黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

铁人中学2017级高三学年上学期期中考试 数学试题（理）‎ 试题说明：1.本试题满分150分，答题时间120分钟.‎ ‎2.请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷选择题部分 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分.）‎ ‎1.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.‎ 详解：选D.‎ 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.‎ ‎2.已知集合，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 集合，，所以.故选择B.‎ ‎3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，‎ 则cos2θ＝(　 　)‎ A. － B. － C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．‎ ‎【详解】解：根据题意可知：tanθ＝2，‎ 所以cos2θ，‎ 则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．‎ ‎4.曲线在点处切线的斜率为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求导公式求出y′，由导数的几何意义求出在点（1，1）处的切线的斜率k．‎ ‎【详解】解：由题意知，，则 ，‎ ‎∴在点（1，1）处的切线的斜率k＝2，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．‎ ‎5.下列叙述正确的是（ ）‎ A. 命题“p且q”为真，则恰有一个为真命题 B. 命题“已知，则“”是“”的充分不必要条件”‎ C. 命题都有，则，使得 D. 如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由p且q的真值表，可判断正误；由充分必要条件的定义和特值法，可判断正误；由全称命题的否定为特称命题，可判断正误；由函数零点存在定理可判断正误.‎ ‎【详解】解：对于A，命题“P且q为真，则P，q均为真命题”，故错误；‎ 对于B，“a＞b”推不出“a2＞b2”，比如a＝1，b＝﹣1；反之也推不出，比如a＝﹣2，b＝0，“a＞b”是“a2＞b2”的不充分不必要条件，故错误；‎ 对于C，命题都有，则，使得，故正确；‎ 对于D，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上是连续不断的一条曲线，‎ 并且有f（a）•f（b）＜0，由零点存在定理可得函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，故错误．‎ 其中真命题的个数为1，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断，考查命题的否定和充分必要条件的判断，以及函数零点存在定理和函数的单调性的判断，考查判断能力和运算能力，属于中档题．‎ ‎6.若，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域,,比较斜率的大小找到最优解,根据最优解求得最大值.‎ ‎【详解】作出可行域,如图所示:‎ 将目标函数化为斜截式可得:,‎ 根据图象,比较斜率的大小可知,最优解为点,‎ 联立,解得,‎ 所以,将代入目标函数可得的最大值为6.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划求最大值,属于中档题.‎ ‎7.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误， ‎ 因为 选项C正确，故选C．‎ ‎【考点】指数函数与对数函数的性质 ‎【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.‎ ‎8.在中，,为的中点，则=( )‎ A. 2 B. -2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵为的中点 ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 故选B.‎ ‎9.函数的部分图象大致是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当时，，所以去掉A,B;‎ 因为，所以，因此去掉C，选D.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．‎ ‎10.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 几何体如图，球心为O，半径为，表面积为，选B.‎ 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎11.不等式的解集为,且,则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：即不等式在是上恒成立，即，令，则，列表分析可得时取最小值，从而的取值范围是，选A.‎ 考点：不等式恒成立 ‎【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 ‎（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.‎ ‎12.已知定义在上的函数的导数为，且，若对任意恒成立，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0．x∈（0，+∞）．xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．可得函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调性，即可解出．‎ ‎【详解】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞）．‎ ‎∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．‎ ‎∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．‎ 由lnx，可得，即 又 ‎∴g（x）＞0=g（e），‎ ‎∴x＞e．‎ 即不等式lnx的解集为{x|x＞e}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.已知向量，若与反向则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量共线的坐标公式即可得到结果.‎ ‎【详解】∵向量， 与反向 ‎∴ ，解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查实数值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用．‎ ‎14.函数最大值为_______‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角余弦公式，转化为关于t的一元二次函数，进而可根据二次函数的性质来解决．‎ ‎【详解】解：y＝﹣2sin2x+6sinx+2，‎ 设sinx＝t，则﹣1≤t≤1，‎ f（t）＝﹣2t2+6t+2，对称轴为x，开口方向向下，在区间[﹣1，1]上单调增，‎ ‎∴f（t）max＝f（1）＝6，‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的最值问题．解题过程中运用了函数思想和转化与化归思想．‎ ‎15.在中，角所对的边分别为的平分线交于点D，且，则的最小值为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．‎ ‎【详解】解：由题意得acsin60°asin30°csin30°，‎ 即ac＝a+c，‎ 得，‎ 得4a+c＝（4a+c）（）≥＝，‎ 当且仅当，即c＝2a时，取等号，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用与三角形的面积公式，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．‎ ‎16.设是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当时，，则当时，的解析式为______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合x∈[2，3]时，f（x）＝x，可得答案．‎ ‎【详解】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，x∈[2，3]时，f（x）＝x，‎ ‎∴x∈[﹣2，﹣1]时，‎ ‎2+x∈[0，1]，4+x∈[2，3]，‎ 此时f（x）＝f（4+x）＝4+x，‎ x∈[﹣1，0]时，‎ ‎﹣x∈[0，1]，2﹣x∈[2，3]，‎ 此时f（x）＝f（﹣x）＝f（2﹣x）＝2﹣x，‎ 综上可得：x∈[﹣2，0]时，f（x）＝3﹣|x+1|‎ 故答案为：‎ 点睛】本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及对称中心；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)，对称中心；‎ ‎(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)先通过三角恒等变换把化简成一角一名一次式即的形式，由正弦函数的性质求得其最小正周期和对称中心；(Ⅱ)由求出的范围，结合图象找出函数的最值点，进而求得的最值，得解.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）‎ ‎∴的最小正周期为，‎ 令，则，‎ ‎∴的对称中心为；‎ ‎（Ⅱ）∵∴∴‎ ‎∴‎ ‎∴当时，的最小值为；‎ 当时，的最大值为．‎ 考点：二倍角公式、两角和与差的正弦公式及三角函数的图象与性质.‎ ‎【易错点晴】本题涉及到降幂公式，要注意区分两个公式，同时要注意两个特殊角的三角函数值，保证化简过程正确是得分的前提，否则一旦出错将会一错到底，一分不得，不少考生犯这样的低级错误，实在可惜；对于给定区间上的最值问题，在换元的基础上结合三角函数的图象搞清楚其单调性，找准最值点，再求最值，部分考生不考虑单调性，直接代入区间两个端点的值来求最值，说明对函数单调性对函数最值的影响认识肤浅、不到位.‎ ‎18.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据是等差数列，设公差为d，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求得，由裂项相消求和，化简运算可得所求和．‎ ‎【详解】（Ⅰ）公差d不为零的等差数列，若，且成等比数列，‎ ‎ 可得，即，‎ 解得．‎ 则；‎ ‎（Ⅱ），‎ 可得前n项和 ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式与等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．‎ ‎19.如图，直棱柱中，分别是的中点，，‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点，连接DF，则BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1C．‎ ‎（2）以C为坐标原点，CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．‎ ‎【详解】（1）如图，连接交于点F，则点F为的中点，连接.‎ 因为D是的中点，‎ 所以在中，是中位线，‎ 所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，即.‎ 则以C为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，‎ 则，，，‎ 则，，.‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，即，‎ 取，则，，‎ 则.‎ 设是平面一个法向量，‎ 则，即，‎ 取，则，，‎ 则.‎ 所以，‎ 所以，‎ 即二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎20.已知在中，角的对边分别为,且. ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据求出角的值，根据第（1）问得到的 值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件. ‎ 试题解析：（1）由，‎ 应用余弦定理，可得 ‎ ‎ 化简得则 ‎ ‎（2） ‎ 即 ‎ ‎ 所以 ‎ 法一. ,‎ 则 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ 又 ‎ 法二 因为 由余弦定理 得，‎ 又因为，当且仅当时“”成立.‎ 所以 ‎ 又由三边关系定理可知 综上 ‎21.已知数列中，且．‎ ‎（Ⅰ）求，；并证明是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），证明见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据递推式逐步代入算出和的值，再根据题意将的递推式代入进行计算化简最终会得到和的关系，最终得证数列是等比数列；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求得的通项公式，得到，由通项公式的特点可根据错位相减法得到数列的前项和．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，可知：‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎①当时，，‎ ‎②当时， ．‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），可知：‎ ‎，‎ ‎ ．．‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎， ③‎ ‎ ④‎ ‎③-④，可得：‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题第（Ⅰ）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公式求出通项公式；第（Ⅱ）题主要考查利用错位相减法来求数列的前项和．本题属中档题．‎ ‎22.已知．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在3个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导，比较导函数的两根大小，进而得到单调性；（2）通过函数表达式可得到函数有一个零点2，要使得有3个零点，即方程有2个实数根，即，令对函数求导研究函数单调性，结合函数的图像得到参数范围.‎ ‎【详解】（1） ‎ 因为，由，得或．（i）当时，，‎ 在和上，，单调递增；‎ 在上，，单调递减， ‎ ‎（ii）当时，，在上，，单调递增， ‎ ‎（iii）当时，，‎ 在和上，，单调递增；‎ 在上，，单调递减， ‎ ‎（2），‎ 所以有一个零点．要使得有3个零点，即方程有2个实数根，‎ 又方程，令，即函数与图像有两个交点，‎ 令，得 ‎ 的单调性如表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎ ‎ ‎↘‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎↗‎ 当时，，又，的大致图像如图， ‎ 所以，要使得有3个零点，则实数的取值范围为 ‎【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，‎ ‎（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；‎ ‎（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；‎ ‎（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎ ‎