【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第7讲二次函数与幂函数学案

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第7讲二次函数与幂函数学案

第7讲　二次函数与幂函数 ‎1.二次函数的图像和性质 解析式 y=ax2+bx+c(a>0)‎ y=ax2+bx+c(a<0)‎ 图像 定义域 R R 值域 ‎　　　 ‎ ‎　　　 ‎ 单调性 在　　　　上单调递减, ‎ 在‎-b‎2a,+∞‎上 单调递增 在　　　　上单调递增, ‎ 在‎-b‎2a,+∞‎上 单调递减 顶点坐标 ‎　　　 ‎ 奇偶性 当　　　　时为偶函数 ‎ 对称轴 方程 x=-‎b‎2a ‎2.幂函数 ‎(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.‎ ‎(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较 函数 y=x y=x2‎ y=x3‎ y=‎x‎1‎‎2‎ y=x-1‎ 图像 性 质 定义 域 R R R ‎　 ‎ ‎　 ‎ 值域 R ‎　　 ‎ R ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ 奇偶 性 ‎　　函数 ‎ ‎　　函数 ‎ ‎　　函数 ‎ ‎　　函数 ‎ ‎　　函数 ‎ 单 调 性 在R上单 调递增 在　　上 ‎ 单调递减;‎ 在　　上 ‎ 单调递增 在R上 单调递增 在　 ‎ 上单调 递增 在　　和 ‎ ‎　　上 ‎ 单调递减 公共 点 ‎　　　 ‎ 常用结论 ‎1.二次函数解析式的三种形式:‎ ‎(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);‎ ‎(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);‎ ‎(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).‎ ‎2.一元二次不等式恒成立的条件:‎ ‎(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是“a>0且Δ<0”;‎ ‎(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是“a<0且Δ<0”.‎ 题组一　常识题 ‎1.[教材改编] 若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上是单调函数,则实数k的取值范围是　　　　　　　　. ‎ ‎2.[教材改编] 已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,‎2‎),则函数f(x)=　　　　. ‎ ‎3.[教材改编] 函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,3]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　. ‎ ‎4.[教材改编] 若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b=　　　　. ‎ 题组二　常错题 ‎◆索引:图像特征把握不准出错;不会利用二次函数图像解决问题;二次函数的单调性理解不到位;忽略幂函数的定义域;幂函数的图像掌握不到位出错.‎ ‎5.如图2-7-1,若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图像是　　　　(填序号). ‎ ‎①　　　　　②‎ ‎③　　　　　④‎ 图2-7-1‎ ‎6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)　　　　0.(填“>”“<”或“=”) ‎ ‎7.若函数y=mx2+x+2在[3,+∞)上是减函数,则m的取值范围是　　　　. ‎ ‎8.已知幂函数f(x)=x‎-‎‎1‎‎2‎,若f(a+1)n>p B.m>p>n C.n>p>m D.p>n>m ‎(2)[2018·乌鲁木齐二模] 已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f‎3‎‎3‎,b=f(ln π),c=f‎2‎‎2‎,则a,b,c的大小关系为 (　　)‎ A.a4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0(a≠0)恒成立,即转化为a>0,‎b‎2‎‎-4ac<0;‎(2)对于轴定区间不定的一元二次不等式恒成立问题,可结合对称轴的情况,对不定区间进行讨论,最后得参数的范围.‎ 应用演练 ‎1.【微点3】已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为 (　　)‎ A.-1 B.0‎ C.1 D.2‎ ‎2.【微点2】函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 (　　)‎ A.f(bx)≤f(cx) ‎ B.f(bx)≥f(cx)‎ C.f(bx)>f(cx) ‎ D.不确定 ‎3.【微点2】已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,5]上为减函数,则实数a的取值范围为　　　　. ‎ ‎4.【微点4】若一元二次不等式2kx2+kx-‎3‎‎8‎<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为　　　　. ‎ ‎5.【微点4】已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为　　　　. ‎ 第7讲　二次函数与幂函数 考试说明 1.二次函数 ‎(1)掌握二次函数的图像与性质(单调性、对称性、顶点、最值).‎ ‎(2)了解二次函数的广泛应用.‎ ‎2.幂函数 ‎(1)了解幂函数的概念.‎ ‎(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=‎1‎x,y=x‎1‎‎2‎的图像,了解它们的变化情况.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎1.‎4ac-‎b‎2‎‎4a‎,+∞‎　‎-∞,‎‎4ac-‎b‎2‎‎4a　‎-∞,-‎b‎2a　‎-∞,-‎b‎2a　‎-b‎2a,‎‎4ac-‎b‎2‎‎4a　b=0‎ ‎2.{x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0}　{y|y≥0}　{y|y≠0}　奇　偶　奇　非奇非偶　奇　(-∞,0]　(0,+∞)　[0,+∞)　(-∞,0)　(0,+∞)　(1,1)‎ 对点演练 ‎1.(-∞,40]∪[160,+∞)　[解析] 二次函数图像的对称轴方程是x=k‎8‎,故只需k‎8‎≤5或k‎8‎≥20,即k≤40或k≥160,故所求实数k的取值范围是(-∞,40]∪[160,+∞).‎ ‎2.x‎1‎‎2‎　[解析] 设f(x)=xα,则‎2‎=2α,所以α=‎1‎‎2‎,故函数f(x)=x‎1‎‎2‎.‎ ‎3.6　2　[解析] f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[0,3],当x=1时,函数f(x)取得最小值2;当x=3时,函数f(x)取得最大值6.‎ ‎4.6　[解析] 函数y=x2+(a+2)x+3的图像在[a,b]上关于直线x=1对称,说明函数图像的对称轴为直线x=1,即-a+2‎‎2‎=1且a+b‎2‎=1,∴a=-4,b=6.‎ ‎5.③　[解析] 函数图像的开口向下,对称轴方程为x=-b‎2a>0,且过原点,故大致图像是③.‎ ‎6.>　[解析] f(x)=x2-x+a图像的对称轴为直线x=‎1‎‎2‎,且f(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),∴m-1<0,∴f(m-1)>0.‎ ‎7.m≤-‎1‎‎6‎　[解析] 当m=0时,函数在给定区间上是增函数,不合题意;当m≠0时,函数是二次函数,其图像的对称轴为直线x=-‎1‎‎2m,依题意知m<0,‎‎-‎1‎‎2m≤3,‎解得m≤-‎1‎‎6‎.‎ ‎8.(3,5)　[解析] ∵幂函数f(x)=x‎1‎‎2‎在定义域(0,+∞)内单调递减,∴由f(a+1)0,‎‎10-2a>0,‎a+1>10-2a,‎解得30时,根据题意知m<1,所以0p>m,故选C.‎ ‎(2)函数f(x)=(m-1)xn为幂函数,所以m=2.由题意,点(2,8)在幂函数的图像上,即8=2n,所以n=3,即f(x)=x3,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,‎ 又‎3‎‎3‎<‎2‎‎2‎<10,即b2>4ac,①正确.‎ 对称轴为直线x=-1,即-b‎2a=-1,即2a-b=0,②错误.‎ 结合图像知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.‎ 由对称轴为直线x=-1知,b=2a,又函数图像开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a0,且其图像的对称轴为直线x=1.‎ 因为‎2‎,-‎3‎‎2‎,‎3‎与对称轴之间的距离分别为|‎2‎-1|,‎-‎3‎‎2‎-1‎,|‎3‎-1|,且|‎2‎-1|<|‎3‎-1|<‎-‎3‎‎2‎-1‎,‎ 所以f(‎2‎)f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故选A.‎ ‎3.a≤-4　[解析] 易知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的图像开口向上,且以直线x=1-a为对称轴,若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,5]上是减函数,则5≤1-a,即a≤-4.‎ ‎4.(-3,0)　[解析] 由题意知k<0,且Δ=k2+3k<0,所以-31时,函数图像如图③所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.‎ 综上可知,f(x)min=‎t‎2‎‎+1,t<0,‎‎1,0≤t≤1,‎t‎2‎‎-2t+2,t>1.‎ 例4　[配合例6使用] 函数f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为　　　　. ‎ ‎[答案] 2‎ ‎[解析] 令ax=t,因为a>1,x∈[-1,1],所以‎1‎a≤t≤a,原函数可化为g(t)=t2+3t-2,显然g(t)在‎1‎a‎,a上单调递增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以a的最大值为2.‎