高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解+几何证明选讲习题及详解

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高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解+几何证明选讲习题及详解

高中数学高考总复习 函数的奇偶性习题及详解+几何证明选讲习题及详解 高中数学高考总复习函数的奇偶性习题(附参考答案) 一、选择题 1.(文)下列函数,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.y=x+x3(x∈R) B.y=3x(x∈R) C.y=-log2x(x>0,x∈R) D.y=-1 x(x∈R,x≠0) [答案] A [解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称,排除 C,若 x=0 在定义域内,则 应有 f(0)=0,排除 B;又函数在定义域内单调递增,排除 D,故选 A. (理)下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( ) A.f(x)=sinx B.f(x)=-|x+1| C.f(x)=1 2(ax+a-x) D.f(x)=ln2-x 2+x [答案] D [解析] y=sinx 与 y=ln 2-x 2+x 为奇函数,而 y=1 2(ax+a-x)为偶函数,y=-|x+1|是非奇 非偶函数.y=sinx 在[-1,1]上为增函数.故选 D. 2.(2010·安徽理,4)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3) -f(4)=( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 [答案] A [解析] f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1,故选 A. 3.(2010·河北唐山)已知 f(x)与 g(x)分别是定义在 R 上奇函数与偶函数,若 f(x)+g(x)= log2(x2+x+2),则 f(1)等于( ) A.-1 2 B.1 2 C.1 D.3 2 [答案] B [解析] 由条件知,f1+g1=2 f-1+g-1=1 , ∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数. ∴ f1+g1=2 g1-f1=1 ,∴f(1)=1 2. 4.(文)(2010·北京崇文区)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=- 1 fx ,当 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,则 f(6.5)=( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 [答案] D [解析] ∵f(x+2)=- 1 fx ,∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=- 1 fx+2 =f(x),∴f(x)周期为 4, ∴f(6.5)=f(6.5-8)=f(-1.5)=f(1.5)=1.5-2=-0.5. (理)(2010·山东日照)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数,且 f(x+2)=f(x),若 f(x)在[- 1,0]上是减函数,则 f(x)在[2,3]上是( ) A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 [答案] A [解析] 由 f(x+2)=f(x)得出周期 T=2, ∵f(x)在[-1,0]上为减函数, 又 f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,1]上为增函数,从而 f(x)在[2,3]上为增函数. 5.(2010·辽宁锦州)已知函数 f(x)是定义在区间[-a,a](a>0)上的奇函数,且存在最大值 与最小值.若 g(x)=f(x)+2,则 g(x)的最大值与最小值之和为( ) A.0 B.2 C.4 D.不能确定 [答案] C [解析] ∵f(x)是定义在[-a,a]上的奇函数,∴f(x)的最大值与最小值之和为 0,又 g(x) =f(x)+2 是将 f(x)的图象向上平移 2 个单位得到的,故 g(x)的最大值与最小值比 f(x)的最大 值与最小值都大 2,故其和为 4. 6.定义两种运算:a⊗b= a2-b2,a⊕b=|a-b|,则函数 f(x)= 2⊗x x⊕2-2 ( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B [解析] f(x)= 4-x2 |x-2|-2 , ∵x2≤4,∴-2≤x≤2, 又∵x≠0,∴x∈[-2,0)∪(0,2]. 则 f(x)= 4-x2 -x , f(x)+f(-x)=0,故选 B. 7.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=f(log47), b=f(log1 23),c=f(0.20.6),则 a、b、c 的大小关系是( ) A.c1,|log1 23|=log23>log2 7,0<0.20.6<1, ∴|log1 23|>|log47|>|0.20.6|. 又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,且 f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数. ∴b0 得,-22,排除 D, 当 x=π 6 时,y= π 6 sinπ 6 =π 3>1,排除 B,故选 C. 二、填空题 11.(文)已知 f(x)= sinπx x<0 fx-1-1 x>0 ,则 f -11 6 +f 11 6 的值为________. [答案] -2 [解析] f 11 6 =f 5 6 -1=f -1 6 -2 =sin -π 6 -2=-5 2 , f -11 6 =sin -11π 6 =sinπ 6 =1 2 ,∴原式=-2. (理)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x=1 2 对称,则 f(1)+f(2) +f(3)+f(4)+f(5)=________. [答案] 0 [解析] ∵f(x)的图象关于直线 x=1 2 对称, ∴f 1 2 +x =f 1 2 -x ,对任意 x∈R 都成立, ∴f(x)=f(1-x),又 f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-f(1+x) =f(-1-x)=f(2+x), ∴周期 T=2 ∴f(0)=f(2)=f(4)=0 又 f(1)与 f(0)关于 x=1 2 对称 ∴f(1)=0 ∴f(3)=f(5)=0 填 0. 12.(2010·深圳中学)已知函数 y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是[- π,π],且它们在 x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式fx gx<0 的解集是________. [答案] -π 3 ,0 ∪ π 3 ,π [解析] 依据偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称,先补全 f(x)、 g(x)的图象, ∵fx gx<0,∴ fx<0 gx>0 ,或 fx>0 gx<0 ,观察两函数的图象,其中一个在 x 轴上方,一个 在 x 轴下方的,即满足要求,∴-π 30 得,-218 11 ,∴18 110,当 x∈(-1,-1 3)时,g′(x)<0,当 x∈(-1 3 ,+∞) 时,g′(x)>0, ∴g(x)在 x=-1 处取得极大值,在 x=-1 3 处取得极小值. 又∵g(-1)=2,g(-1 3)=50 27 ,且方程 g(x)+b=0 即 g(x)=-b 有三个不同的实数解,∴50 27< -b<2, 解得-20 且 a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的值域; (3)当 x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2 恒成立,求实数 t 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即 f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)= 0. 即 1- 4 2×a0+a =0, 解得 a=2. (2)∵y=2x-1 2x+1 ,∴2x=1+y 1-y , 由 2x>0 知1+y 1-y >0, ∴-10 -fx x<0 . (1)若 f(-1)=0,曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,求 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-1,1]时,g(x)=kx-f(x)是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)为偶函数,证明 F(m)+F(n)>0. [解析] (1)因为 f(x)=ax2+bx+c,所以 f ′(x)=2ax+b. 又曲线 y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ′(-1)=0, 即-2a+b=0,因此 b=2a.① 因为 f(-1)=0,所以 b=a+c.② 又因为曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3), 所以 c=2a+3.③ 解由①,②,③组成的方程组得,a=-3,b=-6,c=-3. 从而 f(x)=-3x2-6x-3. 所以 F(x)= -3x+12 x>0 3x+12 x<0 . (2)由(1)知 f(x)=-3x2-6x-3, 所以 g(x)=kx-f(x)=3x2+(k+6)x+3. 由 g(x)在[-1,1]上是单调函数知: -k+6 6 ≤-1 或-k+6 6 ≥1,得 k≤-12 或 k≥0. (3)因为 f(x)是偶函数,可知 b=0. 因此 f(x)=ax2+c. 又因为 mn<0,m+n>0, 可知 m,n 异号. 若 m>0,则 n<0. 则 F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+c-an2-c =a(m+n)(m-n)>0. 若 m<0,则 n>0. 同理可得 F(m)+F(n)>0. 综上可知 F(m)+F(n)>0. 高中数学高考总复习函数概念习题(附参考答案) 一、选择题 1.(文)(2010·浙江文)已知函数 f(x)=log2(x+1),若 f(a)=1,则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] B [解析] 由题意知,f(a)=log2(a+1)=1,∴a+1=2, ∴a=1. (理)(2010·广东六校)设函数 f(x)= 2x x∈-∞,2] log2x x∈2,+∞ ,则满足 f(x)=4 的 x 的值是 ( ) A.2 B.16 C.2 或 16 D.-2 或 16 [答案] C [解析] 当 f(x)=2x 时.2x=4,解得 x=2. 当 f(x)=log2x 时,log2x=4,解得 x=16. ∴x=2 或 16.故选 C. 2.(文)(2010·湖北文,3)已知函数 f(x)= log3x x>0 2x x≤0 ,则 f(f(1 9))=( ) A.4 B.1 4 C.-4 D.-1 4 [答案] B [解析] ∵f(1 9)=log3 1 9 =-2<0 ∴f(f(1 9))=f(-2)=2-2=1 4. (理)设函数 f(x)= 21-x-1 x<1 lgx x≥1 ,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( ) A.(-∞,0)∪(10,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(-1,10) D.(0,10) [答案] A [解析] 由 x0<1 21-x0-1>1 或 x0≥1 lgx0>1 ⇒x0<0 或 x0>10. 3.(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这 些函数为“同族函数”,那么函数解析式为 f(x)=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有( ) A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 [答案] C [解析] 由 x2=1 得 x=±1,由 x2=4 得 x=±2,故函数的定义域可以是{1,2},{-1,2}, {1,-2},{-1,-2},{1,2,-1},{1,2,-2},{1,-2,-1},{-1,2,-2}和{-1, -2,1,2},故选 C. 4.(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数 f(x)=1-2x 1+x ,函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图 象关于直线 y=x 对称,则 g(1)等于( ) A.-3 2 B.-1 C.-1 2 D.0 [答案] D [解析] 设 g(1)=a,由已知条件知,f(x)与 g(x)互为反函数,∴f(a)=1,即1-2a 1+a =1, ∴a=0. 5.(2010·广东六校)若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(1-x)的图象大致为 ( ) [答案] A [解析] 解法 1:y=f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称.将 y=f(-x)的图象向 右平移一个单位得 y=f(1-x)的图象,故选 A. 解法 2:由 f(0)=0 知,y=f(1-x)的图象应过(1,0)点,排除 B、C;由 x=1 不在 y=f(x) 的定义域内知,y=f(1-x)的定义域应不包括 x=0,排除 D,故选 A. 6.(文)(2010·广东四校)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定 义如下表,填写下列 g(f(x))的表格,其三个数依次为( ) x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 1 3 2 x 1 2 3 g(f(x)) A.3,1,2 B.2,1,3 C.1,2,3 D.3,2,1 [答案] D [解析] 由表格可知,f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1,g(1)=1,g(2)=3,g(3)=2, ∴g(f(1))=g(2)=3,g(f(2))=g(3)=2,g(f(3))=g(1)=1, ∴三个数依次为 3,2,1,故选 D. (理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其 定义如下表: x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则方程 g[f(x)]=x 的解集为( ) A.{1} B.{2} C.{3} D.∅ [答案] C [解析] g[f(1)]=g(2)=2,g[f(2)]=g(3)=1; g[f(3)]=g(1)=3,故选 C. 7.若函数 f(x)=loga(x+1) (a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则 a 等于( ) A.1 3 B. 2 C. 2 2 D.2 [答案] D [解析] ∵0≤x≤1,∴1≤x+1≤2, 又∵0≤loga(x+1)≤1,故 a>1,且 loga2=1,∴a=2. 8.(文)(2010·天津文)设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)= gx+x+4,x<gx gx-x,x≥gx ,则 f(x) 的值域是( ) A. -9 4 ,0 ∪(1,+∞) B.[0,+∞) C. -9 4 ,+∞ D. -9 4 ,0 ∪(2,+∞) [答案] D [解析] 由题意可知 f(x)= x2+x+2 x<-1 或 x>2 x2-x-2 -1≤x≤2 1°当 x<-1 或 x>2 时,f(x)=x2+x+2= x+1 2 2+7 4 由函数的图可得 f(x)∈(2,+∞). 2°当-1≤x≤2 时,f(x)=x2-x-2= x-1 2 2-9 4 , 故当 x=1 2 时,f(x)min=f 1 2 =-9 4 , 当 x=-1 时,f(x)max=f(-1)=0, ∴f(x)∈ -9 4 ,0 . 综上所述,该分段函数的值域为 -9 4 ,0 ∪(2,+∞). (理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= log21-x x≤0 fx-1-fx-2 x>0 ,则 f(2010)的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 [答案] B [解析] f(2010)=f(2009)-f(2008)=(f(2008)-f(2007))-f(2008)=-f(2007),同理 f(2007) =-f(2004),∴f(2010)=f(2004), ∴当 x>0 时,f(x)以 6 为周期进行循环, ∴f(2010)=f(0)=log21=0. 9.(文)对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b= a,若 a≤b; b,若 a>b 函数 f(x)=log1 2 (3x -2)*log2x 的值域为( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,0] D.[0,+∞) [答案] C [解析] ∵a*b= a,若 a≤b, b,若 a>b. 而函数 f(x)=log1 2 (3x-2)与 log2x 的大 致图象如右图所示, ∴f(x)的值域为(-∞,0]. (理)定义 max{a、b、c}表示 a、b、c 三个数中的最大值,f(x)=max{ 1 2 x,x-2,log2x(x>0)}, 则 f(x)的最小值所在范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,3) [答案] C [解析] 在同一坐标系中画出函数 y= 1 2 x,y=x-2 与 y=log2x 的图象,y= 1 2 x 与 y= log2x 图象的交点为 A(x1,y1),y=x-2 与 y=log2x 图象的交点为 B(x2,y2),则由 f(x)的定义 知,当 x≤x1 时,f(x)= 1 2 x,当 x10 ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x) =x 的解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] C [解析] 解法 1:当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c. ∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2, ∴ -42+b·-4+c=c -22+b·-2+c=-2 ,解得 b=4 c=2 , ∴f(x)= x2+4x+2 x≤0 2 x>0 , 当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+4x+2=x, 解得 x=-2,或 x=-1; 当 x>0 时,由 f(x)=x 得,x=2, ∴方程 f(x)=x 有 3 个解. 解法 2:由 f(-4)=f(0)且 f(-2)=-2 可得,f(x)=x2+bx+c 的对称轴是 x=-2,且顶 点为(-2,-2),于是可得到 f(x)的简图如图所示.方程 f(x)=x 的解的个数就是函数图象 y =f(x)与 y=x 的图象的交点的个数,所以有 3 个解. 二、填空题 11.(文)(2010·北京东城区)函数 y= x+1+lg(2-x)的定义域是________. [答案] [-1,2) [解析] 由 x+1≥0 2-x>0 得,-1≤x<2. (理)函数 f(x)= x+ 4-x的最大值与最小值的比值为________. [答案] 2 [解析] ∵ x≥0 4-x≥0 ,∴0≤x≤4,f 2(x)=4+2 x4-x≤4+[x+(4-x)]=8,且 f 2(x)≥4, ∵f(x)≥0,∴2≤f(x)≤2 2,故所求比值为 2. [点评] (1)可用导数求解;(2)∵0≤x≤4,∴0≤x 4 ≤1,故可令x 4 =sin2θ(0≤θ≤π 2)转化为 三角函数求解. 12.函数 y=cosx-1 sinx-2 x∈[0,π]的值域为________. [答案] 0,4 3 [解析] 函数表示点(sinα,cosα)与点(2,1)连线斜率.而点(sinα, cosα)α∈[0,π]表示单位圆右半部分,由几何意义,知 y∈[0,4 3]. 13.(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点, 如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n∈N*)个整点,则称函数 f(x)为 n 阶整点函数,有下列函数 ①f(x)=sin2x ②g(x)=x3 ③h(x)= 1 3 x ④φ(x)=lnx. 其中是一阶整点函数的是________.(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④ [解析] 其中①只过(0,0)点,④只过(1,0)点;②过(0,1),(1,1),(2,8)等,③过(0,1),(- 1,3)等. 14.(文)若 f(a+b)=f(a)·f(b)且 f(1)=1,则f2 f1 +f3 f2 +…+f2012 f2011 =________. [答案] 2011 [解析] 令 b=1,则fa+1 fa =f(1)=1, ∴f2 f1 +f3 f2 +…+f2012 f2011 =2011. (理)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述三个命题中所有的正确命题的序号为________. [答案] ①② [解析] ①f(x)=x|x|+c = x2+c,x≥0 -x2+c,x<0 , 如右图与 x 轴只有一个交点. 所以方程 f(x)=0 只有一个实数根正确. ②c=0 时,f(x)=x|x|+bx 显然是奇函数. ③当 c=0,b<0 时,f(x)=x|x|+bx= x2+bx,x≥0 -x2+bx,x<0 如右图方程 f(x)=0 可以有三个实数根. 综上所述,正确命题的序号为①②. 三、解答题 15.(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中 注水 60 吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为 120 6t吨,(0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的 24 小时内, 有几小时出现供水紧张现象. [解析] (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨, 则 y=400+60t-120 6t(0≤t≤24) 令 6t=x,则 x2=6t 且 0≤x≤12, ∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12); ∴当 x=6,即 t=6 时,ymin=40, 即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨. (2)依题意 400+10x2-120x<80, 得 x2-12x+32<0, 解得 40,当 201 时,有 h(x)≥4(当且仅当 x=2 时,取“=”); 当 x<1 时,有 h(x)≤0(当且仅当 x=0 时,取“=”). 则函数 h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞). (3)可取 f(x)=sin2x+cos2x,α=π 4 ,则 g(x)=f(x+α)=cos2x-sin2x, 于是 h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x. (或取 f(x)=1+ 2sin2x,α=π 2 ,则 g(x)=f(x+α)=1- 2sin2x.于是 h(x)=f(x)f(x+α)= cos4x). [点评] 本题中(1)、(2)问不难求解,关键是读懂 h(x)的定义,第(3)问是一个开放性问题, 乍一看可能觉得无从下手,但细加观察不难发现,cos4x=cos22x-sin22x=(cos2x+ sin2x)(cos2x-sin2x)积式的一个因式取作 f(x),只要能够找到α,使 f(x+α)等于另一个因式也 就找到了 f(x)和 g(x). 17.(文)某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系如图所示: 该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如表所示: 第 t 天 5 15 20 30 Q(件) 35 25 20 10 (1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; (2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(t,Q)的对应点,并确定日销 售量 Q 与时间 t 的一个函数关系式; (3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几 天?(日销售金额=每件的销售价格×日销售量) [解析] (1)P= t+20 0900,知 ymax=1125, ∴这种商品日销售金额的最大值为 1125 元,30 天中的第 25 天的日销售金额最大. (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当 地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持,已知每投入 x 万元,可获得纯利润 P=- 1 160(x -40)2+100 万元(已扣除投资,下同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产 的销售,其规划方案为:在未来 10 年内对该项目每年都投入 60 万元的销售投资,其中在前 5 年中,每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路,公路 5 年建成,通车前该特产 只能在当地销售;公路通车后的 5 年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售 的投资收益为:每投入 x 万元,可获纯利润 Q=-159 160(60-x)2+119 2 ·(60-x)万元,问仅从这 10 年的累积利润看,该规划方案是否可行? [解析] 在实施规划前,由题设 P=- 1 160(x-40)2+100(万元),知每年只需投入 40 万, 即可获得最大利润 100 万元,则 10 年的总利润为 W1=100×10=1000(万元) 实施规划后的前 5 年中,由题设 P=- 1 160(x-40)2+100 知,每年投入 30 万元时,有最 大利润 Pmax=795 8 (万元) 前 5 年的利润和为795 8 ×5=3975 8 (万元) 设在公路通车的后 5 年中,每年用 x 万元投资于本地的销售,而剩下的(60-x)万元用于 外地区的销售投资, 则其总利润为 W2=[- 1 160(x-40)2+100]×5+(-159 160x2+119 2 x)×5=-5(x-30)2+4950. 当 x=30 时,W2=4950(万元)为最大值, 从而 10 年的总利润为3975 8 +4950(万元). ∵3975 8 +4950>1000, ∴该规划方案有极大实施价值. 高中数学高考总复习几何证明选讲习题(附参考答案) 一、选择题 1.已知矩形 ABCD,R、P 分别在边 CD、BC 上,E、F 分别为 AP、PR 的中点,当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时,点 R 在 CD 上固定不变,设 BP=x,EF=y,那么下列结论中正 确的是( ) A.y 是 x 的增函数 B.y 是 x 的减函数 C.y 随 x 的增大先增大再减小 D.无论 x 怎样变化,y 为常数 [答案] D [解析] ∵E、F 分别为 AP、PR 中点,∴EF 是△PAR 的中位线,∴EF=1 2AR,∵R 固 定,∴AR 是常数,即 y 为常数. 2.(2010·湖南考试院)如图,四边形 ABCD 中,DF⊥AB,垂足为 F,DF=3,AF=2FB =2,延长 FB 到 E,使 BE=FB,连结 BD,EC.若 BD∥EC,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 [答案] C [解析] 由条件知 AF=2,BF=BE=1, ∴S△ADE=1 2AE×DF=1 2 ×4×3=6, ∵CE∥DB,∴S△DBC=S△DBE,∴S 四边形 ABCD=S△ADE=6. 3.(2010·广东中山)如图,⊙O 与⊙O′相交于 A 和 B,PQ 切⊙O 于 P,交⊙O′于 Q 和 M,交 AB 的延长线于 N,MN=3,NQ=15,则 PN=( ) A.3 B. 15 C.3 2 D.3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知: PN2=NB·NA=MN·NQ=3×15=45, ∴PN=3 5. 4.如图,Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,CD=6,且 AD BD=3 2,则斜边 AB 上的中线 CE 的长为( ) A.5 6 B.5 6 2 C. 15 D.3 10 2 [答案] B [解析] 设 AD=3x,则 DB=2x,由射影定理得 CD2=AD·BD,∴36=6x2,∴x= 6, ∴AB=5 6, ∴CE=1 2AB=5 6 2 . 5.已知 f(x)=(x-2010)(x+2009)的图象与 x 轴、y 轴有三个不同的交点,有一个圆恰好 经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0, 2010 2009) D.(0, 2009 2010) [答案] A [解析] 由题意知圆与 x 轴交点为 A(2010,0), B(-2009,0),与 y 轴交点为 C(0,-2010×2009),D(0,y2).设圆的方程为:x2+y2+ Dx+Ey+F=0 令 y=0 得 x2+Dx+F=0,此方程两根为 2010 和-2009,∴F=-2010×2009 令 x=0 得 y2+Ey-2010×2009=0 ∴-2010×2009×y2=-2010×2009 ∴y2=1,故选 A. [点评] 圆与 x 轴交点 A(2010,0),B(-2009,0)与 y 轴交点 C(0,-2010×2009),D(0, y2), ∵A、C、B、D 四点共圆,∴AO·OB=OC·OD, ∴OD=1,∴y2=1. 6.设平面π与圆柱的轴的夹角为β (0°<β<90°),现放入 Dandelin 双球使之与圆柱面和 平面π都相切,若已知 Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径,则 截线椭圆的离心率为( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 3 2 [答案] B [解析] ∵Dandelin 双球与平面π的两切点是椭圆的焦点,圆柱的底面直径恰好等于椭 圆的短轴长, ∴2b=2c,∴e=c a = c b2+c2 = c 2c = 2 2 . 二、填空题 7.如图,PT 切⊙O 于点 T,PA 交⊙O 于 A、B 两点,且与直径 CT 交于点 D,CD=2, AD=3,BD=6,则 PB=________. [答案] 15 [解析] 由相交弦定理得 DC·DT=DA·DB,则 DT=9. 由切割线定理得 PT2=PB·PA,即(PB+BD)2-DT2=PB(PB+AB).又 BD=6,AB=AD +BD=9,∴(PB+6)2-92=PB(PB+9),得 PB=15. 8.(09·天津)如图,AA1 与 BB1 相交于点 O,AB∥A1B1 且 AB=1 2A1B1.若△AOB 的外接圆 的直径为 1,则△A1OB1 的外接圆的直径为______________. [答案] 2 [解析] ∵AB∥A1B1 且 AB=1 2A1B1,∴△AOB∽△A1OB1,∴两三角形外接圆的直径之 比等于相似比, ∴△A1OB1 的外接圆直径为 2. 9.如图,EB、EC 是⊙O 的两条切线,B、C 是切点,A、D 是⊙O 上两点,如果∠E =46°,∠DCF=32°,则∠A 的度数是________. [答案] 99° [解析] 连接 OB、OC、AC,根据弦切角定理得, ∠EBC=∠BAC,∠CAD=∠DCF, 可得∠A=∠BAC+∠CAD=1 2(180°-∠E)+∠DCF=67°+32°=99°. [点评] 可由 EB=EC 及∠E 求得∠ECB,由∠ECB 和∠DCF 求得∠BCD,由圆内接四 边形对角互补求得∠A. 10.PC 是⊙O 的切线,C 为切点,PAB 为割线,PC=4,PB=8,∠B=30°,则 BC= ________. [答案] 4 3 [解析] (1)由切割线定理 PC2=PA·PB, ∴PA=2,∠ACP=∠B=30°, 在△PAC 中,由正弦定理 2 sin30° = 4 sin∠PAC , ∴sin∠PAC=1, ∴∠PAC=90°,从而∠P=60°,∠PCB=90°, ∴BC= PB2-PC2= 82-42=4 3. 11.(2010·重庆文)如图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C,各段弧所在的 圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等,设第 i 段弧所对的圆心角为αi(i=1,2,3),则 cosα1 3 cosα2+α3 3 -sinα1 3 sinα2+α3 3 =____________. [答案] -1 2 [解析] 如图,O1、O2、O3 为三个圆的圆心,A1、A2、A3 分别是每两个圆的交点,则 ∠A1PA2+∠A2PA3+∠A3PA1=1 2(α1+α2+α3)=2π,∴α1+α2+α3=4π, ∴cosα1 3 cosα2+α3 3 -sinα1 3 sinα2+α3 3 =cosα1+α2+α3 3 =cos4π 3 =cos π+π 3 =-cosπ 3 =-1 2. 12.(2010·广东中山市四校联考)如图,PA 切圆 O 于点 A, 割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60° 到 OD,则 PD 的长为________. [答案] 7 [解析] 由图可知,PA2=PB·PC=PB·(PB+BC)=3,∴PA= 3,∴∠AOP=60°, 又∠AOD=60°,∴∠POD=120°,∵PO=2,OD=1, ∴cos∠POD=22+12-PD2 2×2×1 =-1 2 ,∴PD= 7. 三、解答题 13.(2010·南京市调研)如图,AB 是⊙O 的直径,点 P 在 AB 的延长线上,PC 与⊙O 相 切于点 C,PC=AC=1,求⊙O 的半径. [解析] 连接 OC. 设∠PAC=θ.因为 PC=AC,所以∠CPA=θ,∠COP=2θ. 又因为 PC 与⊙O 相切于点 C,所以 OC⊥PC. 所以 3θ=90°.所以θ=30°. 设⊙O 的半径为 r,在 Rt△POC 中, r=CP·tan30°=1× 3 3 = 3 3 . 14.(2010·江苏盐城调研)如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过 C 作圆的切线 l,过 A 作直线 l 的垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于点 E,求线段 AE 的长. [解析] 连结 OC、BE、AC,则 BE⊥AE. ∵BC=4,∴OB=OC=BC=4,即△OBC 为正三角形, ∴∠CBO=∠COB=60°, 又直线 l 切⊙O 于 C, ∴∠DCA=∠CBO=60°, ∵AD⊥l,∴∠DAC=90°-60°=30°, 而∠OAC=∠ACO=1 2 ∠COB=30°,∴∠EAB=60°, 在 Rt△BAE 中,∠EBA=30°,∴AE=1 2AB=4. 15.(2010·辽宁实验中学)如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P, E 为⊙O 上一点,AE=AC,DE 交 AB 于点 F,且 AB=2BP=4, (1)求 PF 的长度. (2)若圆 F 与圆 O 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T,求线段 PT 的长度. [解析] (1)连结 OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系, 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得∠CDE= ∠AOC, 又∠CDE=∠P+∠PFD,∠AOC=∠P+∠OCP, 从而∠PFD=∠OCP,故△PFD∽△PCO, ∴PF PC =PD PO , 由割线定理知 PC·PD=PA·PB=12, 故 PF=PC·PD PO =12 4 =3. (2)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r, 因为 OF=2-r=1,即 r=1, 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点的圆 F 的切线为 PT, 则 PT2=PB·PO=2×4=8,即 PT=2 2.
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