【数学】2018届一轮复习人教A版直线的交点与距离公式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版直线的交点与距离公式学案

‎1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．‎ ‎2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．‎ ‎3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．‎ 知识点一　两条直线平行与垂直的判定 ‎ ‎1．两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为______．‎ ‎2．两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔____.‎ 答案 ‎1．k1＝k2　平行　2.k1·k2＝－1‎ ‎1．判断正误 ‎(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)‎ ‎(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A‎1A2＋B1B2＝0.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．已知直线(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与2(k－3)x－2y＋3＝0平行，那么k的值为(　　)‎ A．1或3 B．1或5‎ C．3或5 D．1或2‎ 解析：法1：把k＝1代入已知两条直线，得－2x＋3y＋1＝0与－4x－2y＋3＝0，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k≠1，排除A，B，D.‎ 法2：因已知两条直线平行，所以k＝3或解得k＝3或k＝5.‎ 答案：C 知识点二　两条直线的交点 ‎ 设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的________就是方程组的解．‎ ‎(1)若方程组有唯一解，则两条直线______，此解就是______；‎ ‎(2)若方程组无解，则两条直线________，此时两条直线______，反之，亦成立．‎ 答案 交点坐标　(1)相交　交点的坐标　(2)无公共点　平行 ‎3．经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为________．‎ 答案：4x－3y－6＝0‎ ‎4．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是________．‎ 解析：设对称点的坐标为(x0，y0)，‎ 则即 解之得即对称点坐标为(－b－1，－a－1)．‎ 答案：(－b－1，－a－1)‎ 知识点三　两种距离 ‎ ‎1．点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________.‎ ‎2．两条平行线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝____________.‎ 答案 ‎1.　2. ‎5．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________．‎ 解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.‎ 答案： ‎6．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　)‎ A．0或－ B．或－6‎ C．－或 D．0或 解析：依题意得 ＝，‎ 所以|‎3m＋5|＝|m－7|.‎ 所以‎3m＋5＝m－7或‎3m＋5＝7－m.‎ 所以m＝－6或m＝.故应选B.‎ 答案：B 热点一　两条直线的平行与垂直 ‎ ‎【例1】　已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.‎ ‎(1)试判断l1与l2是否平行；‎ ‎(2)l1⊥l2时，求a的值．‎ ‎【解】　(1)方法1：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；‎ 当a≠1且a≠0时，两直线可化为 l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，‎ l1∥l2⇔解得a＝－1.‎ 综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．‎ 方法2：由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0.由A‎1C2－A‎2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0.‎ ‎∴l1∥l2⇔ ‎⇔⇒a＝－1.‎ 故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．‎ ‎(2)方法1：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；‎ 当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由(－)·＝－1⇒a＝.‎ 方法2：由A‎1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1∥l2⇔l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.‎ 如果有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．‎ ‎(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的必要条件是A1B2＝A2B1.(不充分)；l1⊥l2⇔A‎1A2＋B1B2＝0.‎ ‎ ‎ ‎(1)若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于(　　)‎ A．1 B．－ C．－ D．－2‎ ‎(2)“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行”是“a＝‎1”‎成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：(1)由a·1＋2·1＝0得a＝－2，故选D.‎ ‎(2)由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行得a2＝1，‎ 即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分条件．‎ 答案：(1)D　(2)B 热点二　两条直线相交问题 ‎ ‎【例2】　经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程是________．‎ ‎【解析】　法1：由方程组 解得即点P(－2,1)，‎ 设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，‎ ‎∵l3⊥l，∴k＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.‎ 法2：∵直线l过直线l1和l2的交点，‎ ‎∴可设直线l的方程为x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0，‎ 即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0.‎ ‎∵l与l3垂直，‎ ‎∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－.‎ ‎∴直线l的方程为x＋y＝0，即x＋2y＝0.‎ ‎【答案】　x＋2y＝0‎ ‎【总结反思】‎ ‎1．两直线交点的求法 求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．‎ ‎2．常见的三大直线系方程 ‎(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．‎ ‎(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．‎ ‎(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.‎ ‎ ‎ ‎(1)(2017·河南六市一联)已知P(x0，y0)是直线L：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　)‎ A．过点P且与L垂直的直线 B．过点P且与L平行的直线 C．不过点P且与L垂直的直线 D．不过点P且与L平行的直线 ‎(2)对任意实数a，直线y＝ax－‎3a＋2所经过的定点是(　　)‎ A．(2,3) B．(3,2)‎ C．(－2,3) D．(3，－2)‎ 解析：(1)因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A和B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线L：Ax＋By＋C＝0平行，排除C.‎ ‎(2)直线y＝ax－‎3a＋2变为a(x－3)＋(2－y)＝0.又a∈R，∴解得得定点为(3,2)．‎ 答案：(1)D　(2)B 热点三　距离问题 ‎ ‎【例3】　(1)若O(0,0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________.‎ ‎(2)已知两条平行直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为，则直线l1的方程为________．‎ ‎【解析】　(1)由题意，得＝，即‎4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6.检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6.‎ ‎(2)∵l1∥l2，∴＝≠，‎ ‎∴或 ‎①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，‎ ‎∴＝，解得n＝－22或18.‎ 故所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.‎ ‎②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0.‎ 把l2的方程写成为4x－8y－2＝0，‎ ‎∴＝，解得n＝－18或22.‎ 故所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.‎ ‎【答案】　(1)－2或4或6‎ ‎(2)2x±4y－11＝0或2x±4y＋9＝0‎ ‎【总结反思】‎ 利用距离公式应注意的问题 ‎(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；‎ ‎(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.‎ ‎ ‎ 已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．‎ 解析：显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得 ＝，∴k＝2或k＝－.‎ ‎∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.‎ 答案：2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0‎ 热点四　对称问题 ‎ 对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型，且主要有以下几个命题方向：‎ 考向1　点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称 ‎【例4】　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；‎ ‎(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．‎ ‎【解】　(1)设A′(x，y)，‎ 再由已知 解得 所以A′.‎ ‎(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，‎ 则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上．‎ 设对称点为M′(a，b)，‎ 则 解得M′.‎ 设m与l的交点为N，则由得N(4,3)．‎ 又因为m′经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.‎ ‎(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.‎ ‎ ‎ 直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)‎ A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0‎ C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0‎ 解析：直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.故选A.‎ 答案：A 考向2　对称的应用 ‎【例5】　光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y 轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在直线的方程．‎ ‎【解】　‎ 设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，作出草图，如图所示，‎ 则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．‎ 由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与点C，故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.‎ ‎ ‎ 如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．‎ 解析：‎ 直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y 轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.‎ 答案：2 ‎【总结反思】‎ 对称关系的两类问题中，中心对称的本质是“中点”，体现在中点公式的运用上；轴对称的本质是“垂直、平分”，即“对称点连线与对称轴垂直，对称点连线的中点在对称轴上”．在使用这些关系解题时，如能充分挖掘问题的几何特征，运用数形结合思想，就能使问题更轻松地解决.‎ ‎1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎2．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转化为代数问题．‎ ‎3．要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点．‎ ‎4．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．‎ 光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称．‎