φ =kπ + 2 时偶函数.③对称轴处 y 取最值,对称中心 处值为 0;余弦正切可类比. 如（ 1）函数 5 22y sin x 的奇偶性是______（答： 偶函数）；（2）已知函数 3 1f ( x ) ax bsin x ( a,b 为常数），且 57f ( ) ，则 5f ( )______（答：－5）；（3）函数 )cos(sincos2 xxxy 的图象的对称中心 和 对 称 轴 分 别 是 __________ 、 ____________ （ 答 ： 128 k( , )( k Z )、 28 kx ( k Z ) ）；（4）已知 3f ( x ) sin( x ) cos( x ) 为偶函数， 求 的值。（答： 6k ( k Z ) ） ④变换:φ 正左移负右移；b 正上移负下移; )sin()sin(sin 1 || xyxyxy 倍横坐标伸缩到原来的左或右平移 )sin(sinsin ||1 xyxyxy 左或右平移倍横坐标伸缩到原来的 bxAyxAy bA )sin()sin( || 上或下平移倍纵坐标伸缩到原来的 40、正弦定理:2R= A a sin = B b sin = C c sin ; 内切圆半径 r= cba S ABC 2 余弦定理： a 2 =b 2 +c 2 -2bc Acos , bc acbA 2cos 222 ; 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B 术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时 针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α 的取值范围是：0° ≤α ＜360°＝等 41、同角基本关系：如：已知 11tan tan ，则 cossin cos3sin ＝____； 2cossinsin2 ＝_________（答： 3 5 ； 5 13 ）； 42、诱导公式简记:奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始．终视．．．为锐角．．．)． 43、重要公式： 2 2cos1sin2 ； 2 2cos1cos2 ．； sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2tan ; 2sin2cos)2sin2(cossin1 2 如：函数 25 5 3f ( x ) sin xcos x cos x 5 32 ( x R )的单调递增区间为 ___________（答： 5 12 12[ k ,k ]( k Z ) ） 巧变角：如 ( ) ( ) ， 2 ( ) ( ) ， 2 ( ) ( ) ， 2 2 ， 2 2 2 等）， 如（ 1）已知 2tan( ) 5， 1tan( )44 ，那么 tan( )4 的值是_____（答： 3 22 ）；（2）已知 ,为锐角，sin ,cosxy， 3cos( ) 5 ，则 y 与 x 的函数关系为______（答： 23 4 31 ( 1)5 5 5y x x x ） 44、辅助角公式中辅助角的确定： 22sin cos sina x b x a b x (其中 tan b a )如：（1）当函数 23y cos x sin x取得最大值时，tan x 的值是 ______(答： 3 2 )；（2）如果 sin 2cos( )f x x x 是奇函数，则 tan = (答：－2)； 五、平面向量 45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫 做相反向量。 a 的相反向量是－ 。)、共线向量、相等向量 注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 46、加、减法的平行四边形与三角形法则: ACBCAB ; CBACAB 47、 bababa , 41、（ 5）向量数量积的性质：设两个非零向量 ，b ，其夹角为 ，则： ① 0a b a b ； ②当 a ，b 同向时， ＝ ab，特别地， 222 ,a a a a a a ；当 与 反向时， ＝－ ；当 为锐角时， ＞0，且 ab、 不同向， 0ab 是 为锐角的必要非充分条件；当 为钝角时， ＜0，且 不反向， 0ab 是 为钝角的必要非充分条件；③ | | | || |a b a b 。如（1）已知 )2,( a ， )2,3( b ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围是______（答： 4 3 或 0 且 1 3 ）； 48、向量 b 在 方向上的投影︱b︱cos ＝ a ba 49、 1e 和 2e 是平面一组基底,则该平面任一向量 2211 eea ( 21, 唯一) 特别：. OP ＝ 12OA OB 则 121是三点 P、A、B 共线的充要条件如平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 为 坐 标 原 点 ， 已 知 两 点 )1,3(A , )3,1(B ,若点C 满足 OC OBOA 21 ,其中 R21, 且 121 ,则点 的轨迹是_______ （答：直线 AB） 50、在 ABC 中，① 1 ()3PG PA PB PC G 为 的重心，特别地 0PA PB PC P 为 的重心；② PA PB PB PC PC PA P 为 的垂心； ③向量 ( )( 0) | | | | ACAB AB AC 所在直线过 的内心(是 BAC 的角平 分线所在直线)； ④| | | | | | 0AB PC BC PA CA PB P 的内心； ⑤S⊿AOB＝ ABBA yxyx 2 1 ; 如：（1）若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 2OB OC OB OC OA ， 则 的形状为____（答：直角三角形）；（2）若 D 为 ABC 的边 BC 的中点， ABC 所在平面内有一点 P ，满足 0PA BP CP ，设 || || AP PD ，则 的值为 ___（答：2）；（3）若点O 是 ABC△ 的外心，且 0OA OB CO ，则 的内 角 C 为____（答：120 ）； 51、 P 分 21PP 的比为 ,则 PP1 = 2PP , ＞0 内分; ＜0 且 ≠-1 外分. OP ＝ 1 21 OPOP ;若λ ＝1 则OP ＝ 2 1 ( 1OP + 2OP );设 P(x,y),P1(x1,y1), P2(x2,y2)则 .1 ,1 21 21 yyy xxx ;中点 .2 ,2 21 21 yyy xxx 重心 .3 yyyy ,3 xxxx 321 321 52、点 ),( yxP 按 ),( kha 平移得 ),( yxP ,则 PP ＝ a 或 kyy hxx 函数 )(xfy 按 ),( kha 平移得函数方程为： )( hxfky 如（ 1）按向量 a 把(2, 3) 平移到(1, 2) ， 则按向量 把点( 7,2) 平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数 xy 2sin 的 图象按向量 a 平移后，所得函数的解析式是 12cos xy ，则 ＝________（答： )1,4( ） 六、不等式 53、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若 ab>0，则 ba 11 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改 变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未 定，要注意分类讨论。如：已知 11xy ，13xy ，则 3xy 的取值范 围是______（答：1 3 7xy ）； 54、比较大小的常用方法：（ 1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的 符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法； （5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比， 与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设 0,10 taa 且 ，比较 2 1loglog2 1 tt aa 和 的大小（答：当 1a 时， 11log log22aa tt （ 1t 时取等号）；当01a时，11log log22aa tt （ 时取等号））；（2）设 2a ， 1 2paa ， 242 2 aaq ，试比较 qp, 的大小（答： pq ） 55、常用不等式：若 0, ba ，（ 1） 22 2 2 2 1 1 a b a b ab ab （当且仅当 ba 时取等号） ；（ 2）a、b、cR， 2 2 2a b c ab bc ca （当且仅当 abc 时，取等号）；（3）若 0, 0a b m ，则 b b m a a m （糖水的浓度问题）。 如：如果正数 a 、b 满足 3 baab ，则 ab 的取值范围是_________（答： 9, ） 基本变形：① ba ； 2)2( ba ； 注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平 方；如：①函数 )2 1(42 94 xxxy 的最小值 。（答：8） ②若若 21xy，则 24xy 的最小值是______（答： 22）； ③正数 ,xy满足 21xy，则 yx 11 的最小值为______（答：3 2 2 ）； 56、 bababa (何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a 57、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合法-- 由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。⑤放缩法方法有： ⑴添加或舍去一些项，如： aa 12 ； nnn )1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： 4lg16lg15lg)2 5lg3lg(5lg3log 2 ； 2 )1()1( nnnn ⑷利用常用结论： Ⅰ、 kkk kk 2 1 1 11 ； Ⅱ、 kkkkk 1 1 1 )1( 11 2 ； 1 11 )1( 11 2 kkkkk （程度大） Ⅲ、 )1 1 1 1(2 1 )1)(1( 1 1 11 22 kkkkkk ； （程度小） ⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如： 已知 222 ayx ，可设 sin,cos ayax ； 已知 122 yx ，可设 sin,cos ryrx ( 10 r )； 已知 12 2 2 2 b y a x ，可设 sin,cos byax ； 已知 12 2 2 2 b y a x ，可设 tan,sec byax ； ⑦最值法,如：a>fmax(x),则 a>f(x)恒成立. 58、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方 ④公式法：|f(x)|>g(x) ;|f(x)|查看更多