2019届二轮复习第32练　矩阵与变换、坐标系与参数方程学案（全国通用）

2019届二轮复习第32练　矩阵与变换、坐标系与参数方程学案（全国通用）

第32练　矩阵与变换、坐标系与参数方程 ‎[明晰考情]　1.命题角度： 常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法；极坐标和参数方程的简单综合运用.2.题目难度：中档难度.‎ 考点一　 线性变换、二阶矩阵及其求法 方法技巧　线性变换问题一般是设变换T：→，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.‎ ‎1.已知变换矩阵A：平面上的点P(2，－1)，Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)，Q1(0,5)，求变换矩阵A.‎ 解　设所求的变换矩阵A＝，依题意，可得  ＝， ＝，‎ 即解得 所以所求的变换矩阵A＝.‎ ‎2.已知M＝，N＝，求二阶矩阵X，使得MX＝N.‎ 解　设X＝，‎ 由题意有 ＝，‎ 根据矩阵乘法法则有 解得 ‎∴X＝.‎ ‎3.已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1，求实数m的值.‎ 解　BA＝ ＝，设P(x0，y0)是曲线C1上的任一点，它在矩阵BA变换作用下变成点P′(x′，y′)则＝＝，则即又点P在曲线C1上，则y′2＋＝1，所以 m2＝1，所以m＝±1.‎ ‎4.(2017·江苏)已知矩阵A＝，B＝.‎ ‎(1)求AB；‎ ‎(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.‎ 解　(1)因为A＝，B＝，‎ 所以AB＝ ＝.‎ ‎(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为点P(x，y)，‎ 则 ＝，‎ 即所以 因为点Q(x0，y0)在曲线上C1上，所以＋＝1，‎ 从而＋＝1，即x2＋y2＝8.‎ 因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线 C2：x2＋y2＝8.‎ 考点二　逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 方法技巧　1.由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序.2.求矩阵M＝就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.‎ ‎5.已知矩阵A＝.‎ ‎(1)求A的逆矩阵A－1；‎ ‎(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3,1)，求点P的坐标.‎ 解　(1)因为A＝，又2×2－1×3＝1≠0，‎ 所以A可逆，从而A－1＝.‎ ‎(2)设P(x，y)，则 ＝，‎ 所以＝A－1＝，‎ 因此，点P的坐标为(3，－1).‎ ‎6.求矩阵A＝的特征值与属于每个特征值的一个特征向量.‎ 解　矩阵A的特征多项式为f(λ)＝，‎ 令f(λ)＝0，得λ2－5λ－24＝0，‎ 所以λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A的两个特征值.‎ ‎①当λ1＝8时，解相应线性方程组可任取一解，得λ＝8的一个特征向量α1＝.‎ ‎②当λ2＝－3时，解相应线性方程组可任取一解，得λ＝－3的一个特征向量α2＝.‎ ‎7.(2018·无锡调研)已知二阶矩阵A对应的变换将点M(1,1)变换成M′(3,3)，将点N(－1,2)变换成N′(3,0).‎ ‎(1)求矩阵A的逆矩阵A－1；‎ ‎(2)若向量β＝，计算A3β.‎ 解　(1)设A＝，则  ＝＝⇒  ＝＝⇒ 解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，‎ 所以A＝，‎ 所以A－1＝.‎ ‎(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3，‎ 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，‎ 从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.‎ 令β＝mα1＋nα2，求得m＝3，n＝－2，‎ 所以A3β＝A3(3α1－2α2)＝3(A3α1)－2(A3α2)‎ ‎＝3(λα1)－2(λα2)＝3·33 －2·(－1)3＝.‎ ‎8.(2018·如皋调研)已知矩阵A＝属于特征值λ的一个特征向量为α＝.‎ ‎(1)求实数b，λ的值；‎ ‎(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x2＋2y2＝2，求曲线C的方程.‎ 解　(1)由题意得Aα＝λα，‎ 即  ＝λ，‎ 解得b＝0，λ＝2.‎ ‎(2)由(1)知，矩阵A＝.设曲线C上的一点P，在矩阵A的作用下得到点P′(x′，y′).‎ ＝ ＝，‎ 所以 将上式代入方程x′2＋2y′2＝2，‎ 得(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，‎ 整理得3x2＋9y2＋6xy－1＝0.‎ 所以曲线C的方程为3x2＋9y2＋6xy－1＝0.‎ 考点三　曲线的极坐标方程 方法技巧　曲线极坐标方程的应用一般有两种思路：一是将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；二是将曲线的极坐标方程联立，根据极坐标的意义求解.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.‎ ‎9.在极坐标系中，设直线θ＝与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标.‎ 解　方法一　将直线θ＝化为直角坐标方程，得y＝x，‎ 将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为直角坐标方程，得x2＋y2－10x＋4＝0，‎ 联立并消去y，得2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x1＝，x2＝2，‎ 所以AB中点的横坐标为＝，纵坐标为，‎ 化为极坐标为.‎ 方法二　联立直线l与曲线C的极坐标方程，‎ 得 消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4，‎ 所以线段AB中点的极坐标为，即.‎ ‎10.(2018·宿迁质检)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ－3＝0.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求直线l被曲线C截得线段的长.‎ 解　(1)直线l的普通方程为y＝x－1，曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(2)曲线C表示以为圆心，2为半径的圆，‎ 圆心到直线l的距离d＝1，‎ 故直线l被曲线C截得的线段长为2＝2.‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线ρcos＋＝0距离最大的点P的直角坐标.‎ 解　(1)因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y－1＝0，θ∈[0,2π).‎ ‎(2)直线方程为x－y＋＝0，圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－)2＝4，‎ 所以设圆上点P的坐标为(－1＋2cos θ，＋2sin θ)，θ∈[0,2π)，‎ 则d＝ ‎ ‎＝，‎ 所以当cos＝－1，即θ＝时距离最大，此时点P的坐标为(－2，＋).‎ ‎12.在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上(O为极点)，且满足OP·OM＝4，记点P的轨迹为C2，求曲线C2上的点到直线C3：(t为参数)的距离的最大值.‎ 解　设点P(ρ′，θ′)，M(ρ1，θ′)，‎ 依题意得ρ1sin θ′＝2，ρ′ρ1＝4，‎ 消去ρ1，得ρ′＝2sin θ′，故曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ(ρ≠0).‎ 化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆.‎ 又直线C3的普通方程为x－y＝2，‎ 故圆心到直线C3的距离d＝，‎ 故曲线C2上的点到直线C3的距离的最大值为1＋.‎ 考点四 　参数方程 方法技巧　过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是有向线段P0P的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).‎ ‎13.(2018·苏州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中t为参数).在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)分别写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C相切，求实数a的值.‎ 解　(1)直线l的普通方程是2x＋y－a－2＝0，‎ 圆C的直角坐标方程是(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知圆心为C(2,0)，半径r＝2，‎ 设圆心到直线的距离为d，因为直线与圆相切，‎ 所以d＝＝＝2，‎ 解得a＝2±2.‎ ‎14.(2018·江苏省南京外国语学校质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数，m为常数).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝.若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围.‎ 解　圆C的普通方程为(x－m)2＋y2＝4.‎ 直线l的极坐标方程化为ρ＝，‎ 即x＋y＝，化简得x＋y－2＝0.‎ 因为圆C的圆心为C(m,0)，半径为2，圆心C到直线l的距离d＝，‎ 所以d＝＜2，‎ 解得2－2＜m＜2＋2.‎ ‎15.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，φ∈[0，π)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)若直线l与圆C相切，求φ的值；‎ ‎(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1＝2t2时，求AB的长.‎ 解　(1)圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，‎ 将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得(tcos φ－4)2＋(tsin φ)2＝4，‎ 即t2－8tcos φ＋12＝0，‎ 因为直线l与圆C相切，‎ 所以Δ＝(8cos φ)2－4×12＝0，‎ 所以cos φ＝或cos φ＝－，φ∈[0，π)，‎ 所以φ＝或.‎ ‎(2)将代入圆C的直角坐标方程(x－2)2＋y2＝4，‎ 得t2－8tcos φ＋12＝0，‎ 因为t1,2＝，‎ 所以 又t1＝2t2，所以⇒64cos2φ＝54，‎ 所以AB＝＝＝.‎ ‎16.(2018·如皋调研)已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为(θ为参数)，以Ox轴为极轴， O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点为圆心，且过点的圆.‎ ‎(1)求圆M的普通方程及圆N的直角坐标方程；‎ ‎(2)求圆M上任一点P与圆N上任一点之间距离的最小值.‎ 解　(1)将方程消去参数θ，可得2＋2＝4，‎ 所以圆M的方程为2＋2＝4.‎ 点和点的直角坐标分别为，，‎ 所以圆N的圆心为，‎ 半径为r＝＝1，‎ 故圆N的直角坐标方程为2＋2＝1.‎ ‎(2)由(1)得圆M，N的圆心距为 MN＝＝4，‎ 所以圆M上任一点P与圆N上任一点之间距离的最小值为dmin＝MN－3＝4－3＝1.‎ ‎1.已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0).‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.‎ 解　(1)由 ＝，‎ 得2－2a＝－4⇒a＝3.‎ ‎(2)由(1)知M＝，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.‎ 令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.‎ 当λ＝－1时，⇒x＋y＝0，‎ ‎∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为；当λ＝4时，⇒2x－3y＝0.‎ ‎∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.‎ ‎2.已知矩阵A＝(a为实数).‎ ‎(1)若矩阵A存在逆矩阵，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x－y＋2a＝0，求实数a的值；‎ ‎(3)在(2)的条件下，求A5.‎ 解　(1)∵＝a2－1≠0，‎ ‎∴a≠±1.‎ ‎(2)设l上任一点在A的变换作用下变为点，‎ 则 ＝＝，‎ 所以 所以x′－y′＋2a＝ax＋y－x－ay＋2a＝x＋y＋2a＝0，所以a＝2.‎ ‎(3)A2＝ ＝，‎ A4＝ ＝ ，‎ A5＝ ＝.‎ ‎3.平面直角坐标系xOy中，已知直线(l为参数)与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ 解　直线的普通方程为2x－2y＋3＝0，曲线的普通方程为y2＝8x.‎ 解方程组 得或 取A，B，得AB＝4.‎ ‎4.(2018·江苏邗江中学调研)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎(1)写出圆C的极坐标方程及圆心C的极坐标；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)与圆C交于M，N两点，求△CMN的面积.‎ 解　(1)极坐标(ρ，θ)与直角坐标(x，y)的对应关系为 所以 根据sin2α＋cos2α＝1，消元得 ‎(ρcos θ－)2＋(ρsin θ－1)2＝4，‎ 故得圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ 因为圆心C的直角坐标为(，1)，所以极坐标为.‎ ‎(2)联立得交点极坐标M(0,0)，N，‎ 所以MN＝2，MC＝2，‎ 所以△CMN的面积S＝×2×2sin ＝.‎