【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第十三章65直接证明与间接证明作业
【课时训练】第65节 直接证明与间接证明
一、选择题
1．(2018滨州模拟)若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D．<
【答案】B
【解析】在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
2．(2018山东济南模拟)用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
【答案】B
【解析】应假设“三个内角都大于 60°”，故选B.
3．(2018咸阳模拟)已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是( )
A．a>b B．a
＋＞0(m＞1)，
∴<，即a2 ＋
【解析】要比较＋与2 ＋的大小，只需比较(＋)2与(2 ＋)2的大小，即比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小，只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，
∵42>40，∴＋>2 ＋.
8．(2018贵州贵阳二模)用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_______________________________________________________________________________________________________________________.
【答案】a，b都不能被5整除
9．(2018九江调研)下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．
【答案】①③④
【解析】要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．
10．(2018山东日照质检)如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是________．
【答案】a≥0，b≥0且a≠b
【解析】∵a＋b－(a＋b)＝(a－b)＋(b－a)＝(－)(a－b)＝(－)2(＋)．
∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.
∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.
三、解答题
11．(2018吉林实验中学月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：
lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.
【证明】∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴··＞abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lg ＞lg (abc)，
∴lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.
12．(2018河南师大附中期末)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
(1)【证明】假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)【解】当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，
否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．
