江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试试题数学

江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试试题数学

盐城市2020届高三第一学期期中考试数学 一、填空题 ‎1.已知集合，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得集合，然后求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.已知角的始边为x轴的正半轴，点是其终边上一点，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义求得的值.‎ ‎【详解】依题意.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎3.“”是“”的________条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分、必要条件的判断方法，判断出正确结论.‎ ‎【详解】由于包含，故“”是“”的必要不充分条件.‎ 故答案为：必要不充分 ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎4.若向量，，，则实数m的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于两个向量平行，所以，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题.‎ ‎5.函数的定义域为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数定义域.‎ ‎【详解】依题意，解得，故函数的定义域为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎6.若函数为奇函数，当时，，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 里奇偶性的性质，结合对数运算，求得函数值.‎ ‎【详解】由于函数为奇函数，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数奇偶性求函数值，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎7.设为等差数列的前n项和，若，且公差，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所给已知条件转化为的形式，由此求得的值.‎ ‎【详解】由于数列是等差数列，所以，即，由于，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列前项和的基本量计算，属于基础题.‎ ‎8.若，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式求得的值，利用二倍角公式求得的值.‎ ‎【详解】依题意，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式、二倍角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9.若函数的图象关于直线对称，则的最小值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式化简，根据正弦型函数的对称性，求得的表达式，进而求得的最小值.‎ ‎【详解】依题意，由得，所以，故当时，有最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数对称轴的求法，属于基础题.‎ ‎10.若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的在上是增函数列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于在上是增函数，故或，解得或，所以实数a的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据分段函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，考查二次函数的性质，考查指数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎11.若数列满足，，则数列是等比数列，则数列的前19项和的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是等比数列求得，由此求得数列的前项和.‎ ‎【详解】由于，，则数列是等比数列，而，所以，由此求得，，，所以数列的前项和为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据等比数列求数列的项，考查列举法找数列的规律，属于基础题.‎ ‎12.如图，在中，，，，，，，若，则的值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将用表示，利用列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】依题意，.由于，所以，即，也即，即，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量基本定理的运用，考查向量垂直的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎13.在中，，，D为BC的中点，，则BC的长为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理列方程组，化简后求得，利用余弦定理求得的长.‎ ‎【详解】依题意，设,.则在三角形和三角形中，分别由正弦定理得，两式相除得，由于，所以，所以.在三角形中由余弦定理得，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎14.设函数，若对任意的实数a，总存在，使得 ‎，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，根据绝对值的性质判断此时符合题意.当时，利用绝对值的解法，化简，结合的取值范围，以及不等式的性质，求得的取值范围.‎ ‎【详解】，‎ 当时，恒成立，符合题意.‎ 当时，由，得或，即或.构造函数，，所以在区间上递增，在上递减，最大值为.故①.构造函数，，所以在区间上递减，在上递增，且，所以的最大值为.故②.①+②得，即.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，考查存在性问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、解答题 ‎15.若函数的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据相邻两个零点差的绝对值得到半周期，进而求得的值，根据点求得的值，进而求得函数的解析式.‎ ‎（2）根据图像变换的知识求得的解析式，再结合三角函数求值域的方法，求得函数在上的值域.‎ ‎【详解】（1）∵相邻的两个零点差的绝对值为6，‎ 记的周期为，则，‎ 又，∴.‎ ‎∴；‎ ‎∵的图像经过点，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴函数的解析式为.‎ ‎（2）∵将函数的图像向右平移3个单位后得到函数的图像，‎ 由（1）得，，‎ ‎∴函数的解析式为；‎ 当时，，则.‎ 综上，当时，的值域为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像与性质求三角函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎16.设“，”；“在区间上有零点”‎ ‎（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，且为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据的最大值，求得的取值范围. ‎ ‎（2）由于“”为真命题，“”为假命题，所以一真一假，先求得为真命题时的取值范围，然后根据“真假”和“假真”两种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵为真命题，则，∴；‎ ‎（2）∵“”为真命题，“”为假命题，‎ 则，一真一假.‎ 若为真命题，则在有解，‎ 又，的值域为，∴‎ ‎①真假，，解得，或 ‎②假真，，则无解 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎17.如图所示是某社区公园的平面图，ABCD为矩形，米，米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE，DE，EF，BF，CF，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．‎ ‎【答案】米 ‎【解析】‎ 分析】‎ 设，过作于，用表示出，由此求得条导数总长度的表达式，利用导数求得的单调性，进而求得的最小值.‎ ‎【详解】设，过作于，‎ ‎∵垂直平分，∴（米），‎ ‎∴（米），（米），‎ 又∵的中点是矩形的中心，‎ ‎∴（米），‎ 记这5条路总长度为（米），‎ 则，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 化简得，由，可得，‎ 列表如下：‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 由上表可知，当时，取最小值（米）‎ 答：5条道路的总长度的最小值为（米）.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数在实际生活中的应用，考查利用导数求函数的最值，属于中档题.‎ ‎18.如图，在中，，，点D为内一点，满足，且 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求边BC的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量数量积运算化简，得到，由此得到，根据正弦定理求得.‎ ‎（2）利用余弦定理求得的表达式，根据，解方程求得的长.‎ 详解】（1）设，，，‎ 由，‎ 所以，即，‎ 又为三角形的内角，所以，‎ 在中，，所以，‎ 同理，‎ 所以，∴‎ ‎（2）在中，，‎ 同理，‎ 由（1）可得，解得.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查平面向量数量积运算，考查方程的思想，属于中档题.‎ ‎19.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a，b，c经过第n次拓展后所得数列的项数记为，所有项的和记为．‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）若，求n的最小值；‎ ‎（3）是否存在实数a，b，c，使得数列为等比数列，若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） ；（2）10；（3）存在，且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据原有的项数，确定每次拓展增加的项数，由此求得的值. ‎ ‎（2）根据拓展的方法，确定和的递推关系式，利用配凑法求得的通项公式，解不等式求得的最小值.‎ ‎（3）根据拓展的方法，确定和的递推关系式，通过假设成等比数列，得到且，此时，即数列为等比数列.‎ ‎【详解】（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数；‎ 经第2次拓展后的项数；‎ 经第3次拓展后的项数.‎ ‎（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，‎ 由数列经第次拓展后的项数为，则经第次拓展后增加的项数为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由（1）知，所以，∴，‎ 由，即，解得，‎ 所以的最小值为10．‎ ‎（3）设第次拓展后数列的各项为，‎ 所以，‎ 因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，‎ 所以，‎ 即，所以，‎ 得，，，‎ 因为数列为等比数列，所以，可得，‎ 则，由得，‎ 反之，当且时，，，，所以数列为等比数列，‎ 综上，满足的条件为且.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义数列概念的理解，考查根据递推关系式求通项公式，考查等比数列的定义及证明，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎20.设函数为常数．‎ ‎（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个不同的零点，，‎ ‎①当时，求的最小值；‎ ‎②当时，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求得函数在处切线的斜率，结合切点坐标，利用点斜式写出切线方程.‎ ‎（2）①利用的二阶导数，求得的最小值的表达式，利用，对进行分离常数，由此求得的取值范围，进而求得的最小值. ②当时，假设是函数的零点，证得也是函数的零点，也即，由此求得.‎ ‎【详解】（1）当时，，，，，‎ 故所求切线的方程为，即.‎ ‎（2）①，令，则，‎ 当时恒成立，故在上递减，‎ 令得，故在上递增，‎ 又，，的图象在上连续不间断，‎ 所以存在唯一实数使得，‎ 故时，时，所以在上递减，在上递增，‎ ‎∴，由得，‎ ‎∴，‎ 因为函数有两个不同的零点，，所以，得，‎ 由易得，故整数，‎ 当时，，满足题意，‎ 故整数的最小值为.（也可以用零点存在性定理给出证明)‎ 注：由得，不能得到.‎ ‎②当时，，‎ 不妨设，由及的单调性可知，‎ 由得，‎ ‎∴，‎ 故函数有两个不同的零点，，‎ 又由的单调性可知有且仅有两个不同的零点，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的切线方程，考查利用函数的二阶导数研究函数的零点，考查分离常数法求解参数的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.‎ ‎ ‎