【数学】2018届一轮复习人教B版第十三章 选考内容
第十三章 选考内容
1.坐标系与参数方程
(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
(2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
(4)了解参数方程，了解参数的意义．
(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
2．不等式选讲
(1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：
①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；
②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．
(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c； |ax＋b|≥c； |x－c|＋|x－b|≥a.
(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．
13．1 坐标系与参数方程
1．极坐标系
(1)在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个________．
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的________ ，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的________，记为M(ρ，θ)．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
(2)一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示________．特别地，极点O的坐标为________(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有________表示．
如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用________极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是________的．
2．极坐标和直角坐标的互化
(1)把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)．从图中可以得出它们之间的关系：
__________________________．
由上式又得到下面的关系式：
__________________________．
这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般只要取θ∈________就可以了．
3．简单曲线的极坐标方程
(1)曲线的极坐标方程的定义
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程____________叫做曲线C的极坐标方程．
(2)常见曲线的极坐标方程
①圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为__________________________；
②圆心为(r，0)，半径为r的圆的极坐标方程为
__________________________；
③圆心为，半径为r的圆的极坐标方程为
(0≤θ<π)；
④过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为
______________________________；
⑤过点(a，0)(a＞0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为
；
⑥过点，与极轴平行的直线的极坐标方程为
______________________________(0<θ<π)．
4．直线的参数方程
(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为．
(2)直线的参数方程中参数t的几何意义是：_________________________________________.
当与e(直线的方向向量)同向时，t取____________．当与e反向时，t取____________，当M与M0重合时，t＝____________.
5．圆的参数方程
圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为．
6．椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是(φ为参数)，规定参数φ的取值范围是____________．
自查自纠：
1．(1)极点 极轴 逆时针 极坐标系 极径 极角
极坐标
(2)同一个点 (0，θ) 无数种
惟一 惟一确定
2．(1) (2)[0，2π)
3．(1)f(ρ，θ)＝0 (2)①ρ＝r
②ρ＝2rcosθ ③ρ＝2rsinθ
④θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
⑤ρcosθ＝a
⑥ρsinθ＝a
4．(1)(t为参数)
(2)t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离
正数 负数 0
5.(θ为参数)
6. [0，2π)
在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线的方程是( )
A．ρ＝0 B．θ＝
C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2
解：极坐标为的点的直角坐标为(0，2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsinθ＝2.故选D.
在同一平面直角坐标系中，直线2x－ y＝4变成x′－y′＝2的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
解：设其伸缩变换为φ：
则λx－μy＝2，2λx－2μy＝4，于是
解得 所以φ： 故选C.
()在极坐标系中，点和圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( )
A. B．2
C. D.
解：极坐标系中的点在直角坐标系下的坐标为(1，)；极坐标系中的圆ρ＝2cosθ在直角坐标系下的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1，0)，点到圆心的距离为＝.故选A.
直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为____________．
解：直线的方程为2x＝1，即x＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝.设所求的弦长为l，则12＝＋，解得l＝.故填.
()已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．
解：由题意得直线l的普通方程为x－y＋ 2＝0，曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝4(x≤ －2)，联立 解得所以直线l与曲线C的交点的极坐标为(2，π)．故填(2，π)．
类型一 平面直角坐标系中的伸缩变换
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)2x＋3y＝0；
(2)x2＋y2＝1.
解：由伸缩变换得到(*)
(1)将(*)代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形方程是x′＋y′＝0.
因此，经过伸缩变换后，
直线2x＋3y＝0变成直线x′＋y′＝0.
(2)将(*)代入x2＋y2＝1，
得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝1.
因此，经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝1变成椭圆＋＝1.
点拨：
应用伸缩变换公式时应注意两点：(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
已知曲线C：x2＋y2＝1，将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C′；以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρ(2cosθ＋ sinθ)＝10.
(1)写出曲线C′和直线l的普通方程；
(2)求曲线C′上的点M到直线l的距离的最大值及此时点M的坐标．
解：(1)C′：＋＝1，l：2x＋y－10＝0.
(2)设曲线C′上的点M(2cosφ，3sinφ)，则点M到直线l的距离
d＝＝.
其中φ0为锐角，且tanφ0＝，
当sin(φ＋φ0)＝－1时，d取最大值3，即距离的最大值为3，此时易得cosφ＝－， sinφ＝－，所以点M的坐标为.
类型二 极坐标与直角坐标的互化
(1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程．
解：由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.
所以直线的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，
从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程．
解：将
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
点拨：
将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ以及ρ＝，tanθ＝(x≠0)，同时要掌握必要的技巧，详见本节“名师点睛”栏．
将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．
①y2＝4x； ②θ＝(ρ∈R)；
③ρ＝.
解：①将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简得ρsin2θ＝4cosθ.
②当x≠0时，由于tanθ＝，故tan＝＝，化简得y＝x(x≠0)；当x＝0时，y＝0.显然(0，0)在y＝x上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x.
③因为ρ＝，所以2ρ－ρcosθ＝1，因此2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0.
类型三 直线、圆的极坐标方程
()在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．
解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得
ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝，
|MN|＝ρ1－ρ2＝，因为C2的半径为1，
所以△C2MN的面积为.
点拨：
(1)极坐标与直角坐标互化公式成立的三个前提条件：①取直角坐标系的原点为极点．②以x轴的非负半轴为极轴．③两种坐标系规定相同的长度单位．(2)本题中，将θ＝代入ρ2－ 2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出△C2MN的面积．
圆心C的极坐标为，且圆C经过极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．
解：(1)圆心C的直角坐标为(，)，则设圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝r2，依题意可知r2＝(0－)2＋(0－)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－2ρ(sinθ＋cosθ)＝0，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)．
(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2(x＋y)＝0中，令y＝0，得x2－2x＝0，解得x＝0或2，于是得到圆C与x轴的交点坐标(0，0)，(2，0)，由于直线过圆心C(，)和点(2，0)，则该直线的直角坐标方程为y－0＝ (x－2)，即x＋y－2＝0.化为极坐标方程得ρcosθ＋ρsinθ－2＝0.
类型四 参数方程和普通方程的互化
把下列参数方程化为普通方程．
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数，θ∈[0，2π))．
解：(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋t中得y＝5＋(2x－2)，即它的普通方程为x－y＋5－＝0.
(2)因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，即y＝1－x2.
又因为|sinθ|≤1，
所以其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1)．
点拨：
将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．
()在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
解：(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
由ρsin＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.
(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即＝2，解得m＝－3±2.
类型五 参数方程的应用
()在直角坐标系xOy中，过点P且倾斜角为α的直线l与曲线(x－1)2＋(y－2)2＝1相交于不同的两点M，N.求＋的取值范围．
解：依题意得直线l的参数方程为(t为参数)，(*)
将(*)代入曲线(x－1)2＋(y－2)2＝1得
t2－(2cosα＋sinα)t＋＝0.
由Δ＝(2cosα＋sinα)2－1>0得|2cosα＋sinα|>1.
又t1＋t2＝2cosα＋sinα，t1t2＝，
所以＋＝＋＝＝4|2cosα＋sinα|＝4|cos(α－α0)|∈(4，4]．
点拨：
已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
解：(1)把代入ρsin2θ＝2acosθ，得y2＝2ax(a>0)．
由(t为参数)消去t得x－y－2＝0.
所以曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0.
(2)将(t为参数)代入y2＝2ax(a>0)，
整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.
设t1，t2是该方程的两根，
则t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，
因为|MN|2＝|PM|·|PN|，
所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，
所以8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，所以a＝1.
()在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
点拨：
圆与椭圆的参数方程的异同点：①圆与椭圆的参数方程，实质都是三角代换，有关圆或椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用圆或椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．②圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的几何意义不同，圆的参数方程中的参数是圆心角，椭圆的参数方程中的参数是离心角，只有椭圆上的点在坐标轴上时，离心角才等于圆心角．
()已知曲线C： ＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为
d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
()在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinα，C3：ρ＝ 2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立解得
或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．
所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
点拨：
本题主要考查极坐标方程与参数方程的相关知识，具体涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容，意在考查方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．
已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．
解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，
所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2 y－2x，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2 y＝0.
(2)方法一：设z＝x＋y，
由圆C的方程x2＋y2＋2x－2 y＝0⇒(x＋1)2＋(y－)2＝4，
所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2，
将代入z＝x＋y得z＝－t.
又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，
即x＋y的取值范围是[－2，2]．
方法二：直线l的参数方程化成普通方程为x＋y＝2.
由
解得P1(－1－，＋1)，P2(－1＋，－1)．
因为P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，
所以点P在线段P1P2上，
所以x＋y的最大值是×(－1＋)＋(－1)＝2，
最小值是×(－1－)＋(＋1)＝－2，
所以x＋y的取值范围是[－2，2]．
类型六 利用参数方程求轨迹
()在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连接OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．
解：设M(ρ′，θ)，θ∈，则OP＝2cosθ，PB＝2sinθ.
所以ρ′＝OP＋PM＝OP＋PB＝2cosθ＋2sinθ，
所以ρ′2＝2ρ′cosθ＋2ρ′sinθ，
化为普通方程：x2＋y2＝2x＋2y，
所以M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2(x>0，y>0)．
可知M的轨迹为一个半圆弧，
所以点M的轨迹长度为π.
点拨：
用参数法求轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，然后再消去参数，化为普通方程．很多与直线、圆、圆锥曲线有关的求轨迹的题目中，参数法更简捷．
已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋ y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，
则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ.
又ρ2＝2，ρ1＝，
所以＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．
点Q轨迹的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，去掉(0，0)点．
故点Q的轨迹是圆心为(1，1)，半径为的圆，去掉(0，0)点．
1．极坐标系
(1)极坐标系内两点间的距离公式
设极坐标系内两点P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，则＝.
特例：当θ1＝θ2时，＝.
(2)极坐标方程与直角坐标方程的互化
①直角坐标方程化为极坐标方程，只须将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程，则往往要通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
②通常情况下，由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tanθ＝按上述方法确定．当x＝0时，tanθ没有意义，这时又分三种情况：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.
2．求简单曲线的极坐标方程的方法
(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用正弦定理求解与θ的关系；
(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．
3．参数方程与普通方程的互化
(1)参数方程化为普通方程——消去参数．
消去参数的常用方法有：
①先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程，即代入法；
②利用三角函数中的恒等式消去参数，运用最多的是sin2α＋cos2α＝1，即三角公式法；
③整体观察，对两式进行四则运算(运用较多的是两式整体相除)，或先分离参数再运算．
总的来说，消参无定法，只要能消参，方法可灵活多样，多法齐用．
(2)普通方程化为参数方程——选参数．
一般来说，选择参数时应考虑以下两点：
①曲线上每一点的坐标(x，y)都能由参数取某一值唯一地确定出来；
②参数与x，y的相互关系比较明显，容易列出方程．
参数的选取应根据具体条件来考虑．可以是时间，也可以是线段的长度、方位角、旋转角，动直线的斜率、倾斜角、截距，动点的坐标等．
在二者互化的过程中，要注意等价性，注意其中曲线上的点的横、纵坐标的取值范围是否因为转化而发生改变，如果发生改变则它们所表示的曲线就不是同一曲线．
1．若直线l的参数方程是(t∈R)，则
l的方向向量d可能是( )
A．(1，2) B．(2，1)
C．(－2，1) D．(1，－2)
解：易求出直线方程为x＋2y－5＝0，方向向量(a，b)满足＝－，检验知(－2，1)满足．故选C.
2．参数方程(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最短距离为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最短距离为1.故选A.
3．在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解：ρ(cosθ－sinθ)＝2可化为直角坐标方程x－y＝2，即y＝x－2.ρ＝4sinθ可化为 x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得 4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以 x＝，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.故选A.
4．()以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B．2 C. D．2
解：圆ρ＝4cosθ在直角坐标系下的方程为(x－2)2＋y2＝4，直线的普通方程为x－y－4＝0，圆心到直线的距离是＝，弦长为2＝2.故选D.
5．()若直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相切，则实数m为( )
A．－4或6 B．－6或4
C．－1或9 D．－9或1
解：由(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由(θ为参数)，得曲线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得m＝－4或m＝6.故选A.
6．()在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为( t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝( )
A．2 B．2 C．4 D．2
解：因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y＝3x，由消去t得y2－x2＝4，联立得方程组解得或
不妨令A，B，由两点间的距离公式得|AB|＝＝2.故选B.
7．在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为__________．
解：点P化为P(1，)，直线 ρ(cosθ＋sinθ)＝6化为x＋y－6＝0.所以点P到直线的距离d＝＝1.故填1.
8．()若点P(x，y)在曲线 (θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．
解：由 消去参数θ得x2＋(y－2)2＝1，①
设＝k，则y＝kx，代入①式并化简，得(1＋k2)x2－4kx＋3＝0，此方程有实数根，所以Δ＝16k2－12(1＋k2)≥0，解得k≤－或k≥.故填(－∞，－]∪[，＋∞)．
9．()在直角坐标系xOy中，圆
C的参数方程为(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(2)设P(ρ1，θ1)，则由 得ρ1＝1，θ1＝，设Q(ρ2，θ2)，则由 得ρ2＝3，θ2＝，
所以PQ＝2.
10．已知圆M：(θ为参数)的圆心F是抛物线E：的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，求|AF|·|FB|的取值范围．
解：圆M：的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，
所以F(1，0)．
抛物线E：的普通方程是y2＝2px，
所以＝1，p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.
设过焦点F的直线的参数方程为(t为参数)．
代入y2＝4x，得t2sin2φ－4tcosφ－4＝0.
所以|AF|·|FB|＝|t1t2|＝.
因为0
0，t2>0，
所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝3.
5．()在极坐标系中，已知A，点P是曲线ρsin2θ＝4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ＋1＝0的距离为d，求|PA|＋d的最小值．
解：点A的直角坐标为A(0，1)，曲线ρsin2θ＝4cosθ的普通方程为y2＝4x，是抛物线．
直线ρcosθ＋1＝0的直角坐标方程为x＋1＝0，是此抛物线的准线．
由抛物线定义，点P到抛物线准线的距离等于它到焦点F(1，0)的距离，所以d＝|PF|，
所以当A，P，F三点共线时，|PA|＋d最小，最小值为|AF|＝.
6．()在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11，
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝，
由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±，
所以l的斜率为或－.
()在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为θ＝，曲线C的参数方程为
(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
(2)过点M平行于l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝，求点M轨迹的直角坐标方程．
解：(1)直线l：y＝x，曲线C：＋y2＝1.
(2)设点M(x0，y0)及过点M的直线为l1： (t为参数)，
直线l1与曲线C联立可得：
＋(x0＋2y0)t＋x＋2y－2＝0.
因为|MA|·|MB|＝，所以＝，
即x＋2y＝6，而方程＋＝1表示一个椭圆．
取y＝x＋m代入＋y2＝1得：3x2＋4mx＋2m2－2＝0，
由Δ≥0得－≤m≤，
故点M的轨迹是椭圆＋＝1夹在平行直线y＝x±之间的两段弧．
13．2 不等式选讲
1．基本不等式及其推广
(1)a2＋b2≥__________(a，b∈R)，当且仅当__________时，等号成立．
(2)≥__________(a，b>0)，当且仅当__________时，等号成立．
(3)≥__________(a，b，c>0)，当且仅当________时，等号成立．
(4)≥______________(ai>0，i＝1，2，…，n)，当且仅当__________________时，等号成立．
2．绝对值不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，那么≤__________，当且仅当__________时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么≤__________，当且仅当____________时，等号成立．
(3)a⇔______________．
3．证明不等式的方法
(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小；
(2)综合法；
(3)分析法；
(4)反证法；
(5)放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法；
(6)数学归纳法．
以上方法可参见本书第十二章“算法初步、推理与证明”．
自查自纠：
1．(1)2ab a＝b (2) a＝b (3) a＝b＝c
(4) a1＝a2＝…＝an
2．(1)＋ ab≥0
(2)＋ (a－b)(b－c)≥0
(3)－aa
3．(1)作差 作商 (5)放大 缩小
不等式1<|x＋1|<3的解集为( )
A．(0，2)
B．(－2，0)∪(2，4)
C．(－4，0)
D．(－4，－2)∪(0，2)
解：原不等式等价于或解之得00，下面四个不等式中，正确的是( )
①|a＋b|>|a|; ②|a＋b|<|b|；
③|a＋b|<|a－b|; ④|a＋b|>|a|－|b|.
A．①和② B．①和③
C．①和④ D．②和④
解：因为ab>0，所以a与b同号，所以|a＋b|＝|a|＋|b|>|a|>|a|－|b|，故①正确，②③错误，④正确．故选C.
“a＝2”是“关于x的不等式|x＋1|＋|x＋2|1，所以“a＝2”是“关于x的不等式 |x＋1|＋|x＋2|2；
(2)若关于x的不等式a>f(x)有解，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)＞2⇔ 或
或
解得x<－7或4.
所以不等式的解集为.
(2)f(x)＝
可知在上，f(x)单调递减；在 上，f(x)单调递增．
要a＞f(x)有解，只要a＞f(x)min.
由f(x)单调性知f(x)min＝f＝－.
所以实数a的取值范围是.
类型二 含字母参数的绝对值不等式
设函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|(a>0)，g(x)＝x＋2.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；
(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，原不等式等价于|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2.
等价于或或
解得x∈∅或0≤x<或≤x≤，
所以不等式的解集为.
(2)|2x－a|＋|2x＋1|≥x＋2等价于|2x－a|＋|2x＋1|－x－2≥0，令h(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|－x－2，
因为a＞0，所以h(x)＝
易得h(x)min＝h＝－1，令－1≥0，得a≥2.故a的取值范围是[2，＋∞)．
点拨：
绝对值不等式中含参数时，通常要进行分类，
注意分类要做到不重不漏；对于含参数的绝对值不等式在某区间内的恒成立问题，一般采用分离参数法或数形结合法求范围．
已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝2，解不等式f(x)≥2；
(2)若a>1，∀x∈R，f(x)＋|x－1|≥1，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝由f(x)≥2，解得x≤或x≥.
即所求不等式的解集为∪.
(2)令F(x)＝f(x)＋|x－1|，则
F(x)＝
所以当x＝1时，F(x)有最小值F(1)＝a－1，
只需a－1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．
类型三 不等式的证明
(1)()设a>0，b>0，求证：
＋≥a＋b.
证法一：左边－右边＝－(＋)
＝
＝＝≥0，
所以原不等式成立．
证法二：因为不等式左边>0，右边>0，
所以＝
＝≥＝1.
所以原不等式成立．
点拨：
用比较法证明不等式，一般有作差(或商)，变形，判断三个步骤，利用作商法时要注意前提条件．变形的主要手段是通分、因式分解或配方．在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二．
(2)()已知a，b，c均为正数，证明：
a2＋b2＋c2＋≥6，
并确定a，b，c为何值时，等号成立．
证法一：因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－，
所以≥9(abc)－.②
故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋.
又3(abc)＋≥2＝6，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝时，③式等号成立，
即a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①
同理＋＋≥＋＋.②
故a2＋b2＋c2＋
＝a2＋b2＋c2＋＋＋＋＋＋
≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6.③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．
点拨：
综合法是由因导果的证明方法．用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的，证法一两次运用三元均值不等式证明，证法二主要是运用不等式的性质证明．
(3)()设x>0，y>0且x≠y，求证：
(x3＋y3)<(x2＋y2).
证明：因为x＞0，y＞0且x≠y，
所以要证(x3＋y3)＜(x2＋y2)，
只需证(x3＋y3)2＜(x2＋y2)3，
即2x3y3＜3x2y2(x2＋y2)，
只需证2xy＜3(x2＋y2)，
因为x2＋y2＞2xy，所以2xy＜3(x2＋y2)成立，从而得证．
点拨：
对于一些难以看出综合推理出发点的题目，我们可以从要证的结论入手，通常采用分析法求证．分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范．
(4)()已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1，x2＋y2＋z2＝，证明：x，y，z∈.
证明：分两种情况讨论：
若x，y，z三数中有负数，不妨设x<0，则x2>0，
＝x2＋y2＋z2≥x2＋＝x2＋＝x2－x＋>，矛盾．
若x，y，z三数中有最大者大于，不妨设x>，
则＝x2＋y2＋z2≥x2＋＝x2＋＝x2－x＋＝x＋>，矛盾．
故x，y，z∈.
点拨：
对于一些直接证明比较困难的命题常常采用反证法证明．利用反证法的关键是在假设结论不成立后，如何由已知和相关性质定理推出矛盾．
(5)()设s＝＋＋＋…＋，求证：n(n＋1)＋＋＋…＋＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，
s<＋＋＋…＋
＝[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＝n(n＋2)，
所以n(n＋1)g(a)，我们可将左边放缩成f1(a)，但必须同时保证f1(a)－g(a)≥0，否则称为放缩过度．
(6)()已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x>－1时，(1＋x)m≥1＋mx.
证明：当x＝0或m＝1时，原不等式中等号显然成立．
下面用数学归纳法证明：
当x>－1，且x≠0，m≥2时，(1＋x)m>1＋mx.
①当m＝2时，由x≠0得(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，不等式成立．
②假设当m＝k(k≥2)时不等式成立，即有(1＋x)k＞1＋kx.
当m＝k＋1时，
(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k＞(1＋x)(1＋kx)
＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.
所以当m＝k＋1时不等式成立．
由①②知，原不等式成立．
点拨：
数学归纳法主要是用来证明与正整数有关的命题，需要两步．第一步是证明n取第一个值n0(n0＝1或2等)，命题成立(奠基)，第二步是假设n＝k时(k∈N＋，且k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确，关键是从n＝k到n＝k＋1的变形，常采用“放缩法”或“拼凑法”来实现．详见本书12.5节．
(1)()设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(Ⅰ)若ab>cd，则＋>＋；
(Ⅱ)＋>＋是<的充要条件．
证明：(Ⅰ)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2.因此＋>＋.
(Ⅱ)(i)若<，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，由(Ⅰ)得＋>＋.
(ⅱ)若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此<.综上，＋>＋是<的充要条件．
(2)()设a>0，b>0，且a＋b＝＋.求证：
(Ⅰ)a＋b≥2；
(Ⅱ)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(Ⅰ)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时取等号．
(Ⅱ)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得00，所以f(n)在N＋上是增函数．所以f(n)≥f(1)＝＋＋＝，故＋＋…＋≥.
1．解绝对值不等式要掌握去绝对值符号的方法，必要时运用分类讨论的思想，有时也可利用绝对值的几何意义解题．去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法(体现分类讨论思想)、平方法、几何法(体现数形结合思想)、构造法(构造函数，利用函数图象求解．体现函数与方程思想)等．这几种方法应用时各有侧重，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法须视具体情况而定．
2．在对不等式证明题进行分析，寻找解(证)题的途径时，要提倡综合法和分析法同时使用，如同打山洞一样，由两头向中间掘进，这样可以缩短条件与结论的距离，是数学解题分析中最有效的方法之一．
3．作差比较法一般适用于式子为多项式、对数式、三角式结构；作商比较法一般适用于式子为乘积、幂结构．
4．运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立问题中的参数范围问题．
5．用放缩法证不等式，将所证不等式中的某些项适当放大或缩小(主要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加明晰，更加强化，且有利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的．这种方法灵活性较大，技巧性较强．
1．“ab≥0”是“|a－b|＝|a|－|b|”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：当b>a≥0时，|a－b|≠|a|－|b|，故充分性不成立．
当|a－b|＝|a|－|b|时，两边平方得ab＝|ab|，则ab≥0，故必要性成立．
综上可知，“ab≥0”是“|a－b|＝|a|－|b|”的必要不充分条件．故选B.
2．已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝ ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解法一：因为|2x－t|<1－t，所以t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，t－2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
解：由题意可得集合A＝{x|a－1b＋2}，又因为A⊆B，所以有a＋1≤b－2或b＋2≤a－1，即a－b≤－3或a－b≥3.故选D.
5．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )
A．(a＋3)2<2a2＋6a＋11
B．a2＋≥a＋
C．|a－b|＋≥2
D.－<－
解：(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2<0，故A恒成立；
对B项中的不等式，左边－右边＝
＝≥0，所以B项中的不等式恒成立；
对C项中的不等式，当a＞b时，恒成立，当a－1时，
f(x)＝
f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.故填－6或4.
9．()设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|1的解集．
解：(1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示
(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，
故f(x)>1的解集为{x|11的解集为{x|x<或15}．
11．已知函数f(x)＝a|x＋1|－b|2x－4|(a，b∈R)．
(1)当a＝1，b＝时，解不等式f(x)≤0；
(2)当b＝1时，若函数f(x)既存在最小值，又存在最大值，求所有满足条件的实数a的集合．
解：(1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|，
由f(x)≤0得|x＋1|≤|x－2|⇔x2＋2x＋1≤x2－4x＋4⇔x≤，所以所求不等式的解集为
eq lc(
c](avs4alco1(－∞，f(1,2))).
(2)当b＝1时，f(x)＝
因为f(x)既存在最大值，又存在最小值，
所以a－2＝0，所以a＝2，
所以a的取值集合为{2}．
已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且t≥0时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2t)．
解：(1)由|x－a|≤m，得a－m≤x≤a＋m，
所以解得
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，
所以f(x)＋t≥f(x＋2t)，等价于|x－2＋2t|－|x－2|≤t.①
当t＝0时，不等式①恒成立，即x∈R；
当t>0时，不等式等价于
或
或
解得x<2－2t或2－2t≤x≤2－或x∈∅，即x≤2－.
综上，当t＝0时，原不等式的解集为R；
当t>0时，原不等式的解集为.
1．设函数f(x)＝|x－a|＋|x－4|.
(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；
(2)如果对∀x∈R，f(x)≥1，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝|x－a|＋|x－4|＝|x－1|＋|x－4|＝
作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图象可得函数f(x)的最小值等于3.
(2)如果对∀x∈R，f(x)≥1，即|x－a|＋|x－4|≥1对任意实数x都成立，
由绝对值的几何意义可得|x－a|＋|x－4|≥|a－4|，所以|a－4|≥1，
所以a－4≥1或a－4≤－1，解得a≥5或a≤3，
故实数a的取值范围为(－∞，3]∪[5，＋∞)．
2．设函数f(x)＝|2x－3|＋|x－5|.
(1)求不等式f(x)≥4的解集；
(2)若f(x)f(x)min，
由(1)可知：x≥5时，f(x)≥7；；x≤时，f(x)≥，
所以f(x)min＝f＝.
所以a的取值范围为.
3．已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．
(1)求实数m的值；
(2)若α，β>1，f(α)＋f(β)＝2，求证：＋>.
解：(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|，
要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－21，
所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝2，即α＋β＝2.
所以＋＝(α＋β)
＝
≥＝(当且仅当＝，即α＝，β＝时等号成立)．
又因为α，β>1，所以＋>恒成立．
4．已知函数f(x)＝|x－10|＋|x－20|，且满足f(x)<10a＋10(a∈R)的解集不是空集．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)若a，b∈A，a≠b，求证：aabb>abba.
解：(1)要使|x－10|＋|x－20|<10a＋10的解集不是空集，则(|x－10|＋|x－20|)min<10a＋10，
所以10<10a＋10，所以a>0，
所以A＝(0，＋∞)．
(2)证明：不妨设a>b，则＝，
因为a>b>0，所以>1，a－b>0，所以>1，
所以aabb>abba.
5．设函数f(x)＝1－|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≥3x＋1的解集；
(2)若不等式f(x)－mx≥0的解集非空，求m的取值范围．
解：(1)由f(x)≥3x＋1，
得|2x－3|＋3x≤0，
则或
即或
解得x≤－3，所以不等式的解集为{x|x≤－3}．
(2)由f(x)＝1－|2x－3|＝作出y＝f(x)与y＝mx的图象如图所示．
由单调性可知f(x)的最大值点为A.
因为过原点的直线y＝mx过点A时，m＝；与AC平行时，m＝2，
所以当0，且ab＋bc＋ca＝1.
求证：
(1)a＋b＋c≥；
(2)＋＋≥(＋＋)．
证明：(1)要证a＋b＋c≥，
由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．
即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2证得．
所以原不等式成立．
(2)＋＋＝.
在(1)中已证a＋b＋c≥.
因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋，
即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
而a＝≤，
同理，b≤，c≤.
所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
所以原不等式成立．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．曲线 (θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝x上
B．在直线y＝－x上
C．在直线y＝x－1上
D．在直线y＝x＋1上
解：由已知消参得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以其对称中心为(2，－1)．显然该点在直线y＝－x上．故选B.
2．()极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是( )
A．2 B. C．1 D.
解：ρ＝cosθ化为普通方程得x2＋y2＝x，圆心坐标A，ρ＝sinθ化为普通方程得x2＋ y2＝y，圆心坐标B，|AB|＝＝.故选D.
3．()在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解：ρcosθ＝－1可化为直角坐标方程x＝ －1.ρ＝2sinθ可化为x2＋y2＝2y，把x＝－1代入x2＋y2＝2y，得y＝1，所以直线与圆的交点坐标为(－1，1)，化为极坐标为.故选B.
4．已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为( )
A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cos
C．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos
解：曲线N的直角坐标方程为x2＋y2＝ 5x－5y，即＋＝25，其圆心为，半径为5.又因为曲线M与曲线N关于极轴对称，所以曲线M仍表示圆且圆心为，半径为5，所以曲线M的方程为＋＝25，即x2＋y2＝5x＋5y，化为极坐标方程为ρ＝5cosθ＋5sinθ，即ρ＝10cos.故选B.
5．直线(t为参数)被曲线(θ为参数，θ∈R)所截得的弦长是( )
A. B. C. D．6
解：因为所以x＋2y＋3＝0.
因为
所以(x－1)2＋(y－1)2＝9，
所以圆心(1，1)到直线x＋2y＋3＝0的距离
d＝＝，
弦长为2＝.故选B.
6．已知不等式|x－2|>1的解集与不等式x2＋ax＋b>0的解集相同，则a，b的值为( )
A．a＝1，b＝3
B．a＝3，b＝1
C．a＝－4，b＝3
D．a＝3，b＝－4
解：解不等式|x－2|>1，得x<1或x>3，所以x2＋ax＋b＝0的两个根为1和3，由根与系数的关系知a＝－4，b＝3.故选C.
7．()已知a，b∈R，则使不等式|a＋b|<|a|＋|b|一定成立的条件是( )
A．a＋b>0 B．a＋b<0
C．ab>0 D．ab<0
解：ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；ab<0时，|a＋b|<|a|＋|b|.故选D.
8．设0>>a，
因为f(x)＝，定义域为{x|x≥－1且x≠0}，所以f′(x)＝<0，
所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
所以f(b)0，m>1，不等式的解为0)，若不等式f(x)≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)，则a的值为__________．
解：由已知有解得a＝3.故填3.
14．设f(x)＝|2x－1|，若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，则x的取值集合是__________．
解：＝－≤|＋|＝3，所以右式最大值为3，从而|2x－1|≥3，解得x≤－1或x≥2.故x的取值集合为{x|x≤－1或x≥2}．故填{x|x≤－1或x≥2}．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(10分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：因为圆C的圆心为直线ρsin＝－
eq f(
(3),2)与极轴的交点，所以在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1.
所以圆C的圆心坐标为(1，0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径为PC＝＝1.
所以圆C经过极点．
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
16．(10分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)写出直线l的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
解：(1)因为ρsin＝，
所以ρ＝，
所以y－x＝，即直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)解法一：由已知可得，曲线C上的点的坐标为(2＋2cosα，2sinα)，所以曲线C上的点到直线l的距离d＝＝≤.故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为.
解法二：曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是以(2，0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线l的距离为＝，所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为＋2＝.
17．(10分)()在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的参数方程为(t为参数，α为直线的倾斜角)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．
解：(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；
当α≠时，直线l的普通方程为y＝(tanα)·(x＋1)．
由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即为曲线C的直角坐标方程．
(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.
当α＝时，方程化为t2＋3＝0，方程不成立；
当α≠时，由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝－.故直线l的倾斜角α为或.
18．(10分)()在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.
C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．所以a＝1.
19．(10分)()已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a>0)．
(1)当a＝1时，求此不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，得2|x－1|≥1，即|x－1|≥，解得x≥或x≤，所以不等式的解集为.
(2)因为|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|，
所以原不等式解集为R等价于|a－1|≥1，所以a≥2或a≤0.
因为a>0，所以a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．
20．(10分)()设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.
(1)求m；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，＋b2＝m，求ab＋bc的最大值．
解：(1)f(x)＝|x－1|－2|x＋1|＝
画出f(x)的图象如图所示，
所以f(x)max＝f(－1)＝2，
即m＝2.
(2)由(1)知＋b2＝2.
因为a，b，c∈(0，＋∞)，所以ab≤，bc≤，
所以ab＋bc≤＋＝＋b2＝2.
所以ab＋bc的最大值为2.
21．(10分)()已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
解：(1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1，所以－1＜x≤－；
当－＜x＜时，f(x)＜2成立；
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1，所以≤x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0，
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
22．(10分)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2，
解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|
≥|2x－a＋1－2x|＋a
＝|1－a|＋a.
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3. ①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
