宁夏石嘴山市2020届高三4月适应性考试数学（文）试题

宁夏石嘴山市2020届高三4月适应性考试数学（文）试题

‎2020年石嘴山市高三年级适应性测试 文科数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用对数函数求出，再利用交集定义求出.‎ ‎【详解】解：，，‎ ‎=，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用.‎ ‎2.设复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先根据复数除法得，再根据复数的模求结果.‎ 详解：因为，所以,‎ 因此 选D.‎ 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如 复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎3.为等差数列的前项和，若，则( )‎ A. －1 B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，即可容易求得.‎ ‎【详解】因为数列是等差数列，‎ 故可得，又，‎ 故可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和的性质，属基础题.‎ ‎4.通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量的观测值，参照附表，得到的正确结论是（ ）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ A. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B. 有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算得到统计量值的观测值，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论.‎ ‎【详解】解：∵计算得到统计量值的观测值，‎ 参照题目中的数值表，得到正确的结论是：‎ 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题．‎ ‎5.已知向量满足,且与的夹角为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.‎ ‎6.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.‎ ‎【详解】设圆锥底面圆的半径为r，则，又，‎ 故，所以，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.‎ ‎7.已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是( )‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过反例可确定错误；由面面垂直的判定定理可知正确.‎ ‎【详解】若且，则与相交、平行或，，错误；‎ 若且，则与可能相交或平行，错误；‎ 由面面垂直判定定理可知，选项的已知条件符合定理，则，正确.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理.‎ ‎8.函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为 (　　)．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，‎ 故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，‎ 由当时，y=1>0，‎ 当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=−π<0‎ 由此可排除选项A和选项C.‎ 故正确的选项为D.‎ 故选D.‎ ‎9.要得到函数的图象，可将的图象向左平移（ ）‎ A. 个单位 B. 个单位 C. 个单位 D. 个单位 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式化简函数的解析式，然后利用三角函数图象的平移变换规律可得出结论.‎ ‎【详解】，‎ 因此，将的图象向左平移可得到函数的图象.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在平移时要将两个函数的解析式化简，函数名称要保持一致，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎10.数学老师给出一个定义在R上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:‎ 甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增;‎ 丙:函数f(x)的图象关于直线x=1对称； 丁: f(0)不是函数的最小值．‎ 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是( )‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设四个人中有两个人正确，由此推出矛盾，由此得到假设不成立，进而判断出说法错误的同学.‎ ‎【详解】先假设甲、乙正确，由此判断出丙、丁错误，与已知矛盾，由此判断甲、乙两人有一人说法错误，丙、丁正确.而乙、丙说法矛盾，由此确定乙说法错误.‎ ‎【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，涉及到函数性质，包括单调性、对称性和最值，属于基础题.‎ ‎11.若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解.‎ ‎【详解】双曲线的渐近线方程为，‎ 由对称性，不妨取，即．‎ 又曲线化为，‎ 则其圆心的坐标为，半径为．‎ 由题得，圆心到直线的距离，‎ 又由点到直线的距离公式．可得．‎ 解得，所以．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎12.已知函数，函数有四个不同的零点，，，，且满足：，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数图象，根据函数图象得出4个零点的关系及范围，进而求得结论.‎ ‎【详解】有四个不同的零点，，，‎ 就是图象交点横坐标，‎ 作出的函数图象如图所示：‎ 由图象知，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 故的值是-4.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点，考查数形结合思想，解题时把函数零点转化为函数图象交点问题是解题关键．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知等比数列满足，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知结合等比数列的性质及通项公式可求公比q及首项，进而可求.‎ ‎【详解】解：因为，，‎ 所以，‎ ‎∴，‎ 所以 则.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列基本量运算，掌握等比数列的通项公式是解题关键．‎ ‎14.若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．‎ ‎【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得 目标函数，当过点时，有最大值，且最大值为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．‎ ‎15.曲线在处的切线方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可.‎ ‎【详解】解：由函数知，‎ 把代入得到切线的斜率 则切线方程为：，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．‎ ‎16.已知三棱锥中，平面，若，，与平面所成线面角的正弦值为，则三棱锥外接球的表面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得，可得三棱锥的外接球，即为以，，为长宽高的长方体的外接球，根据已知、、的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．‎ ‎【详解】解：平面，与平面所成线面角的正弦值为，，，‎ 根据勾股定理可得，‎ 在中，，，，则为直角三角形．‎ 三棱锥外接球即为以，，为长宽高的长方体的外接球，‎ 故，三棱锥外接球的表面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.在锐角中，分别是角所对的边，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用正弦定理可得，结合是锐角可得结果；(2)由，可得，再利用余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为 所以由正弦定理得,因为，‎ 所以,‎ 因为是锐角，‎ 所以.‎ ‎(2)由于，，‎ 又由于 ‎，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎18.南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35‎ 分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：‎ 分组 男生人数 ‎2‎ ‎16‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎3‎ 女生人数 ‎3‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.‎ ‎（1）将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?‎ ‎（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.‎ ‎①求男生和女生各抽取了多少人；‎ ‎②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.‎ ‎【答案】(1)700人；(2) ①男生抽取4人，女生抽取1人．② ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出7000名学生中“锻炼达人”的人数．‎ ‎（2）①100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人．‎ ‎②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率．‎ ‎【详解】（1）由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为（人）‎ ‎（2）①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．‎ 从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．‎ ‎②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，则5人中随机抽取2人的所有结果有：男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10‎ 种结果，且每种结果发生的可能性相等．记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，故．‎ ‎【点睛】本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎19.如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点.‎ ‎（1）证明:平面;‎ ‎（2）是线段上一点，且，求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证平面,只需证明,即可求得答案;‎ ‎（2）先求证,到平面的距离相等,结合已知条件,即可求得答案.‎ ‎【详解】（1）设中点为,连,‎ 中是中点,是的中点,‎ 且,‎ 棱柱中侧棱,且是的中点,‎ 且,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 又平面且平面,‎ 平面 ‎（2）在线段上,且,棱柱中,‎ 侧面中,且平面,平面,‎ 平面,‎ ‎,到平面的距离相等.‎ 在平面中作直线于①‎ 平面 可得,‎ 又,‎ 平面,‎ 平面,‎ ‎②,‎ 又①②及,‎ 可得平面.‎ 故线段长为点,到平面的距离.‎ 中,,,‎ 可得 ‎,‎ ‎【点睛】本题主要考查了求证线面平行和点到面的距离,解题关键是掌握线面平行判断的方法和点到面距离的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆：()的焦距是，长轴长为4.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2），是椭圆的左右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）.（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意求得与的值，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）设，，由已知可得，直线与轴不重合，设直线：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由面积关系可得，的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解，则直线方程可求.‎ ‎【详解】（1）由题意，，，则，.‎ ‎∴.‎ ‎∴椭圆的方程；‎ ‎（2）设，，‎ 由已知可得，直线与轴不重合，设直线：.‎ 联立，整理得.‎ ‎.‎ ‎，.‎ 由，得，即，‎ 从而.‎ 解得，即.‎ ‎∴直线的方程为：或.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题时总是设出交点坐标，，设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，代入题中其他条件求解．‎ ‎21.已知函数，，令 ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；‎ ‎（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；‎ ‎【详解】解：（1）当时，‎ ‎．‎ 令得又，所以．所以的单调递增区间为．‎ 令得又，所以．所以的单调递减区间为．‎ 综上可得：的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）令．‎ 所以．‎ 当时，因为，所以所以在上是递增函数，‎ 又因为．‎ 所以关于的不等式不能恒成立．‎ 当时，．‎ 令得，所以当时，；当时，．‎ 因此函数在是增函数，在是减函数．‎ 故函数的最大值为．‎ 令，因为，．‎ 又因为在上是减函数，所以当时，．‎ 所以整数的最小值为2．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线参数方程为为参数且，，，曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的普通方程及的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与曲线分别交于点，，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）：，：；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，在曲线的极坐标方程两边同时乘以，并代入可得出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）由曲线的参数方程得出其极坐标方程为，并设点、的极坐标分别为、，将曲线的极坐标方程分别代入曲线、的表达式，求出、 关于的表达式，然后利用三角恒等变换公式与三角函数基本性质求出的最大值．‎ ‎【详解】（1）由消去参数得的普通方程为：；‎ 由得，得的直角坐标方程为：，‎ 即．‎ ‎（2）的极坐标方程为：，的极坐标方程为：‎ 将分别代入，的极坐标方程得：，，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，弄清楚极坐标方程解实际问题的基本情形，另外，利用极坐标方程本质上是化为三角函数来求解，所以要充分利用三角恒等变换思想以及三角函数的基本性质来求解．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.‎ ‎（2）时，分类讨论去绝对值，得到解析式，由函数的单调性可得的最小值，通过恒成立问题，得到关于的不等式，得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以不等式等价于或或，‎ 解得或.‎ 所以不等式的解集为或.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 根据函数的单调性可知函数的最小值为，‎ 因为恒成立，所以，解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.‎