上海教育高中数学一下反三角函数篇

上海教育高中数学一下反三角函数篇

反三角函数 ‎ 反三角函数 教学要求 理解反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的概念。能画出反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的图象 教学重点 反三角函数的概念 教学难点 反三角函数概念的建立 教学过程 ‎ 反正弦函数 一、 复旧引新 复习反函数存在的条件，然后根据正弦函数图象引导学生讨论：内的反对应关系是否单值？（2）区间上的反对应关系？‎ 二、 讲授新课 函数上的反函数称为反正弦函数，记作写：‎ 定义域：‎ 注：‎ （1） arcsinx是一个完整的记号 ‎（2）中自变量满足，当时，函数无意义 ‎（3）arcsinx表示一个角，‎ 由定义得 如果则有 sin（arcsinx）=x[来 三、 强化公式 例1 求下列各反三角函数的值 ‎ （2）arcsin（－1）‎ ‎ （4）[来 一般地，如果则有 arcsin（－x）=－arcsinx 例2 求下列各式的值 ‎ ‎ 练习 第XX页第XX题 例3 求下列各式的值 ‎ ‎ 注：arcsin（sin）不一定等于 由互为反函数的图象间的关系，可得反正弦函数的图象 图象关于原点对称，是奇函数 练习 第XX页第XX题 小结 定义、有关公式、图象 作业 ‎ 反余弦函数 一、 复旧引新 y=cosx在上有反函数 二、 讲授新课 函数y=cosx在上的反函数称为反余弦函数，记作y=arccosx，定义域是 当则有cos（arccosx）=x 三、 强化公式 例4求下列各式的值 ‎ ‎ ‎ ‎ 一般地，当则有 ‎ 例5求下列各式的值 ‎ （2）[练习 第XX页第XX题 例6 求下列函数的定义域和值域 ‎ ‎ 反余弦函数图象与余弦函数在上的图象关于直线y=x对称 小结 定义、有关公式、图象 作业 XX 反正切和反余切函数 一、 复旧引新 y=tanx在上存在反函数 y=cotx在上存在反函数 二、 讲授新课 y=tanx在上的反函数称为反正切函数，记作y=arctanx，定义域：，值域：；y=cotx在上的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx，定义域：，值域：‎ 一般地，tan（arctanx）=x ‎ cot（arccotx）=x ‎ arctan（－x）=－arctanx ‎ arccot（－x）=[‎ 三、 强化公式 例7求下列各式的值 ‎ ‎ ‎ ‎ 例8 求下列各式的值 ‎ ‎ 学生画出反正弦、反余弦函数的图象 练习 第XX页[‎ 小结 定义、有关公式、图象 作业 ‎ ‎ 6.4反三角函数（1）——反正弦函数 ‎ 上海市交通大学附属中学 曹建华 一、教学内容分析 ‎ 根据反函数的概念，正弦函数y=sinx（x∈R）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R的一个子集[-，]，那么函数y=sinx， x∈[-，]就存在反函数，为什么要选取[-，]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx， x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|≤1，arcsinx是[-，]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像和函数y=sinx， x∈[-，]的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]是奇函数，且单调递增.‎ 二、教学目标设计 ‎ 1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx， x∈[-，]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-，].‎ ‎ 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x∈[-1，1]的图像.‎ ‎ 3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1].‎ ‎ 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角.‎ ‎ 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题.‎ 三、教学重点及难点 ‎ 教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质. 教学难点：反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题.‎ 四、教学用具准备 直尺、多媒体设备 五、教学流程设计 ‎ 反正弦函数的定义 ‎ （ 师生讨论、探究、提炼概念）‎ 反正弦函数的 图象与性质 互为反函数 的两个函数 的图象与性 质的关系 正弦函数 的图象 与性质 应用举例(求特殊值的反正弦函数值、用反正弦函数值表示角、运用反正弦恒等式化简或求值)‎ 六、教学过程设计 ‎ 一、 情景引入 ‎ ‎ 1．复习 ‎ 我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.‎ ‎ 2．思考 ‎ 那么正弦函数是否存在反函数呢？‎ ‎ [说明] 因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.‎ ‎ 3．讨论 ‎ 正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得 在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得存在反函数呢？‎ 这个区间的选择依据两个原则：‎ ‎（1）在所取区间上存在反函数 ‎（2）能取到的一切函数值.‎ 可以选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.‎ 二、学习新课 ‎ 1．概念辨析[‎ ‎（1）反正弦函数的定义：‎ ‎ 函数y=sinx， x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1].‎ ‎（2）反正弦函数的性质：‎ ‎ ①图像 ‎ ‎ ②定义域[-1，1]‎ ‎ ③值域[-，]‎ ‎ ④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1][‎ ‎ ⑤单调性：增函数 ‎[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=sinx，x∈[-，]与函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线对称.‎ ‎ 2．例题分析 例1．求下列反正弦函数的值：‎ ‎（1）arcsin；（2）arcsin0；（3）arcsin（-）‎ 解：（1）因为sin=，且∈[-，]，所以arcsin=.‎ ‎ （2）因为sin0=0，且0∈[-，]，所以arcsin0=0.‎ ‎ （3）因为sin（-）=-，且-∈[-，]，所以arcsin（-）=-.‎ 例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：‎ ‎（1）sinx=，x∈[-，]；‎ ‎（2）sinx=-，x∈[-，]；‎ ‎（3）sinx=- ，x∈[-π，0].‎ 解：（1）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin；‎ ‎ （2）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin；‎ ‎ （3）在区间[-，0] 上，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin；‎ ‎ 在区间[-π，-]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin，满足 sinx=-.因此x= arcsin或x=-π+arcsin.‎ 例3．化简下列各式：‎ ‎（1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；*（3）arcsin（sin20070）‎ 解：（1）因为∈[-，]，设sin=α，所以arcsinα=，即arcsin（sin）=.‎ ‎（2）因为Ï[-，]，而∈[-，]，且sin=sin，设sin=sin=α，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）=‎ arcsinα=.‎ ‎（3）因为sin20070=sin（5×3600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270‎ 所以arcsin（sin20070）= arcsin（-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.‎ 例4．求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.‎ 解：设y=2arcsin2x，则= arcsin2x，‎ 因为2x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-，]，所以x∈[-，]，y∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin，x= sin，将x，y互换，得反函数f-1（x）= sin，定义域是[-л，л]，值域是[-，]‎ ‎ 3．问题拓展 例1．证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1][‎ 证明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1]‎ ‎∴sin[arcsin（-x）]= -x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x 又因为arcsin（-x）∈[-，]，-arcsinx∈[-，]，且正弦函数在[-，]上单调递增，所以arcsin（-x）=-arcsinx，‎ x∈[-1，1].‎ ‎[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.‎ 例2．设x∈[，]，sinx=，用反正弦函数值表示x.[‎ 解：因为x∈[，]，所以（π-x）∈[-，]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π-x）=，于是π-x=arcsin，x=π- arcsin.‎ ‎[说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-，]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.‎ 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.‎ 三、巩固练习 判断下列各式是否成立?简述理由.‎ ‎（1）arcsin=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2kл+，k∈Z；（4）arcsin（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin）=；（6）arcsin=.‎ 解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-，]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.‎ 四、课堂小结 ‎ ‎ 教师引导学生总结： ‎ ‎（1）反正弦函数的定义；‎ ‎（2）反正弦函数的性质.‎ 五、作业布置 ‎（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4[‎ ‎ （2）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.‎ 七、教学设计说明 ‎ 1．关于教学内容 ‎ 反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用.‎ ‎ 2．关于教学方法 ‎ 为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.‎ ‎ 6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数 ‎ 上海市交通大学附属中学 曹建华 一、教学内容分析 ‎ 根据反函数的概念，余弦函数y=cosx（x∈R）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R的一个子集[0，π]，那么函数y=cosx，x∈[0，π]就存在反函数，为什么要选取[0，π]，教师要引导学生作必要的讨论和说明.类比反正弦函数的定义，我们把函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]，学生对符号的arccosx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|≤1，arccosx是[0，π]上的一个角的弧度数，这个角的余弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arccosx，x∈[-1，1]的图像和函数y =cosx，x∈[0，π]的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反余弦函数的图像，根据其图像可以得到反余弦函数y=arccosx，x∈[-1，1]既不是奇函数也不是偶函数，但是单调递减.类似地，把正切函数y=tanx，x∈（-，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞），根据互为反函数间的图像关系，函数y=arctanx，x∈（-∞，∞）的图像和函数y = tanx，x∈（-，）的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正切函数的图像，根据其图像可以得到反正切函数y= arctanx，x∈（-∞，∞）是奇函数，单调递增.‎ 二、教学目标设计 ‎ 1．理解函数y=cosx（x∈R），y=tanx（x≠kπ+，k∈Z）没有反函数；理解函数y=cosx， x∈[0，π]，y=tanx，x∈（-，）有反函数；理解反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-，）.‎ ‎ 2．知道反余弦函数y=arccosx ，x∈[-1，1]和反正切函数y= arctanx，x∈（-∞，∞）的图像.‎ ‎ 3．掌握等式cos（arccosx）=x，x∈[-1，1]，arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=- arctanx，x∈（-∞，∞）.‎ ‎ 4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.‎ ‎ 5．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.‎ 三、教学重点及难点 ‎ 教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质. 教学难点：公式arccos（-x）=π-arccosx、arctan（-x）=-arctanx的证明及其使用.‎ 四、教学用具准备 直尺、多媒体设备[‎ 五、教学流程设计 ‎ 反余弦函数、反正切函数的定义 ‎ （ 师生讨论、探究、提炼概念）‎ 反余弦函数、反正切函数的 图象与性质 互为反函数 的两个函数 的图象与性 质的关系 余弦函数、正切函数 的图象 与性质 应用举例(求特殊值的反余弦函数值和反正切函数值、用反余弦函数值和反正切函数值表示角、运用反余弦和反正切恒等式化简或求值)‎ 六、教学过程设计 ‎ 一、 情景引入 ‎ ‎ 1．复习[‎ ‎ 我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[]存在反函数 ‎ 2．思考 ‎ 那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢]‎ ‎ [说明] 因为对于任一余弦值和正切值都有无数个角值与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.‎ ‎ 3．讨论 ‎ 余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得或y=tanx在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得或y=tanx存在反函数呢？‎ 这个区间的选择依据两个原则 ‎（1）和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；‎ ‎（2）能取到的一切函数值，y=tanx一切函数值R.‎ 可以选取闭区间[0，π]，使得在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-，），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.‎ 二、学习新课 ‎ 1．概念辨析 ‎（1）反余弦函数和反正切函数的定义：‎ ‎ 余弦函数y=cosx， x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]；‎ ‎ 正切函数y=tanx， x∈（-，）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞）；‎ ‎（2）反正弦函数的性质：‎ ‎ ①图像 ‎ ‎ ‎ ‎ y=arccosx y= arctanx ‎ ②定义域：函数y=arccosx的定义域是[-1，1]；函数y= arctanx的定义域是R.‎ ‎ ③值域：函数y=arccosx的值域是[0，π]；函数y= arctanx的值域是（-，）.‎ ‎ ④奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；函数y= arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx.‎ ‎ ⑤单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y= arctanx是增函数.‎ ‎[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=cosx，x∈[0，π]与函数y=arccosx，x∈[-1，1]的图像关于直线对称；函数y=tanx，x∈（-，）与函数y=arctanx，x∈R的图像关于直线对称.‎ ‎ 2．例题分析 例1．求下列反三角函数的值：‎ ‎（1）arccos；（2）arccos（-）；（3）arccos0；‎ ‎（4）arctan1；（5）arctan（-）‎ 解：（1）因为cos=，且∈[0，π]，所以arccos=.‎ ‎ （2）因为cos=-，且∈[0，π]，所以arccos（-）=.‎ ‎ （3）因为cos=0，且∈[0，π]，所以arccos0=.‎ ‎ （4）因为tan=1，且∈（-，），所以arctan1=.‎ ‎ （5）因为tan（-）=-，且-∈（-，），所以arctan（-）=-.‎ 例2．在△ABC中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A、∠B、∠C.‎ 解：因为AC2=AB2+BC2，所以∠B是直角，于是有 ‎∠A= arcsin= arccos=arctan；‎ ‎∠B== arcsin1= arccos0；‎ ‎∠C= arcsin= arccos=arctan.‎ 例3．化简下列各式：‎ ‎（1）arccos（cos）；（2）sin[arccos]；（3）cos[arctan（-1）]‎ 解：（1）因为∈[0，π]，设cos=α，所以arccosα=，即arccos（cos）=.‎ ‎（2）因为arccos=，所以sin[arccos]=sin=.‎ ‎（3）因为arctan（-1）=-，所以cos[arctan（-1）]= cos(-)=.‎ 例4．求下列函数的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.‎ ‎(1) f（x）=+arccos；（2）f（x）=3π-arctan（2x-1）‎ 解：（1）设y=+arccos，则arccos= y-，因为∈[-1，1]，arccos∈[0，π]，所以x∈[-2，2]，y∈[，]，根据反余弦函数的定义，得=cos（y-），即x=2cos（y-）.将x，y互换，得反函数f-1（x）=2cos（x-），定义域是[，]，值域是[-2，2].‎ ‎（2）设y=3π-arctan（2x-1），即arctan（2x-1）=3π-y，因为（2x-1）∈R ，arctan（2x-1）∈（-，），所以x∈R，y∈（，），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan（3π-y）=-tany，即x=（1-tany），将x，y互换，得反函数f-1（x）=（1-tanx），定义域是（，），值域是R.‎ ‎ 3．问题拓展 例1．证明等式：arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]‎ 证明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1]‎ ‎∴cos[arccos（-x）]= -x，cos（π-arccosx）=-cos（arccosx）=-x 又因为arccosx∈[0，π]，所以（π-arccosx）∈[0，π]，又arccos（-x）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1].‎ 例2．证明等式：arctan（-x）=-arctanx，xÎR.‎ 证明：因为tan arctan（-x）=-x，tan（-arctanx）=-tan arctanx，‎ 又由arctanxÎ（-，），得-arctanxÎ（-，），再有arctan（-x）Î（-，），且正切函数在（-，）上单调递增，所以arctan（-x）=-arctanx，xÎR.‎ ‎[说明]可以通过以上恒等式的证明形成学生严密的逻辑推理能力，但教师应根据学校学生的实际情形进行选择.‎ 三、巩固练习 判断下列各式是否成立?简述理由.‎ ‎（1）cos（arccos）=；（2）arctan=；（3）arcsin（-）= arcos(-)；（4）arccos+ arccos(-)=0；（5）arctan+ arc tan(-)=0.‎ 解：（1）式不成立，因为Ï[-1，1]，故arccos无意义；（2）式不成立，因为其对应关系搞错了；（3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin（-）=-，而arcos(-)=，两者不等；（4）式不成立，因为把等式arccos（-x）=π-arccosx错记成arccos（-x）=-arccosx；（5）式成立，因为等式arctan（-x）=-arctanx.‎ 四、课堂小结 ‎ ‎ 教师引导学生总结：‎ ‎（1）反余弦函数和反正切函数的定义；‎ ‎（2）反余弦函数和反正切函数的性质.‎ 五、作业布置 书上练习6.4(2)中的1、2、3、4‎ 七、教学设计说明 ‎ 1．关于教学内容 ‎ 本节课是基于学习了反正弦函数之后，类比反正弦函数的概念，学生掌握反余弦函数和反正切函数的概念相对比较容易，所以这节课的主要力量要花在反余弦函数和反正切函数的应用上，特别要注意反正弦函数值和反余弦函数值所表示的角的范围的区别以及反正弦和反余弦恒等式的区别.‎ ‎ 2．关于教学方法 ‎ 为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反余弦函数及其反正切函数的性质.‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com