【数学】2018届一轮复习人教A版不等式的证明学案

【数学】2018届一轮复习人教A版不等式的证明学案

‎1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法．‎ ‎2．了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．‎ 知识点一　不等式证明的常见方法 ‎ ‎1．综合法：从命题的已知条件出发，利用________、已知的______及______，逐步推导，从而最后导出要证明的命题．‎ ‎2．分析法：从需要证明的结论出发，分析使这个命题成立的________，利用已知的一些______，逐步探索，最后达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或______________)．‎ ‎3．反证法：首先假设要证明的命题是________，然后利用______，已有的______、______，逐步分析，得到和____________‎ ‎(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论________，从而原来的结论正确．‎ ‎4．放缩法：将所需证明的不等式的值适当____(或______)使它由繁到简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值______，反之，把分母缩小，则分式的值______．‎ 答案 ‎1．公理　定义　定理 ‎2．充分条件　定理　一个明显的事实 ‎3．不正确的　公理　定义　定理　命题的条件　不成立 ‎4．放大　缩小　缩小　放大 ‎1．判断正误 ‎(1)用反证法证明命题“a，b，c全为‎0”‎时假设为“a，b，c全不为‎0”‎．(　　)‎ ‎(2)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√‎ ‎2．若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则m与n的大小关系为________．‎ 解析：∵n－m＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴n≥m.‎ 答案：n≥m ‎3．已知a，b为正数，求证：＋≥.‎ 证明：∵a>0，b>0，‎ ‎∴(a＋b)＝5＋＋ ‎≥5＋2＝9.∴＋≥.‎ 知识点二　柯西不等式 ‎ ‎1．设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．‎ ‎2．若ai，bi(i∈N*)为实数，则()()≥(ibi)2，当且仅当＝＝…＝(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．‎ ‎3．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．‎ ‎4．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值是________．‎ 解析：根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.‎ 答案： ‎5．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．‎ 解析：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.‎ 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．‎ ‎∴(＋＋)2≤3.故＋＋的最大值为.‎ 答案： 热点一　比较法证明不等式 ‎ ‎【例1】　设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b)．‎ ‎【证明】　因为a2＋b2－(a＋b)＝(a2－a)＋(b2－b)＝a(－)＋b( ‎－)＝(－)(a－b)＝(a－b)(a－b)，因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0，所以a2＋b2≥(a＋b).‎ ‎【总结反思】‎ 比较法证明不等式的一般步骤 ‎(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”的关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.‎ ‎ ‎ 设不等式|2x－1|<1的解集为M.‎ ‎(1)求集合M；‎ ‎(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．‎ 解：(1)由|2x－1|<1，得－1<2x－1<1，解得00，故ab＋1>a＋b.‎ 热点二　分析法、综合法证明不等式 ‎ ‎【例2】　(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；‎ ‎(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.‎ ‎【证明】　(1)因为x>0，y>0，x－y>0,2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥‎ ‎3＝3，所以2x＋≥2y＋3.‎ ‎(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．所以原不等式成立.‎ ‎【总结反思】‎ 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.‎ ‎ ‎ 设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.‎ 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.‎ 热点三　放缩法证明不等式 ‎ ‎【例3】　设a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥＋＋.‎ ‎【证明】　∵a，b，c均为正实数，‎ ‎∴≥≥，当且仅当a＝b时等号成立；‎ ≥≥，当且仅当b＝c时等号成立；‎ ≥≥，当且仅当c＝a时等号成立；‎ 三个不等式相加即得＋＋≥＋＋，‎ 当且仅当a＝b＝c时等号成立.‎ ‎【总结反思】‎ 不等式的变形是一种保号变形．如证明f(a)>g(a)，我们可将左边放缩成f1(a)，但必须同时保证f1(a)－g(a)≥0，否则称为放缩过度.‎ ‎ ‎ 设s＝＋＋＋…＋，求证：n(n＋1)＋＋＋…＋＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，s<＋＋＋…＋＝[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＝n(n＋2)，∴n(n ‎＋1)

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