【数学】2018届一轮复习人教A版 空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

第 3 讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 ,　　　　　　 　　[学生用书 P127]) 1．四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线． 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 {共面直线{平行 相交 异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′ 与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． ②范围：(0， π 2 ]． (3)定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线 a 在 平面 α 内 a⊂α 有无数个 公共点 直线 a 与 平面 α 平行 a∥α 没有 公共点 直线 a 与 平面 α 斜交 a∩α＝A 直线 在平 面外 直线 a 与 平面 α 垂直 a⊥α 有且只 有一个 公共点 (2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 α∥β 没有 公共点 斜交 α∩β＝l两平 面相 交 垂直 α⊥β且 α∩β＝a 有一条 公共 直线 1．辨明三个易误点 (1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平 面内”． (2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件． (3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]． 2．证明共线问题的两种途径 (1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． 3．证明共面问题的两种途径 (1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合． 1.教材习题改编 下列命题正确的是(　　) A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 　D　[解析] A 选项考查公理 2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定平面；B 选 项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定平面；C 选项中的四边形有可能是空间四边 形，只有 D 是正确的． 2.教材习题改编 下列命题是真命题的是(　　) A．m、n 是两直线，α，β是两平面，若 m⊂α，n⊂β，则 m、n 是异面直线 B．m、n、l 是三条直线，若 m⊥n，且 l 与 m 成 50°角，则 l 与 n 成 40°角 C．平面 α∥平面 β，直线 m∥α，则 m∥β D．在长方体的十二条棱中，将是异面关系的两条棱记为“一对异面直线”，则这十二 条棱中共有 24 对异面直线 　D　[解析] 对于 A，m 与 n 可能平行或相交，故 A 错．对于 B，l 与 n 所成的角不确 定，故 B 错．对于 C，m 可能在平面 β 内，故 C 错．对于 D，如图，在长方体 ABCD­A1B1C1D1 中，与 AA1 成为一对异面直线的有 BC、DC、B1C1、D1C1 共 4 对． 故异面直线对数为 12 × 4 2 ＝24.故 D 正确． 3.教材习题改编 已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形 一定是(　　) A．空间四边形　　　　　 B．矩形 C．菱形 D．正方形 　B　[解析] 如图所示，易证四边形 EFGH 为平行四边形． 因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点， 所以 EF∥AC. 又 FG∥BD， 所以∠EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角． 而 AC 与 BD 所成的角为 90°， 所以∠EFG＝90°， 故四边形 EFGH 为矩形． 4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的 一个图是(　　) 　D　[解析] A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面． 5.教材习题改编 如图，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，AC 与 A 1B 所成角的大小为 ________． [解析] 连接 A1C1 与 BC1(图略)，由正方体性质知 AC∥A1C1.则∠BA1C1 即为 AC 与 A1B 所成的角，且 A1C1＝A1B＝BC1. 所以∠BA1C1＝60°. [答案] 60° 　平面的基本性质[学生用书 P128] [典例引领] 　如图所示，在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点．求证： E、C、D1、F 四点共面． 【证明】　 如图所示，连接 CD1、EF、A1B， 因为 E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点， 所以 EF∥A1B 且 EF＝ 1 2A1B. 又因为 A1D1 ═ ∥ BC，所以四边形 A1BCD1 是平行四边形， 所以 A1B∥CD1，所以 EF∥CD1， 所以 EF 与 CD1 确定一个平面 α， 所以 E、F、C、D1∈α，即 E、C、D1、F 四点共面． 本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA 交于一点”？ [证明] 如图，由本例知 EF∥CD1，且 EF＝ 1 2CD1， 所以四边形 CD1FE 是梯形， 所以 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则 P∈CE，且 P∈D1F， 又 CE⊂平面 ABCD，且 D1F⊂平面 A1ADD1， 所以 P∈平面 ABCD，且 P∈平面 A1ADD1. 又平面 ABCD∩平面 A1ADD1＝AD，所以 P∈AD， 所以 CE、D1F、DA 三线共点． 共点、共线、共面问题的证明方法 (1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的 公共点，再根据基本公理 3 证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线， 然后证明其余点也在该直线上． (2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点． (3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此 平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α，再证明其余元素确定平面 β，最 后证明平面 α、β 重合． 　已知空间四边形 ABCD(如图所示)，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、 H 分别是 BC、CD 上的点，且 CG＝ 1 3BC，CH＝ 1 3DC.求证： (1)E、F、G、H 四点共面； (2)三直线 FH、EG、AC 共点． [证明] (1)连接 EF、GH， 因为 E、F 分别是 AB、AD 的中点， 所以 EF∥BD. 又因为 CG＝ 1 3BC，CH＝ 1 3DC， 所以 GH∥BD， 所以 EF∥GH， 所以 E、F、G、H 四点共面． (2)易知 FH 与直线 AC 不平行，但共面， 所以设 FH∩AC＝M， 所以 M∈平面 EFHG，M∈平面 ABC. 又因为平面 EFHG∩平面 ABC＝EG， 所以 M∈EG， 所以 FH、EG、AC 共点． 　空间两直线的位置关系[学生用书 P129] [典例引领] 　(1)在图中，G，N，M，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号) (2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB，CD，EF，GH 所在直线在 原正方体中互为异面的对数为________对． 【解析】　(1)图①中，直线 GH∥MN；图②中，G，H，N 三点共面， 但 M∉面 GHN， 因此直线 GH 与 MN 异面； 图③中，连接 MG，GM∥HN， 因此 GH 与 MN 共面； 图④中，G，M，N 共面， 但 H∉面 GMN， 因此 GH 与 MN 异面．所以在图②④中，GH 与 MN 异面． (2)平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化， 则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中， 显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线， 而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行． 故互为异面的直线有且只有 3 对． 【答案】　(1)②④　(2)3 　 [通关练习] 1．若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内，l2 在平面 β 内，l 是平面 α 与平面 β 的交 线，则下列命题正确的是(　　) A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交 　D　[解析] 由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，故 l1，l2 中至少有一条与 l 相交． 2. 如图，正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个 结论： ①直线 AM 与 CC1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线； ③直线 BN 与 MB1 是异面直线； ④直线 AM 与 DD1 是异面直线． 其中正确的结论为________(把你认为正确的结论的序号都填上)． [解析] 直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故①②错误． [答案] ③④ 　异面直线所成的角[学生用书 P130] [典例引领] 　空间四边形 ABCD 中，AB＝CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30°，E、F 分别为 BC、AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小． 【解】　取 AC 的中点 G，连接 EG、FG，则 EG ═ ∥ 1 2AB，FG ═ ∥ 1 2CD， 由 AB＝CD 知 EG＝FG， 所以∠GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角，∠EGF(或它的补角)为 AB 与 CD 所成 的角． 因为 AB 与 CD 所成的角为 30°， 所以∠EGF＝30°或 150°. 由 EG＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°； 当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°. 故 EF 与 AB 所成的角为 15°或 75°. 　 　直三棱柱 ABC­A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A 1B1，A1C1 的 中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为(　　) A． 1 10　　　　　　　　　　　 B． 2 5 C． 30 10 D． 2 2 　C　[解析] 如图，取 BC 的中点 D， 连接 MN，ND，AD， 由于 MN ═ ∥ 1 2B1C1 ═ ∥ BD， 因此有 ND ═ ∥ BM， 则 ND 与 NA 所成角即为异面直线 BM 与 AN 所成角． 设 BC＝2， 则 BM＝ND＝ 6，AN＝ 5，AD＝ 5， 因此 cos∠AND＝ ND2＋NA2－AD2 2ND·NA ＝ 30 10 . ,　　　　　　 　　[学生用书 P130]) ——构造直观模型判断空间线面位置关系 　已知 m，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若 m⊥α，n⊥β，m⊥n，则 α⊥β； ②若 m∥α，n∥β，m⊥n，则 α∥β； ③若 m⊥α，n∥β，m⊥n，则 α∥β； ④若 m⊥α，n∥β，α∥β，则 m⊥n. 其中所有正确的命题是(　　) A．①④　　　　　　　　　 B．②④ C．① D．④ 【解析】　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面 α，β互相垂直，如 图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③， 平面 α、β 可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由 m⊥α，α∥β可得 m⊥β，因 为 n∥β，所以过 n 作平面 γ，且 γ∩β＝g，如图(4)所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 m⊥g， 所以 m⊥n，故④正确． 【答案】　A 　(1)此类空间位置关系的判断是一个难点，本题通过构造长方体模型，将 已知条件中的线、面分别与长方体中的某些棱、面对应，从而使问题得以解决． (2)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出 判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误． (3)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直 观去判断． 　1.已知空间三条直线 l，m，n，若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则(　　) A．m 与 n 异面 B．m 与 n 相交 C．m 与 n 平行 D．m 与 n 异面、相交、平行均有可能 　D　[解析] 在如图所示的长方体中，m，n 1 与 l 都异面，但是 m∥n1，所以 A，B 错 误；m，n2 与 l 都异面，且 m，n2 也异面，所以 C 错误． 2．在正方体 ABCD­A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AA1、CC1 的中点，则在空间中与三条 直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线有________条． [解析] 法一：如图，在 EF 上任意取一点 M，直线 A1D1 与 M 确定一个平面，这个平面 与 CD 有且仅有一个交点 N，当 M 取不同的位置时就确定不同的平面，从而与 CD 有不同的 交点 N，而直线 MN 与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线 有无数条． 法二：在 A1D1 上任取一点 P，过点 P 与直线 EF 作一个平面 α，因为 CD 与平面 α 不平 行，所以它们相交，设它们交于点 Q，连接 PQ(图略)，则 PQ 与 EF 必然相交，即 PQ 为所 求直线．由点 P 的任意性，知有无数条直线与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交． [答案] 无数 ,　　　　　　　 　　[学生用书 P335(独立成册)]) 1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有(　　) A．4 个　　　　　　　　　 B．3 个 C．2 个 D．1 个 　A　[解析] 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平 面． 2．(2016·高考山东卷)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β内．则“直线 a 和直 线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 　A　[解析] 若直线 a，b 相交，设交点为 P，则 P∈a，P∈b.又 a⊂α，b⊂β，所以 P∈α，P∈β，故 α，β相交．反之，若 α，β相交，则 a，b 可能相交，也可能异面或平 行．故“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的充分不必要条件． 3．已知 l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面 D．l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面 　B　[解析] 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故 A 错；两条平行 直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条 直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥 的三条侧棱，故 D 错． 4．若空间中四条两两不同的直线 l1，l2，l3，l4，满足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结 论一定正确的是(　　) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1 与 l4 既不垂直也不平行 D．l1 与 l4 的位置关系不确定 　D　[解析] 如图，在长方体 ABCD­A1B1C1D1 中，记 l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若 l4 ＝AA1，满足 l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时 l1∥l4，可以排除选项 A 和 C.若 l4＝DC1，也满足条 件，可以排除选项 B.故选 D. 5. 如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l＝M，过 A，B，C 三点 的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必经过(　　) A．点 A B．点 B C．点 C 但不过点 M D．点 C 和点 M 　D　[解析] 因为 AB⊂γ，M∈AB，所以 M∈γ. 又 α∩β＝l，M∈l，所以 M∈β. 根据公理 3 可知，M 在 γ 与 β 的交线上． 同理可知，点 C 也在 γ 与 β 的交线上． 6．(2017·郑州模拟) 如图所示，ABCD­A1B1C1D1 是正方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O 三点共线 B．A，M，O，A1 不共面 C．A，M，C，O 不共面 D．B，B1，O，M 共面 　A　[解析] 连接 A1C1，AC(图略)，则 A1C1∥AC， 所以 A1，C1，A，C 四点共面，所以 A1C⊂平面 ACC1A1. 因为 M∈A1C，所以 M∈平面 ACC1A1. 又 M∈平面 AB1D1， 所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上， 同理 A，O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上． 所以 A，M，O 三点共线． 7. 如图，平行六面体 ABCD­A1B1C1D1 中既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱有________ 条． [解析] 依题意，与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC；与 AB 相交且与 CC1 平行有棱 AA1， BB1；与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD，C1D1.故符合条件的有 5 条． [答案] 5 8．如图所示，在空间四边形 ABCD 中，点 E、H 分别是边 AB、AD 的中点，点 F、G 分别是边 BC、CD 上的点，且CF CB＝ CG CD＝ 2 3，则下列说法正确的是________． ①EF 与 GH 平行； ②EF 与 GH 异面； ③EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上，也可能不在直线 AC 上； ④EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上． [解析] 连接 EH，FG，依题意，可得 EH∥BD，FG∥BD，故 EH∥FG，所以 E、F、 G、H 共面．因为 EH＝ 1 2BD，FG＝ 2 3BD，故 EH≠FG，所以 EFGH 是梯形，EF 与 GH 必相 交，设交点为 M.因为点 M 在 EF 上，故点 M 在平面 ACB 上．同理，点 M 在平面 ACD 上， 所以点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点，又 AC 是这两个平面的交线，所以点 M 一定在 直线 AC 上． [答案] ④ 9. 如图所示，正方体的棱长为 1，B′C∩BC′＝O，则 AO 与 A′C′所成角的度数为 ________． [解析] 连接 AC.因为 A′C′∥AC， 所以 AO 与 A′C′所成的角就是∠OAC(或其补角)． 因为 OC⊥OB，AB⊥平面 BB′C′C， 所以 OC⊥AB.又 AB∩BO＝B， 所以 OC⊥平面 ABO. 又 OA⊂平面 ABO，所以 OC⊥OA. 在 Rt△AOC 中，OC＝ 2 2 ，AC＝ 2， sin∠OAC＝ OC AC＝ 1 2， 所以∠OAC＝30°.即 AO 与 A′C′所成角的度数为 30°. [答案] 30° 10．已知 a，b，c 为三条不同的直线，且 a⊂平面 α，b⊂平面 β，α∩β＝c. ①若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交； ②若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直； ③若 a∥b，则必有 a∥c； ④若 a⊥b，a⊥c，则必有 α⊥β. 其中正确的命题为________． [解析] ①中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交，故①正确；②中平 面 α⊥平面 β 时，若 b⊥c，则 b⊥平面α，此时不论 a，c 是否垂直，均有 a⊥b，故②错误； ③中当 a∥b 时，则 a∥平面 β，由线面平行的性质定理可得 a∥c，故③正确；④中若 b∥c， 则 a⊥b，a⊥c 时，a 与平面 β 不一定垂直，此时平面 α 与平面 β 也不一定垂直，故④错 误． [答案] ①③ 11. 如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E，F 分别是 BC，AD 的中点． (1)求证：直线 EF 与 BD 是异面直线； (2)若 AC⊥BD，AC＝BD，求 EF 与 BD 所成的角． [解] (1)证明：假设 EF 与 BD 不是异面直线，则 EF 与 BD 共面，从而 DF 与 BE 共面， 即 AD 与 BC 共面，所以 A，B，C，D 在同一平面内，这与 A 是△BCD 所在平面外的一点 相矛盾．故直线 EF 与 BD 是异面直线． (2)取 CD 的中点 G，连接 EG，FG，则 AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线 EF 与 EG 所 成的角，即为异面直线 EF 与 BD 所成的角． 又因为 AC⊥BD，则 FG⊥EG. 在 Rt△EGF 中，由 EG＝FG＝ 1 2AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线 EF 与 BD 所成的 角为 45°. 12．设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1， 2和 a，且长为 a 的棱与长为 2的棱 异面，则 a 的取值范围是________． [解析] 构造四面体 ABCD，使 AB＝a，CD＝ 2，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取 CD 的中点 E，则 AE＝BE＝ 2 2 ， 所以 2 2 ＋ 2 2 >a，所以 0

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