陕西省汉中市重点中学2020届高三4月开学第一次联考数学(理)试题

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陕西省汉中市重点中学2020届高三4月开学第一次联考数学(理)试题

高三数学试卷(理科)‎ 考生注意:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上.‎ ‎3.本试卷主要考试内容;高考全部内容.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,若,则( )‎ A.4 B. C.8 D.‎ ‎2.已知a,,,则( )‎ A. B. C.3 D.4‎ ‎3.设双曲线的焦距为12.则( )‎ A.1 B.‎3 C.2 D.4‎ ‎4.设非零向量,满足,,,则( )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎5.将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往5所医院(含A医院),每所医院派1名护士,则甲和乙都不派往A医院的总派法数为( )‎ A.48 B.‎60 C.72 D.96‎ ‎6.如图所示的曲线图是‎2020年1月25日至‎2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断错误的是( )‎ A.‎1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 B.‎1月25日至‎2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C.‎2月2日后到‎2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例 D.‎2月8日到‎2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于‎2月6日到‎2月8日的增长率 ‎7.若,则的最小值为( )‎ A.2 B. C.4 D.‎ ‎8.若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数的图象关于点对称,当时,,且在上单调递增,则m的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数,则( )‎ A.的最小正周期为 B.曲线关于对称 C.的最大值为2 D.曲线关于对称 ‎11.如图,在正四棱柱中,,E,F分别为AB,BC的中点,异面直线与所成角的余弦值为m,则( )‎ A.直线与直线异面,且 B.直线与直线共面,且 C.直线与直线异面,且 D.直线与直线共面,且 ‎12.若曲线存在两条垂直于y轴的切线,则m的取值范围为( )‎ A. B. C. D 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.a,b,c分别为内角A,B,C的对边.已知.则________.‎ ‎14.若x,y满足约束条件,则的取值范围为________.‎ ‎15.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上,AB,AC,AD两两垂直,且,,,则四面体ABCD的体积为________,球O的表面积为________.(本题第一空2分.第二空3分)‎ ‎16.设,,若直线上存在一点P满足,且的内心到x轴的距离为,则________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.(12分)‎ 设等差数列的公差为2,等比数列的公比为2,且,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎18.(12分)‎ 如图,四棱锥的底面是正方形,E为AB的中点,,,,.‎ ‎(1)证明:平面PCD.‎ ‎(2)求DA与平面PCE所成角的正弦值.‎ ‎19.(12分)‎ 某厂加工的零件按箱出厂,每箱有10个零件,在出厂之前需要对每箱的零件作检验,人工检验方法如下:先从每箱的零件中随机抽取4个零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,则停止检验;若抽取的零件至少有1个至多有3个次品,则对剩下的6个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为0.8,每个零件是否检验合格相互独立,且每个零件的人工检验费为2元.‎ ‎(1)设1箱零件人工检验总费用为X元,求X的分布列;‎ ‎(2)除了人工检验方法外还有机器检验方法,机器检验需要对每箱的每个零件作检验,每个零件的检验费为1.6元.现有1000箱零件需要检验,以检验总费用的数学期望为依据,在人工检验与机器检验中,应该选择哪一个?说明你的理由.‎ ‎20.(12分)‎ 设抛物线的焦点为F,准线为l,AB为抛物线C.过焦点F的弦,已知以AB为直径的圆与l相切于点.‎ ‎(1)求p的值及圆的方程;‎ ‎(2)设M为l上任意一点,过点M作C的切线,切点为N,证明:.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论在上的单调性;‎ ‎(2)若,求不等式的解集.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22,23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)若点P的极坐标为,过P的直线与曲线C交于A,B两点,求的最大值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)记函数的最小值为m,若a,b,c均为正实数,且,求的最小值.‎ 参考答案 ‎1.B 由,可知,所以,解得.‎ ‎2.A 因为,所以,解得,则.‎ ‎3.C 因为可化为,所以,则.‎ ‎4.A ,,,.‎ ‎5.C 因为甲和乙都不去A医院,所以去A医院的只有丙、丁、戊3名护士,故甲和乙都不派往A医院的总派法数为.‎ ‎6.D ‎1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例,其中西安32例,所以西安所占比例为,故A正确;由曲线图可知,‎1月25日至‎2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B正确;‎2月2日后到‎2月10日 陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例,故C正确;‎2月8日到‎2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了,‎2月6日到‎2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了,显然,故D错误.‎ ‎7.C 因为,所以,‎ 则,当且仅当时,等号成立,故的最小值为4.‎ ‎8.D 因为,所以,所以.‎ ‎9.C 依题意可得在上单调递增,则,即.‎ ‎10.D ,则.的最大值为,曲线关于对称,但曲线不关于对称.‎ ‎11.B 连接EF,,,DF,易证,所以直线与直线共面.易证,所以异面直线与所成角为.设,则,则,,,由余弦定理.‎ ‎12.A 由题意可得,即在上有两个不同的解.设,.当时,;当时,.所以,当时,‎ ‎ ,故.‎ ‎13. 因为,所以,又,所以.‎ ‎14. 作出可行域,如图所示,则,故z的取值范围为.‎ ‎15.1; 因为AB,AC,AD两两垂直,且,,,所以四面体ABCD的体积,球O的表面积为.‎ ‎16. 由题可得点P为直线与椭圆的交点,‎ 联立与,消去y得,则.‎ 因为的内心到x轴的距离为,所以的内切圆的半径,‎ 所以的面积为,‎ 即,,解得,又,则.‎ ‎17.解:(1)因为,,所以,, 2分 依题意可得,, 3分 ‎, 4分 故. 6分 ‎(2)由(1)可知,, 8分 故 9分 ‎. 12分 ‎18.(1)证明:因为E为AB的中点,,‎ 所以, 1分 所以,从而. 2分 又,, 3分 所以底面ABCD,所以. 4分 因为四边形ABCD是正方形,所以. 5分 又,所以平面PCD. 6分 ‎(2)解:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,‎ 则,,,, 7分 所以,,. 8分 设平面PCE的法向量为,‎ 则,即, 9分 令,得. 10分 ‎, 11分 故DA与平面PCE所成角的正弦值为. 12分 ‎19.解:(1)X的可能取值为8,20, 1分 ‎, 3分 ‎, 5分 则X的分布列为 X ‎8‎ ‎20‎ P ‎0.4112‎ ‎0.5888‎ ‎ 6分 ‎(2)由(1)知,, 8分 所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为元. 9分 因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为元, 10分 且, 11分 所以应该选择人工检验. 12分 ‎20.(1)解:由题意得l的方程为, 1分 所以解得. 3分 又由抛物线和圆的对称性可知,所求圆的圆心为, 4分 所以圆的方程为. 5分 ‎(2)证明:易知直线MN的斜率存在且不为0,‎ 设,MN的方程为,代入C的方程,‎ 得. 6分 令,得, 7分 所以,解得.‎ 将代入C的方程,得,即N点的坐标为, 9分 所以,, 10分 ‎, 11分 故. 12分 ‎21.解:(1). 1分 当时,,则在上单调递增. 2分 当时,令,得. 3分 ‎(ⅰ)当时,,‎ 令,得;令,得.‎ 所以的单调递减区间为,单调递增区间为. 4分 ‎(ⅱ)当时,,‎ 令,得;令,得或.‎ 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,. 5分 ‎(ⅲ)当时,,‎ 令,得﹔令,得.‎ 所以的单调递减区间为,单调递增区间为. 6分 ‎(2)因为,所以,当时,,所以在上单调递增. 8分 因为,‎ 所以原不等式等价于. 9分 因为,, 10分 所以, 11分 解得,故所求不等式的解集为. 12分 ‎22.解:(1)由,得, 2分 即,所以, 4分 即,故曲线C的极坐标方程为. 5分 ‎(2)因为P的极坐标为,所以P的直角坐标为,‎ 故可设AB的参数方程为(为参数). 6分 将代入,得, 7分 则,, 8分 所以, 9分 故的最大值为. 10分 ‎23.解:(1)当时,由,得,则; 1分 当时,由,得,又,则; 2分 当时,由,得,则. 3分 故不等式的解集为. 5分 ‎ (2)因为,所以当时,取得最小值,故. 7分 由柯西不等式, 8分 当且仅当,即,时,等号成立, 9分 所以,故的最小值为1. 10分
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