2019届二轮复习立体几何与三视图学案（全国通用）

2019届二轮复习立体几何与三视图学案（全国通用）

第十二讲 立体几何 一、知识方法拓展 ‎1.空间向量的应用 ‎1)求异面直线夹角：设分别为异面直线的方向向量，则直线的夹角满足 ‎2)求直线和平面夹角：设分别为直线的方向向量和平面的法向量，则直线和平面的夹角满足 ‎3)求二面角的平面角：设分别为平面的法向量，则平面的夹角满足 ‎4)求点到平面的距离：设为平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离 ‎5)求异面直线的距离：设是异面直线的公垂向量(待定系数法)，点在直线上，点在直线上，则异面直线的距离 ‎2.三面角公式 如右图，两平面相交于，均在上，射线在平面内，射线在平面内，且。已知，则有 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎3.射影面积公式 平面上任意多边形的面积，此多边形在另一平面上射影多边形的面积及这两个平面的夹角满足：‎ ‎4.欧拉定理 设分别表示凸多面体面，棱和顶点的个数，则 ‎5.正多面体 正多面体的性质：①每个面都是具有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数 正多面体 顶点数 面数 棱数 正四面体 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ 正六面体 ‎8‎ ‎6‎ ‎12‎ 正八面体 ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ 正十二面体 ‎20‎ ‎12‎ ‎30‎ 正二十面体 ‎12‎ ‎20‎ ‎30‎ 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 ‎6.四面体常见性质 ‎1)四面体都有外接球，球心是各条棱中垂面的交点，到各顶点的距离等于球的半径 ‎2)四面体都有内切球，球心是各二面角的角平分面的交点，到各个面的距离等于球的半径 ‎3)四面体四个面的重心和相对顶点的连线交于一点，这个点是四面体的重心，且重心将每条连线分为3:1‎ ‎7.三视图 将空间体摆放在空间坐标系中，然后利用正投影将该立体面分别向三个投影面投射，即可得到该立体的三个投影。其中，平面的到的投影称为俯视图，平面的到的投影称为左视图，平面的到的投影称为正视图。‎ 二、热身练习 ‎1.(2011卓越)在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 分析与解：用空间向量易得，选B ‎2.(2007复旦)棱长为的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切，则两球半径之和为( )‎ A.无法确定 B. C. D. ‎ 分析与解：因为两球互相外切，且各与正方体的三个面相切，故两球球心必在正方体同一条体对角线上。设两球半径分别为 如图，是该正方体的对角面，分别过 作垂直与截面长方形的边 易得 由 选C ‎3.(2008复旦)棱长为1的正四面体的对棱中点之间的距离为( )‎ A. B. C. D. 2‎ 分析与解：如右图，连接各棱中点E,F,G,H，由已知易得EFGH为边长是 正方形，则FG为其对角线，长度为，选A ‎4.(2010五校联考)四棱锥中，分别为侧棱的中点，则四面体的体积与四棱锥的体积之比为( )‎ A. B. C. D. ‎ 分析与解：如右图，易得 ‎，选C 三、真题精讲 例1.(2009清华)四面体中，‎ ‎(1)求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形 ‎(2)设三个面与底面所成角分别为，求证：‎ 分析与解：对棱相等的四面体，可以考虑寻找其题根，即长方体 ‎(1)如图，将四面体补全成长方体，则 在中，‎ 为锐角，同理，也是锐角 为锐角三角形，同理，其余各面也都是锐角三角形 ‎(2)由已知，‎ 设点A在底面的射影为点O，根据射影面积公式 例2.(2010同济)如图，四面体中，和为对棱，设，且异面直线与间的距离为，夹角为 ‎(1)若，且棱垂直于平面，求四面体的体积 ‎(2)当时，证明：四面体的体积为一定值 分析与解：(1)如图，过点作 由垂直于平面即与间的距离 ‎(2) 如图，过点作面，连接并延长交与，‎ 点作 由面 即即与间的距离 为定值 例3.(2004同济)设四棱锥，底面是边长为1的正方形，平面 ‎(1)求证：直线直线 ‎(2)过直线且垂直于直线的平面交于点，如果三棱锥的体积取得最大值，求此时四棱锥的高 分析与解：(1)如图连接，交于 平面 ‎(2) 如图，过作面于 平面 点为定点点在以为圆心的半圆上 又底面为定值 故当三棱锥的体积取得最大值时，恰为中点 即 例4.(2005交大)将3个 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两个部分(如左图)，将这6部分接于一个边长为的正六边形上(如右图)，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，求该多面积的体积。‎ 分析与解：将几何体补全为一个正方体即可求出其体积 如图，作图是拼接成的结合体，右图为补全后的正方体 则，其体积为 例5.(2009南京大学)如图，四面体中，平面截四面体所得截面为，且∥平面，∥平面，到平面的距离为，到平面的距离为，求立体图形与四面体的体积之比。‎ 分析与解：如图，作，连接 由已知易得 则 又 故 例6.(2011华约)一个圆柱形杯，其瓶底及壁的厚度忽略不计，质量为，其重心在圆柱中轴线的中点处，若向杯中倒入质量为的水，且，恰好倒满，此时杯和水的整体重心还在圆柱中轴线的中点上 ‎(1)若倒入杯中的水，试求整体重心距杯底的高度与杯高的比值 ‎(2)倒入多少水时，整体重心最低 分析与解：(1)设杯高为，倒入的水时重心高度为 由已知，空杯重心高度为，的水的重心高度为 则 ‎(2)设倒入的水时，整体重心最低，此时水的重心高度为 则整体重心高度 令 则 当且仅当即时取得等号 即倒入的水时，整体重心最低，重心高度为 四、重点总结 ‎1.熟练掌握立体几何及空间向量的常规解题方法和技能 ‎2.熟练运用图形的割补，转化化归等立体几何常用解题技巧来帮助解题 五、强化训练 A组 ‎1.(2010五校)如果平面，直线，点满足∥‎ ‎，且与所成角为，，与所成角为，那么与所成角大小为( )‎ A. B. C. D. ‎ 分析与解：如图，‎ 根据三面角公式，易得与所成角满足 故在平面内的投影与所成角 故与所成角，选B ‎2.(2011华约)异面直线，夹角为60°，过定点有____________个平面与这两条直线都成45°‎ 分析与解：不妨将两条直线平移至相交，再将点平移至两直线交点处，应不会改变答案。‎ 因为与两直线夹角相等且不为0°的平面必然经过他们的两条角平分线。‎ 而经过60°角角平分线的平面与两直线夹角最大值为30°，经过120°角角平分线的平面与两直线夹角最大值为60°。‎ 故所要求的与两平面夹角都成45°的直线应经过120°角角平分线，有对称的两个 答案：2个 ‎3. (2010复旦)设是正三棱柱，底面边长和高都是1，是侧面的中心点，则到侧面的对角线的距离是( )‎ A. B. C. D. ‎ 分析与解：过作 由已知，‎ 选C ‎4.(2004同济)设与是两条非互相垂直的异面直线，与分别是过直线与的平面，有以下4个结论：(1) ∥,(2) ,(3) ∥,(4) ‎ ‎，则其中不可能出现的结论的序号为_______________‎ 分析与解：由直线和平面的基本性质易得只有(2)不可能成立 答案：(2)‎ ‎5.(2010复旦)设一个多面体从前面，后面，左面，右面，上面看到的图形(其中正方形边长为1)如图所示，则该多面体的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ 分析与解：如右图，这个几何体应是一个正方体切去一个三棱锥 易得，其体积为 选：C ‎6.(2008复旦)若四面体的一条棱长是，其余棱长都是1，体积是，则函数在其定义域上为( )‎ A.增函数但无最大值 B.增函数且有最大值 ‎ C.不是增函数且无最大值 D.不是增函数但有最大值 分析与解：如图四面体中，，其余各棱均为1‎ 分别取中点，连接 由已知可得 易知平面，故 由函数性质，当时，取得最大值，故选：D ‎7. (2009复旦)正三棱柱的底是边长为1的正三角形，高，在上取一点，设与底的二面角为，与底的二面角为，则 的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ 分析与解：如图，过作，过作 设过，则 易得，‎ 同理可得，‎ 当时，‎ 选C ‎8.(2003同济)棱长为的正四面体，如图建立直角坐标系，为在底面的投影，分别是所在棱的中点，则点的坐标是__________，与所成的角是_______‎ 分析与解：由已知，‎ ‎9.(2007北大)长方体中，为棱长，‎ ‎，求沿长方体表面从到的最短距离(其中是长方体的体对角线的两个端点)‎ 分析与解：如图，分别取长方体三条棱的点 (1) 若经过点所在棱，则将上底面沿点所在棱翻出，‎ 使得点所在棱,在同一平面中，此时即为最短距离 (2) 若经过点所在棱，则将上底面沿点所在棱翻出，‎ 使得点所在棱,在同一平面中，此时即为最短距离 (3) 若经过点所在棱，则将上底面沿点所在棱翻出，‎ 使得点所在棱,在同一平面中，‎ 此时即为最短距离 因为，易得最小，即最短距离为 ‎10.(2008浙大)有一个圆锥正放，它的高为，圆锥内水面高为，，将圆锥倒置，求倒置的水面高度 分析与解：由已知，易得 则倒置后，有 B组 ‎1.(2010复旦)在一个底面半径为，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是( )‎ A.32个 B.30个 C.28个 D.26个 ‎ 分析与解：如图，左图为圆柱的轴截面，根据已知 ‎，设小球半径为 则 右图为经过小球球心的圆柱横截面 设单底面最多能放个小球 由 选B ‎2.(2009同济)四面体4个顶点到平面的距离之比为1:1:1:3，则这样的平面共有几个？‎ 分析与解：不妨设4个顶点到平面距离分别为1,1,1,3，考虑四个顶点在平面的同异侧情况 ‎(1)若四个点都在同侧，则共有个平面 ‎(2)若距离为3的点在一侧，另三个点在一侧，则共有个平面 ‎(3)若距离为3的点和一个距离为1点在一侧，另两个点在一侧，则共有个平面 ‎(4) 若距离为3的点和两个距离为1点在一侧，另一个点在一侧，则共有个平面 故共有32个平面 ‎3.(2003复旦)一矩形的一边在轴上，另两个定点在函数的图像上，求此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值 分析与解：设轴上两点坐标分别为，函数上定点坐标为 的两根是 则几何体体积 故当，即时，‎ ‎4.(2009复旦)半径为的球中装了4个半径为的球，求的最大值 分析与解：如图，为4个小球的球心，为大球球心，当取得最大值时，‎ ‎4个小球两两相切且与大球相切，所以组成一个正四面体，其边长为2。‎ 延长交大球于，则 又是四面体的中心，根据正四面体的性质可得 即的最大值为 ‎5.(2010五校)(1)正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面积的最小值 ‎(2)一般的，设正棱锥的体积为定值，试给出不依赖于的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值 分析与解：将正棱锥分割成个三棱锥，如图的几何体即为其中一个 点是正棱锥顶点，是在底面上的投影，即底面正边形的中心 故，点为中点，连接，‎ 设，平面与平面的夹角 则 令，‎ 令，由(舍)‎ 故当时，‎ ‎(1)令,代入 ‎(2)充要条件即为 侧面和底面所成二面角大小为