2021版高考数学一轮复习第六章不等式6-1不等式的性质一元二次不等式的解法练习新人教B版
6.1 不等式的性质、一元二次不等式的解法
核心考点·精准研析
考点一 比较大小与不等式的性质
1.(2019·泉州模拟)若a>b>c,ac<0,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.ab>0 B.bc<0
C.ab>ac D.b(a-c)>0
2.若a=2 0192 022×2 0222 019,b=2 0192 019×20222 022,则a________b(用“>,<”填空).
3.设m=,n=,则m________n(用“>,<”填空).
【解析】1.选C.因为a>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符号不确定,故A,B,D不正确,C中,a>0,故ab>ac,正确.
2.==<1,所以a
1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)<0的解集是________.
【解题导思】
序号
联想解题
1
由不等式想到x的系数变为正数后解不等式
2
由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数
3
由不等式想到不等式变形、求根、根的大小写解集
【解析】1.选D.因为x(2-x)<0,
所以x(x-2)>0,所以x>2或x<0,
所以不等式的解集为(-∞,0)∪(2,+∞).
9
2.选C.不等式的解集是∪,
所以-和是方程ax2+2x+c=0的两个实数根,
由,解得:a=-12,c=2,
故不等式cx2-2x+a≤0,即2x2-2x-12≤0,
即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3,
所以所求不等式的解集是[-2,3].
3.因为a>1时,1-a<0,且a>,
则关于x的不等式可化为(x-a)>0,
解得x<或x>a,
所以不等式的解集为∪(a,+∞).
答案:∪(a,+∞)
1.解不含参数的一元二次不等式
首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图象写解集;若无根,直接根据图象写解集.
2.解含参数的一元二次不等式
9
(1)先讨论二次项系数为0的情况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;
(2)再讨论二次项系数不为0的情况,利用“Δ”或“十字相乘法”求根,
若有根,则讨论根的大小后根据图象写解集;
若无根,则根据图象写解集.
1.(2019·西安模拟)不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集为 ( )
A.
B.
C.∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪
【解析】选B.因为不等式的解集为(-4,1),
则不等式对应方程的实数根为-4和1,且a<0;
由根与系数的关系知,,
所以,
所以不等式化为3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,
化为3(x2+1)-(x+3)-4<0,即3x2-x-4<0,
解得-10对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为
( )
A.a<-或a>
9
B.a>或a<0
C.a>
D.-0对一切实数x都成立,
则,即
解得a>,
所以实数a的取值范围是a>.
在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么?
提示:在R上的恒成立,可以依据对应的二次函数的图象,列出等价条件求解.
给定区间上的恒成立问题
【典例】若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,则实数m的取值范围是
( )
A.m≤-3或m≥0 B.m≥-3
C.-3≤m≤0 D.m≤-3
【解析】选D.因为不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,
所以只需m≤(x2-4x)min,x∈[0,1],
令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x∈[0,1],
所以f(x)min=f(1)=-3,
所以m≤-3.
定区间上的恒成立问题如何解?
提示:将参数分离出来后,转化为求另一侧函数的最值,是求参数范围的常用方法.
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给定参数范围的恒成立问题
【典例】(2020·六安模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是 ( )
A.[-1,3] B.(-∞,-1]
C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解析】选D.方法一:特殊值法:当x=-1时,由x2+px>4x+p-3,得p<4,故x=-1不符合条件,排除A,B;
当x=3时,由x2+px>4x+p-3,得p>0,故x=3不符合条件,排除C;
方法二:转换变元法:不等式变为p+x2-4x+3>0,当0≤p≤4时恒成立,
所以
即
解得x<-1或x>3.
比较一下特殊值法和转换变元法在解题中的应用.
提示:特殊值法简单快捷,转换变元法思路巧妙,转化求解,体现了函数性质在解不等式中的应用.
1.在R上定义运算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2]使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-3,2) B.(-1,2)
C.(-2,2) D.(1,2)
2.已知关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】1.选A.由题意知,不等式(m-x)※(m+x)<4化为(m-x+1)(m+x)<4,
即m2+m-40.
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解集为{x|x>6或x<-4}.
解集中只有-5在集合A中.
答案:(x+4)(x-6)>0(不唯一)
9
