【数学】2020届一轮复习人教B版(文)31双曲线的定义、标准方程及性质作业

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【数学】2020届一轮复习人教B版(文)31双曲线的定义、标准方程及性质作业

天天练31 双曲线的定义、标准方程及性质 小题狂练 一、选择题 ‎1.[2019·绵阳一诊]已知圆O1和圆O2的半径分别为2和4,且|O1O2|=8,若动圆M与圆O1内切,与圆O2外切,则动圆圆心M的轨迹是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 答案:C 解析:设动圆M的半径为R,由题意得|MO1|=R-2,|MO2|=R+4,所以|MO2|-|MO1|=6(常数),且6<8=|O1O2|,所以动圆圆心M的轨迹是以O1,O2为焦点的双曲线的一支.故选C.‎ ‎2.[2019·昆明模拟]“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 解析:先证充分性,由mn<0,知m,n异号,可得,异号,所以方程mx2+ny2=1可化为+=1,其表示双曲线;再证必要性,若方程mx2+ny2=1表示双曲线,则m≠0,n≠0,方程mx2+ny2=1可化为+=1,由双曲线方程的形式可知,异号,所以mn<0.综上,“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件.故选C.‎ ‎3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于(  )‎ A.2 B.4‎ C.6 D.8‎ 答案:B 解析:由双曲线的方程得a=1,c=,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2.在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,即(2)2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|=22+|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|=4.故选B.‎ ‎4.[2019·广东广州模拟]已知双曲线C:-=1(a>0)的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2,则|PF2|=(  )‎ A.4 B.6‎ C.8 D.10‎ 答案:C 解析:由题意得=,解得a=3.因为|PF1|=2,所以点P在双曲线的左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF2|=8.故选C.‎ ‎5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,离心率为,则双曲线的标准方程为(  )‎ A.-=1 B.x2-=1‎ C.-=1 D.x2-=1‎ 答案:A 解析:因为双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,所以a=2,由离心率为,可得=,c=2,所以b===4,则双曲线的标准方程为-=1.故选A.‎ ‎6.[2018·全国卷Ⅲ]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为(  )‎ A. B.2‎ C. D.2 答案:D 解析:由题意,得e==,c2=a2+b2,得a2=b2.又因为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x±y=0,点(4,0)到渐近线的距离为=2,故选D.‎ ‎7.[2019·河南豫南豫北联考]已知直线y=x+1与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且线段AB的中点M的横坐标为1,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D. 答案:B 解析:由题意得M(1,2).设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入双曲线方程,两式相减并整理得==kAB·kOM=2.∴b2=2a2,即c2-a2=2a2,∴e=.故选B.‎ ‎8.[2019·福州四校联考]过双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线,若这4条直线所围成的四边形的周长为8b,则该双曲线的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 答案:A 解析:由双曲线的对称性得该四边形为菱形,因为该四边形的周长为8b,所以菱形的边长为2b,由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为,又4条直线分别与两条渐近线平行,所以即=即:=,解得a=b,所以该双曲线的渐近线的斜率为±1,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x,故选A.‎ 二、非选择题 ‎9.[2019·辽宁沈阳月考]已知方程mx2+(2-m)y2‎ ‎=1表示双曲线,则实数m的取值范围是________.‎ 答案:(-∞,0)∪(2,+∞)‎ 解析:∵mx2+(2-m)y2=1表示双曲线,∴m(2-m)<0.解得m<0或m>2.‎ ‎10.[2019·广东揭阳普宁市华侨中学模拟]过双曲线x2-=1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P,Q两点,若|PQ|=4,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是________.‎ 答案:12‎ 解析:由题意,|PF2|-|PF1|=2,|QF2|-|QF1|=2.‎ ‎∵ |PF1|+|QF1|=|PQ|=4,∴|PF2|+|QF2|-4=4,∴|PF2|+|QF2|=8.∴△PF2Q的周长是|PF2|+|QF2|+|PQ|=8+4=12.‎ ‎11.已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________.‎ 答案:-y2=1‎ 解析:解法一 ∵双曲线的渐近线方程为y=±x,∴可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,),∴λ=16-4×()2=4,∴双曲线的标准方程为-y2=1.‎ 解法二 ∵渐近线y=x过点(4,2),而<2,∴点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).∴双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为-y2=1.‎ ‎12.[2019·郑州一检]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M,直线FM交另一条渐近线于N,若2=,则双曲线的渐近线方程为________.‎ 答案:y=±x 解析:由题意得双曲线的渐近线方程为y=±x,F(c,0),则|MF|=b,由2=,可得=,所以|FN|=2b.在Rt△OMF中,由勾股定理,得|OM|==a,因为∠MOF=∠FON,所以由角平分线定理可得==,|ON|=2a,在Rt△OMN中,由|OM|2+|MN|2=|ON|2,可得a2+(3b)2=(2a)2,9b2=3a2,即=,所以=,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.‎ 课时测评 一、选择题 ‎1.[2019·合肥检测]下列双曲线中,渐近线方程不是y=±x的是(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 答案:D 解析:对于A,渐近线方程为y=± x=±x;对于B,渐近线方程为y=±x=±x;对于C,渐近线方程为y=±x ‎;对于D,渐近线方程为y=±x.故选D.‎ ‎2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 答案:A 解析:由题意知圆心坐标为(5,0),即c=5,又e==,所以a2=5,b2=20,所以双曲线的标准方程为-=1.故选A.‎ ‎3.[2019·山东潍坊模拟]曲线y=x2在点P(1,1)处的切线与双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行,则双曲线的离心率是(  )‎ A.5 B. C. D. 答案:B 解析:由y=x2求导,得y′=2x,∴k=y′|x=1=2.∵函数y=x2在点P(1,1)处的切线与双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行,∴=2,∴e===,故选B.‎ ‎4.若双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,则它的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D. 答案:A 解析:因为双曲线的两条渐近线互相垂直,所以-2=-1,可得a=b,,双曲线为等轴双曲线,故e===.故选A.‎ ‎5.[2018·全国卷Ⅱ]双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案:A 解析:双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0.‎ 又∵离心率==,‎ ‎∴a2+b2=3a2.∴b=a(a>0,b>0).‎ ‎∴渐近线方程为ax±ay=0,即y=±x.‎ 故选A.‎ ‎6.[2019·河南郑州一中月考]已知点A是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F是右焦点.若△AOF(O是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线的离心率e为(  )‎ A. B. C.1+ D.1+ 答案:D 解析:依题意及三角函数定义得点A,‎ 即A.‎ 代入双曲线方程-=1(a>0,b>0),‎ 得b2c2-3a2c2=4a2b2.‎ 又由c2=a2+b2,得e2=4±2又e>1,解得e=+1.故选D.‎ ‎7.[2019·黑龙江海林月考]已知双曲线-=1(a>0,b>0).若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A,B两点,且=3,则双曲线离心率的最小值为(  )‎ A. B. C.2 D.2 答案:C 解析:因为过右焦点F的直线与双曲线相交于A,B两点,且=3,所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支,且点A在左支上,点B在右支上.设A(x1,y1),B(x2,y2),右焦点F(c,0).因为=3,所以c-x1=3(c-x2),所以3x2-x1=2c.因为x1≤-a,x2≥a,所以-x1≥a,3x2≥3a,所以3x2-x1≥4a,即2c≥4a,所以≥2,即e≥2,所以双曲线离心率的最小值为2.故选C.‎ ‎8.‎ 如图,F1,F2是双曲线-=1(a>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线交于点A,B,若△ABF2为等边三角形,则△BF1F2的面积为(  )‎ A.8 B.8 C.8 D.16‎ 答案:C 解析:由|AF1|-|AF2|=|BF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,|BF2|=4a,在△AF1F2中,|AF1|=6a,|AF2|=4a,|F1F2|=2c,∠F1AF2=60°,由余弦定理得4c2=36a2+16a2-2×6a×4a×,化简得c=a,由a2+b2=c2得,a2+24=7a2,解得a=2,则△BF1F2‎ 的面积为|BF1|·|BF2|sin∠F1BF2=×2a×4a×=8.故选C.‎ 二、非选择题 ‎9.已知圆C:(x-3)2+y2=4,定点A(-3,0),则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________.‎ 答案:x2-=1(x≤-1)‎ 解析:设动圆M的半径为R,则|MC|=2+R,|MA|=R,∴|MC|-|MA|=2,由双曲线的定义知,M点的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支,且a=1,c=3,∴b2=8,则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).‎ ‎10.[2019·海淀模拟]双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=________.‎ 答案:2‎ 解析:双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,由已知可得两条渐近线互相垂直,由双曲线的对称性可得=1.又正方形OABC的边长为2,所以c=2,所以a2+b2=c2=(2)2,解得a=2.‎ ‎11.过双曲线-=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求△AOB的面积.‎ 解析:(1)由双曲线的方程得a=,b=,‎ ‎∴c==3,F1(-3,0),F2(3,0).‎ 直线AB的方程为y=(x-3).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得 ‎5x2+6x-27=0.∴x1+x2=-,x1·x2=-.‎ ‎∴==‎ = ‎(2)直线AB的方程变形为x-3y-3=0.‎ ‎∴原点O到直线AB的距离为 d==.‎ ‎∴S△AOB=|AB|·d=××=.‎
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