辽宁师大附中2021届高三数学上学开学试卷（Word版附答案）

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辽宁师大附中2019—2020学年度下学期期末考试 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、不等式的解集为，函数的定义域为，则为（ ） ‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎2、设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（ ）‎ ‎ A、2 B、-2 C、 D、‎ ‎3、2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）。已知太阳的星等是−26.7，‎ 天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）‎ ‎ A、1010.1 B、10.1 C、lg10.1 D、10−10.1‎ ‎5、某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）‎ ‎ A、63.6万元 B、65.5万元 C、67.7万元 D、72.0万元 ‎6、已知函数在R上可导，且，则与的大小关系为（ ） ‎ ‎ A、 B、 ‎ ‎ C、 D、不确定 ‎7、在复平面内，复数z=a+bi(a∈R,b∈R)‎对应向量OZ（O为坐标原点），设OZ‎=r，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为θ，则z=rcosθ+isinθ，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z‎1‎‎=‎r‎1‎cosθ‎1‎+isinθ‎1‎，z‎2‎‎=‎r‎2‎cosθ‎2‎+isinθ‎2‎，则z‎1‎z‎2‎‎=‎r‎1‎r‎2‎cosθ‎1‎‎+‎θ‎2‎+isinθ‎1‎‎+‎θ‎2‎，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：zn‎=rcosθ+isinθn=‎rncosnθ+isinnθ，则‎-1+‎3‎i‎10‎‎=‎（ ）‎ ‎ A、‎1024-1024‎3‎i B、‎-1024+1024‎3‎i ‎ ‎ C、‎512-512‎3‎i D、‎‎-512+512‎3‎i ‎8、已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（ ）‎ ‎ A、‎∃x∈R,‎1‎‎2‎ax‎2‎-bx≥‎1‎‎2‎ax‎0‎‎2‎-bx‎0‎ ‎ ‎ B、‎‎∃x∈R,‎1‎‎2‎ax‎2‎-bx≤‎1‎‎2‎ax‎0‎‎2‎-bx‎0‎ ‎ C、‎∀x∈R,‎1‎‎2‎ax‎2‎-bx≥‎1‎‎2‎ax‎0‎‎2‎-bx‎0‎ ‎ ‎ D、 ‎‎∀x∈R,‎1‎‎2‎ax‎2‎-bx≤‎1‎‎2‎ax‎0‎‎2‎-bx‎0‎ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。‎ ‎9、已知，则下列结论正确的是（ ）‎ 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎10、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示。给出下列四个结论，其中正确结论为（ ）‎ ‎ A、在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；‎ ‎ B、在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；‎ ‎ C、在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；‎ ‎ D、甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．‎ ‎11、函数定义在上的奇函数，当，下列结论正确的为（ ） ‎ ‎ A、当 B、函数有五个零点 ‎ C、若有解，则 ‎ D、恒成立 ‎12、给出定义：若 （其中为整数），叫做实数最近的整数，记作，即。给出下列关于函数的四个命题，其中真命题为（ ）‎ 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 ‎ A、函数的定义域是，值域是 ‎ B、函数的图像关于直线对称 ‎ C、函数是周期函数，最小正周期是1‎ ‎ D、函数在上单调递增 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13、如果随机变量,且,且，‎ 则__________‎ ‎14、从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B︱A)= __________ ‎ ‎15、一元二次不等式的解集为，则的最小值为__________‎ ‎16、已知函数定义在上的函数，若，当时，，则不等式的解集为__________‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17、（10分）已知的展开式中第5项的系数与第3项系数之比为，‎ ‎ （1）求展开式中的常数项；‎ ‎（2）求展开式中系数最大的项。‎ ‎18、（12分）支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对使用这两种支付方式的人数作了对比，从全国随机抽取了100个地区作为研究样本，计算了各个地区样本的使用人数，其频率分布直方图如下，‎ 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 ‎ （1）记表示事件“微信支付人数低于50千人”，估计的概率；‎ ‎ （2）填写下面2╳2列联表，并根据2╳2列联表判断是否有的把握认为支付人数与支付方式有关；‎ 支付人数＜50千人 支付人数≥50千人 总计 微信支付 支付宝支付 总计 ‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ．‎ ‎19、（12分）已知定义域为的函数是奇函数。‎ ‎ （1）求的值； ‎ 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 ‎ （2）若对‎∀‎，不等式恒成立，求的取值范围。‎ ‎20、（12分）已知函数在处取得极值为2‎ ‎ （1）求函数的解析式；‎ ‎ （2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎ （3）若为函数图像上的任意一点，直线与的图象相切于点P，求直线的斜率的取值范围。‎ ‎21、（12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎ （1）求在1次游戏中，‎ ‎ ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；‎ ‎ （2）求在4次游戏中获奖次数的分布列及数学期望。‎ ‎22、(12分)已知函数的图象在点处的切线与直线平行．‎ ‎ （1）若函数在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；‎ ‎（2）设，若存在∈[e，e2]，使成立，求实数a的取值范围．‎ 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 辽宁师大附中2019—2020学年度下学期期末考试 高二数学答案 ‎1.D 2.A 3.C 4.A 5.B 6.B 7.D 8.C 9.ABD 10.ABC 11.AD 12.BC ‎13、0.1587 14、 15、 16、‎ ‎17、（1）解得-----------------------------------------------------------------2’‎ 由得----------------------------------------------------------------------------4’‎ 常数项为第三项，---------------------------------------------------------------------------5’‎ ‎（2）设第项系数最大，即最大 ‎ 即得 ‎ ‎ 又---------------------------------------------------------------------------------8’‎ ‎ 系数最大的项为第8项，------------------------------------------------------10’‎ ‎18、（1）根据题意，由微信支付人数的频率分布直方图可得：‎ ‎-----------------------------------3'‎ ‎（2）根据题意，补全列联表可得：‎ 支付人数＜50千人 支付人数≥50千人 总计 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 微信支付 ‎62‎ ‎38‎ ‎100‎ 支付宝支付 ‎34‎ ‎66‎ ‎100‎ 总计 ‎96‎ ‎104‎ ‎200‎ ‎ ------------7'‎ 则有， ---------------------------------------11'‎ 故有99%的把握认为支付人数与支付方式有关． ------------------------------------------------12'‎ ‎19、解：因为定义域为的函数是奇函数 解得或a=-2,b=-1‎ 因为所以-------------------------------------------------------------------------------4'‎ ‎（2）证明为减函数（方法：导数法或定义法）---------------------------------------------8'‎ ‎ ，等价于 ‎ 即 恒成立 ‎ ‎ 设gt=3t‎2‎-2t,t∈R ，可得g(t)‎min‎=-‎‎1‎‎3‎ ‎ 所以--------------------------------------------------------------------------------------------12'‎ ‎20、（1）， 由已知 解得 ---------------4'‎ 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 ‎ （2） 令解得 ‎ 由已知 即---------------------------------------------------8'‎ ‎（3）=‎ ‎ 令，则，且 ‎ ‎ 的取值范围是-------------------------------------------------------------------12'‎ ‎21、(1)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件 ‎ ①-----------------------------------------------------------------------2'‎ ‎ ②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，‎ ‎ 又且A2，A3互斥，‎ ‎ 所以----------------------------------------------6'‎ ‎（II）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎81‎‎10000‎ ‎189‎‎2500‎ ‎1323‎‎5000‎ ‎1029‎‎2500‎ ‎2401‎‎10000‎ 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 ‎ -----------------9'‎ ‎ X~B(4,‎7‎‎10‎)‎ ，所以X的数学期望E(X)=‎4×‎7‎‎10‎=‎‎14‎‎5‎ -----------------12'‎ ‎22、∵f′(x)＝b－a－aln x，∴f′(1)＝b－a，∴b－a＝1－a，∴b＝1．则f(x)＝x－axln x．‎ ‎（1）∵y＝f(x)在[e，2e]上为减函数，∴f′(x)＝1－a－aln x≤0在[e，2e]上恒成立，‎ 即a≥在[e，2e]上恒成立．‎ ‎∵函数h(x)＝在[e，2e]上递减，∴ ‎ ‎∴ --------------------------------------------------------------------------------------------5'‎ ‎（2）解法一：‎ 存在，使成立，即成立 因为，所以等价于存在，使成立 设，满足即可------------------------------------------------------7'‎ ‎，；‎ ‎，在单调递减 辽宁师大附中 高二数学 第 11 页 共 11 页 ‎ ----------------------------------------------------------------------------------------12'‎ 解法二（视解答情况参照给分）‎ ‎∵g(x)＝f(x)‎lnx＝－ax，‎ ‎∴g′(x)＝－a＝－2＋－a＝－2＋－a，‎ 故当＝，即x＝e2时，g′(x)max＝－a．‎ 若存在x1∈[e，e2]，使g(x1)≤成立，‎ 等价于当x∈[e，e2]时，有g(x)min≤．‎ 当a≥时，g(x)在[e，e2]上为减函数，‎ ‎∴g(x)min＝g(e2)＝－ae2≤，故a≥－．‎ 当00，g(x)为增函数．‎ 所以g(x)min＝g(x0)＝－ax0≤，x0∈(e，e2)．‎ 所以a≥－≥－>－＝，与0

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