2018-2019学年浙江省杭州市八校联盟高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省杭州市八校联盟高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省杭州市八校联盟高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据元素和集合的关系可得解.‎ ‎【详解】‎ 由集合，又,所以集合.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了元素和集合的关系，属于基础题.‎ ‎2．函数 的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数可知，解不等式组即可得定义域.‎ ‎【详解】‎ 由函数，‎ 可得，解得.‎ 所以函数的定义域为：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了具体函数的定义域，属于基础题.‎ ‎3．已知，且，则函数与函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数与函数互为反函数，图像关于对称易得解.‎ ‎【详解】‎ 由函数与函数互为反函数，则图像关于对称，从而排除A,C,D.‎ 易知当时，两函数图像与B相同.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数与对数函数互为反函数的性质，属于基础题.‎ ‎4．已知函数，若，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的解析式结合对数的运算法则可得，从而代入条件可得解.‎ ‎【详解】‎ 函数，可得.‎ 从而有：.‎ 所以由，可得.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了部分奇偶性的应用，利用对数的运算法则可得中心对称性，属于基础题.‎ ‎5．函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 函数的定义域为R，即为在R上恒成立.‎ 当时，显然不在R上恒成立；‎ 当时，有，解得.‎ 综上.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数在R上的恒成立问题，利用抛物线的开口及判别式判断与x轴是否有公共点即可，属于基础题.‎ ‎6．已知函数 ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据自变量函数的范围，结合分段函数的表达式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由函数 ，可得.‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的求值，属于基础题.‎ ‎7．若函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合二次函数的图像可知函数对称轴，通过化简函数，利用反比例函数的性质可得在区间上是减函数，有，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 由函数在区间上是增函数，可得对称轴，得.‎ 又在区间上是减函数，所以，得.‎ 综上：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数和反比例函数的单调性，属于常考题型.‎ ‎8．已知函数（是常数，且）在区间上有最大值3，最小值，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过换元令，然后由单调递减，结合的范围可列方程解得.‎ ‎【详解】‎ 令，最大值为0，最小值为.‎ 则 当时，单调递减.‎ 所以，解得，有，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数型复合函数的最值问题，通常的解题的方法为换元，解题时注意新变元的范围，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎9．比较大小_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】借助于函数为增函数，即可比较大小.‎ ‎【详解】‎ 由函数为增函数，且，‎ 所以.‎ 故答案为：<‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题.‎ ‎10．设，若只有一个子集，则的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由只有一个子集，知，从而可得.‎ ‎【详解】‎ 若只有一个子集，则必然为空集，即.‎ 由，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的子集的个数及集合的交集运算，属于基础题.‎ ‎11．设映射：，在的作用下，A中元素与B中元素对应，则与B中元素对应的A中元素是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设A中元素与B中元素，则有，解方程组即可得解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意由A中元素与B中元素对应，‎ 设A中元素与B中元素，‎ 则有，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查映射的概念和应用，利用条件中的映射关系，建立方程组，解方程即可．‎ ‎12．已知 是偶函数，定义域为 ，则它的单调递减区间是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数为偶函数知定义域关于原点对称，图像关于y轴对称，从而解得，再利用二次函数的性质结合定义域即可得减区间.‎ ‎【详解】‎ 由 是偶函数，易知，即.‎ 定义域为，有，即.‎ 所以，定义域为.‎ 函数为开口向下的抛物线，对称轴为.‎ 所以函数的单调减区间为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了偶函数的性质及二次函数的性质，属于基础题.‎ ‎13．已知函数 ，则在区间上的最小值是______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】【详解】‎ 当时，有.‎ 又时，.‎ 所以当与时有相同的最小值，而时，，最小值为5.‎ 当时，，所以在区间上的最小值是5.‎ 故答案为：5.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性、周期性的应用. 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；‎ ‎（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．‎ ‎（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；‎ ‎（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.‎ ‎14．已知函数是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数，恒成立，则不等式的解集是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】整理题中不等式可得，从而得函数是R上的减函数，由函数是定义在R上的奇函数，有，结合函数单调性，不等式转化为或，从而得解.‎ ‎【详解】‎ 对任意给定的实数，恒成立，‎ 整理得：，即.‎ 从而得函数是R上的减函数.‎ 又函数是定义在R上的奇函数，有.‎ 所以当时，，当时，.‎ 所以不等式，有：或.‎ 即或.‎ 解得：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.‎ 三、解答题 ‎15．函数的图象所经过的定点坐标是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由对数的运算，结合函数结构即可得解.‎ ‎【详解】‎ 易知函数满足函数 所以函数图像恒过定点.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的运算，属于基础题.‎ ‎16．设全集，已知集合，，（1）求；（2）记集合，已知集合，若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）解二次方程可得集合N，再利用补集和交集的定义求解即可；‎ ‎（2）由，可得，从而得，解不等式即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，则，‎ 又因为 ，从而有 ‎ ‎（2）因为，所以，‎ 又因为，所以，解得，即实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的运算及集合关系，属于基础题.‎ ‎17．计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）-5；（2）-1‎ ‎【解析】（1）由根式与指数的运算法则运算即可得解；‎ ‎（2）由对数的运算法则运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数、根式、对数的运算性质，属于基础题.‎ ‎18．已知幂函数的图象过点，（1）求函数的解析式，并求出它的定义域；（2）若偶函数满足，当时，，写出函数的解析式，并求它的值域．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由函数为幂函数，可设，代入题中点即可得解析式，从而可得定义域；‎ ‎（2）由偶函数时，，代入求解析式即可，从而可得值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，由条件得，即，‎ 函数的定义域为.‎ ‎（2）当时， ‎ 当时，，故有 ‎ 函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤：‎ ‎1.“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；‎ ‎2.转化到已知区间上，代入已知的解析式；‎ ‎3.利用的奇偶性，写出的解析式.‎ ‎19．已知函数是奇函数，‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）判断函数的单调性并用定义法加以证明；‎ ‎（3）若函数在上的最小值为，求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）m=-1；（2）见解析；（3）或 ‎【解析】（1）由奇函数满足，即可求解m，再检验是否为奇函数即可；‎ ‎（2）利用定义法证明：设是定义在区间上的任意两个数，且，化简和0比较大小即可；‎ ‎（3）由（2）可知函数为增函数，所以当时有最小值，代入解方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，经检验符合题意.本题也可用恒成立求解.‎ ‎（2）函数是区间上的增函数.‎ 下面用定义法证明：设是定义在区间上的任意两个数，且，‎ 则.‎ 因为，得，.‎ 显然有，从而有.‎ 因为当时，有成立，所以是区间上的增函数.‎ ‎（3）由单调性知，当时有最小值，则，即，‎ 解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇偶性的应用及利用定义证明函数的单调性，属于中档题.‎ ‎20．已知函数在区间上有最大值0，最小值，‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若，如果对任意都有，试求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）由二次函数性质可知在区间上单调递增，从而得，解方程组求解即可；‎ ‎（2）令，则，转化为关于t的方程在区间上有解，记，由的范围，可得，即可得解；‎ ‎（3）分析条件可得恒成立，当时，显然成立，当时，转化为恒成立，即恒成立，从而转化为求不等式中函数的最值，即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，为开口向上的抛物线，对称轴为 所以在区间上单调递增，‎ 所以 ，即，解得 ‎ ‎（2）因为，得关于x的方程在上有解.‎ 令，则，转化为关于t的方程在区间上有解. ‎ 记，易证它在上单调递增，‎ 所以，即，解得.‎ ‎（3）由条件得，因为对任意都有，即恒成立.‎ 当时，显然成立，‎ 当时，转化为恒成立，‎ 即恒成立.‎ 因为，得，所以当时，取得最大值是，得；‎ 当时，取得最小值是，得 综上可知，a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了方程问题和不等式恒成立问题，常用的处理方式为变量分离，通过变量分离，转化为参变量与函数的相等或不等关系，此时只需研究函数即可，属于常考题型.‎