福建省龙岩市上杭县第一中学2020届高三12月月考数学(理)试题

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福建省龙岩市上杭县第一中学2020届高三12月月考数学(理)试题

上杭一中2020届高三年级12月份月考理科数学试题 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合,,且,则实数的取值范围为( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得,再由,即可求得的范围,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,集合,,可得,‎ 又由,所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,以及利用集合的运算求解参数的范围,其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎2.下列说法中,正确的是(   )‎ A. 命题“若,则”的逆命题是真命题 B. 命题“,”的否定是“,”‎ C. 为真命题,则命题和命题均为真命题 D. 向量,,,则“”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项依次进行判断,得到正确答案.‎ ‎【详解】命题“若,则”的逆命题是:若,则,当时不成立,错误 B. 命题“,”的否定是“,”,正确 C. 为真命题,则命题或者命题为真命题,错误 D.向量,,,等价于:‎ 则“”是“”的充分必要条件.错误 故答案选B ‎【点睛】本题考查了命题的真假判断,逆命题,,充分必要条件,综合性较强.‎ ‎3.已知实数,满足约束条件,若目标函数仅在点处取得最大值,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域,平移基准直线到点的位置,根据目标函数仅在点处取得最大值,求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示,基准直线为,平移基准直线到点的位置,由于目标函数仅在点处取得最大值.当时,直线符合题意,当时,,,仅在点处取得最大值,符合题意.‎ 当时,,要使,仅在点处取得最大值,则需,解得.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ 故选:C ‎【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值情况求参数的取值范围,考查数形结合的思想方法,属于基础题.‎ ‎4.函数的部分图象可能是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查函数的定义域、在上的函数值符号,可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于函数,,解得且,‎ 该函数的定义域为,排除B、D选项.‎ 当时,,,则,此时,,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别,一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎5. ( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分的计算公式进行计算,得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 是半径为的圆的面积的四分之一,为,‎ 所以,,故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算,属于简单题.‎ ‎6.将函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将所得图像向左平移个单位后得到的函数图像关于原点中心对称,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件写出图像变换后函数解析式,然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数,由此得到的表示并计算出的结果.‎ ‎【详解】因为变换平移后得到函数,由条件可知为奇函数,‎ 所以,.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值,难度一般.正弦型函数为奇函数时,为偶函数时.‎ ‎7.如图,一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为,高为.玻璃杯内水深为,将一个球放在杯口,球面恰好与水面接触,并且球面与杯口密闭.如果不计玻璃杯的厚度,则球的表面积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出球和圆柱的轴截面,利用勾股定理列方程,解方程求得球的半径,进而求得球的体积.‎ ‎【详解】画出球和圆柱的轴截面如下图所示,设球的半径为,在直角三角形中,‎ ‎,由勾股定理得,解得.所以球的表面积为.‎ 故选:A ‎【点睛】本小题主要考查球和圆柱截面有关计算,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.‎ ‎8.已知等比数列中,,,则的值为( )‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由等比数列的性质得到 ‎ 又因为 ‎ 故得到原式等于 ‎ ‎ ‎ 代入上式得到 故答案为A.‎ 点睛:这个题目考查的是等比数列的性质和应用;解决等差等比数列的小题时,常见的思路是可以化基本量,解方程;利用等差等比数列的性质解决题目;还有就是如果题目中涉及到的项较多时,可以观察项和项之间的脚码间的关系,也可以通过这个发现规律.‎ ‎9.已知点是的重心,,若,,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题,据此求解的最小值即可.‎ ‎【详解】如图所示,由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,‎ ‎,‎ 根据向量的数量积的定义可得,‎ 设,则,‎ ‎,‎ 当且仅当,即,△ABC是等腰三角形时等号成立.‎ 综上可得的最小值是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算,向量的模的求解,均值不等式求解最值的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10.已知是函数的导函数,且对任意的实数都有,,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先构造函数,利用导函数求出的解析式,即可求解不等式.‎ ‎【详解】令,则,‎ 可设,‎ ‎, ‎ ‎ 所以 解不等式,即,所以 ‎ 解得,所以不等式的解集为 ‎ 故选A ‎【点睛】本题考查利用导函数解不等式,解题的关键是根据问题构造一个新的函数,此题综合性比较强.‎ ‎11.已知双曲线的右顶点为,为坐标原点,以 为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点,,若,且,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:因为且,所以为等边三角形,设,则,渐近线方程为,,取的中点,则,由勾股定理可得,所以①,在中,,所以②,①②结合,可得.故选A.‎ 考点:双曲线的简单性质.‎ ‎12.设是含数的有限实数集,是定义在上的函数,若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,的可能取值只能是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的定义即可得到结果.‎ ‎【详解】由题意得到:问题相当于圆上由12个点一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.‎ 我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,‎ ‎,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义,即“对于集合A中的每一个值,在集合B中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知为虚数单位,,若为纯虚数,则复数的模等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简,根据为纯虚数求得的值,进而求得的模.‎ ‎【详解】依题意为纯虚数,所以,所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查纯虚数的概念,考查复数模的计算,属于基础题.‎ ‎14.已知抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合,若点F到双曲线的一条渐近线的距离为1,则的焦点F到其准线的距离为__________________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得抛物线的焦点,可得p=2c,再由焦点到渐近线的距离为1可得b值,结合,得到c,从而得到答案.‎ ‎【详解】抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,则 ‎,又,‎ 点F到双曲线渐近线的距离为1,即,又,解得,即c=2,所以p=2c=4,故抛物线的焦点到准线的距离p=4.‎ 故答案为4.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线与抛物线的定义,考查双曲线的几何性质,解题的关键是确定关于几何量的等式.‎ ‎15.已知函数满足下列两个条件:①函数是奇函数;②,且.若函数在上存在最小值,则实数的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题目所给两个条件求得的解析式,画出的图像,结合图像求得的最小值.‎ ‎【详解】由于且,所以,,所以.为奇函数,且,所以,所以.画出图像如下图所示,其中.由图可知,要使函数在上存在最小值,则实数的最小值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的图像与性质,考查三角函数最值、周期等知识的运用,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.‎ ‎16.定义在实数集上的偶函数满足,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知可得,再构造,然后可得函数的周期性和奇偶性,再利用函数的性质得,再求解即可.‎ ‎【详解】解:因为,所以,‎ 即,即,‎ 令,则,可得函数周期为2,‎ 所以,‎ 又为偶函数,则为偶函数,‎ 又因为,所以,‎ 即,即,‎ 解得,‎ 又,‎ 即,即,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性及周期性,重点考查了函数性质的应用,属难度较大的题型.‎ 三、解答题(17-21题每题12分,22题10分,共70分)‎ ‎17.函数的部分图像如图所示.‎ ‎(1)求的解析式及其单调递增区间;‎ ‎(2)若在有5个零点,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1),单调递增区间为,;(2).‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)先根据图中数据计算出周期即可计算出的值,再根据最值点即可计算出的值,根据正弦函数的单调增区间公式求解出的单调增区间;‎ ‎(2)分析的取值范围,借助的函数图象分析当有个零点的时候,的取值范围.‎ ‎【详解】(1)由图可得,∴,‎ ‎∵过点,∴,‎ ‎∵,∴,∴,∴,‎ 由得,‎ ‎∴的单调递增区间为.‎ ‎(2)∵,∴,‎ 由题意结合函数的图像可得,∴.‎ ‎【点睛】(1)由三角函数图像确定三角函数解析式时,第一步先通过图像的最值确定的值,第二步通过周期确定的值,第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及的取值范围确定的值;‎ ‎(2)已知三角函数的零点个数求解参数范围,可通过图像写出对应零点个数时参数满足的不等式,从而求解出参数范围.‎ ‎18.已知等差数列的公差,其前项和为,若,且成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记,且数列的前项和为,证明:.‎ ‎【答案】(1)(2)详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由等差数列的通项公式和等比数列的性质,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项公式;‎ ‎(2)求得,再由数列的求和方法:裂项相消求和,结合数列的单调性和不等式的性质,即可得证 试题解析:(1)依题意,得,即,得.‎ ‎,.∴数列的通项公式.‎ ‎(2),‎ ‎.‎ ‎,,故,又为单调递增,所以当时,取最小值,故 考点:等差数列及数列的求和 ‎19.已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点. ‎ ‎(1)求E的方程;‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设出,由直线的斜率为求得,结合离心率求得,再由隐含条件求得,即可求椭圆方程;(2)点轴时,不合题意;当直线斜率存在时,设直线,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于零求得的范围,再由弦长公式求得,由点到直线的距离公式求得到的距离,代入三角形面积公式,化简后换元,利用基本不等式求得最值,进一步求出值,则直线方程可求.‎ 试题解析:(1)设,因为直线的斜率为,‎ 所以,. ‎ 又 解得,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)解:设 由题意可设直线的方程为:,‎ 联立消去得,‎ 当,所以,即或时 ‎.‎ 所以 点到直线的距离 所以,‎ 设,则,‎ ‎,‎ 当且仅当,即,‎ 解得时取等号,‎ 满足 所以的面积最大时直线的方程为:或.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.‎ ‎20.如图,平行四边形中,,,为边的中点,沿将折起使得平面平面.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求四棱锥的体积;‎ ‎(3)求折后直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据面面垂直的性质定理,证得平面,由此证得平面平面.‎ ‎(2)的中点,根据等比三角形的性质得到由面面垂直的性质定理得平面,也即是四棱锥的高.进而求得四棱锥的体积.‎ ‎(3)以为空间坐标系原点建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量,计算出直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【详解】(1)证明:∵平面平面,平面平面,‎ 由题易知,且平面.‎ ‎∴平面,而平面,‎ ‎∴平面平面.‎ ‎(2)由已知有是正三角形,取的中点,则,又平面平面于,‎ 则平面,且,‎ 易求得,‎ ‎∴.‎ ‎(3)作,由(1)知可如图建系,‎ 则,,,‎ ‎,‎ 又,得,‎ ‎,.‎ 设平面的法向量,则 ‎,不妨取.‎ 设折后直线与平面所成的角为,则.‎ ‎【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理,考查四棱锥的体积计算,考查线面角正弦值的计算,属于中档题.‎ ‎21.已知函数,又函数的两个极值点为,且满足,恰为的零点.‎ ‎(1)当时,求的单调区间;‎ ‎(2)当时,求证:.‎ ‎【答案】(Ⅰ)函数的单调递减区间是和,单调递增区间是(Ⅱ)证明略.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求出,解导不等式可得的单调区间;(Ⅱ)先确定0<≤,再利用y==﹣2lnt(0<t≤),即可求y=的最小值,从而得证.‎ ‎【详解】(Ⅰ)∵‎ ‎∴‎ 又 令,解得,‎ 令,解得0<x<或x>‎ ‎∴函数的单调递减区间是和,单调递增区间是;‎ ‎(Ⅱ),,‎ 由题意,∴≥,解得0<≤,‎ 当时,即证:‎ ‎,,‎ 两式相减得:2ln﹣(x1﹣x2)(x1+x2)+(x1﹣x2)=0,‎ ‎∴(0<t≤),‎ 记,则,‎ ‎∴在(0,]递减,‎ ‎∴的最小值为 即,得证.‎ ‎【点睛】本题考查导数知识的综合运用,考查证明不等式,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎(第22题和23题二选一,如两题都做,按22题给分)‎ ‎22.在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(是参数,是大于0的常数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.‎ ‎(1)求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程;‎ ‎(2)分别记直线:,与圆、圆的异于原点的交点为,,若圆与圆外切,试求实数的值及线段的长.‎ ‎【答案】(1)圆的极坐标方程为,的直角坐标方程为(2),‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用消去参数,求得圆的普通方程,进而转化为极坐标方程.利用,以及两角差的余弦公式,将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程.‎ ‎(2)先求得两个圆的圆心和半径,利用两圆外切,圆心距等于两圆半径之和列方程,解方程求得的值.将分别代入的极坐标方程,利用的几何意义,求得线段的长.‎ ‎【详解】(1)圆:(是参数)消去参数,‎ 得其普通方程为,‎ 将,代入上式并化简,‎ 得圆的极坐标方程为.‎ 由圆极坐标方程,得.‎ 将,,代入上式,‎ 得圆的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由(1)知圆的圆心,半径;圆的圆心,半径,‎ ‎,‎ ‎∵圆与圆外切,‎ ‎∴,解得,‎ 即圆的极坐标方程为,‎ 将代入,得,‎ 得,‎ 将代入,得,得,‎ 故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程互化,考查圆与圆的位置关系,考查利用极坐标方程计算两点间的距离,属于中档题.‎ ‎23.设函数.‎ ‎(1)求证:恒成立;‎ ‎(2)求使得不等式成立的正实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)‎ ‎,‎ 当且仅当时取等号,所以.‎ ‎(2)由得,‎ 当时,由,解得或;‎ 当时,由,解得,‎ 综上,实数的取值范围是.‎ ‎ ‎
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