人教版高中数学选修4-5练习：第二讲2-1比较法word版含解析

人教版高中数学选修4-5练习：第二讲2-1比较法word版含解析

第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若 a＜0，b＜0，则 p＝b2 a ＋a2 b 与 q＝a＋b 的大小关系为( ) A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q 解析：因为 p－q＝b2 a ＋a2 b －a－b＝（b－a）2（b＋a） ab ≤0，所以 p ≤q. 答案：B 2．已知 a，b 都是正数，P＝ a＋ b 2 ， Q＝ a＋b，则 P，Q 的大 小关系是( ) A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q 解析：因为 a，b 都是正数， 所以 P＞0，Q＞0. 所以 P2－Q2＝ a＋ b 2 2 －( a＋b)2＝－（ a－ b）2 2 ≤0. 所以 P2－Q2≤0.所以 P≤Q. 答案：D 3．已知 a，b，c 均大于 1，且 logac·logbc＝4，则下列一定正确 的是( ) A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c 解析：因为 logac·logbc＝（lg c）2 lg a·lg b ＝4， 所以 lg2c＝4lg a·lg b≤(lg a＋lg b)2＝(lg ab)2. 又 c＞1，a＞1，b＞1， 所以 lg c≤lg ab，即 c≤ab. 答案：B 4．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1 ≠a3，则 a5 与 b5 的大小关系为( ) A．a5＞b5 B．a5＜b5 C．a5＝b5 D．不确定 解析：由等比数列的性质知 a5＝a23 a1 ，由等差数列的性质知 b5＝2b3 －b1.又 a1≠a3， 故 a5－b5＝a23 a1 －2b3＋b1＝a23－2a3a1＋a21 a1 ＝（a3－a1）2 a1 ＞0. 因此，a5＞b5. 答案：A 5．已知 a＞0 且 a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则 P，Q 的大小关系是( ) A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．大小不确定 解析：P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga a3＋1 a2＋1.当 0＜a＜1 时， 0＜a3＋1＜a2＋1，0＜a3＋1 a2＋1 ＜1， 所以 loga a3＋1 a2＋1 ＞0，即 P－Q＞0，所以 P＞Q.当 a＞1 时，a3＋1＞ a2＋1＞0，a3＋1 a2＋1 ＞1，所以 loga a3＋1 a2＋1 ＞0，即 P－Q＞0，所以 P＞Q.故 应选 A. 答案：A 二、填空题 6．若－1＜a＜b＜0，则1 a ，1 b ， a2，b2 中最小的是________． 解析：依题意，有1 a ＞1 b ，a2＞b2，故只需比较1 b 与 b2 的大小． 因为 b2＞0，1 b ＜0， 所以1 b ＜b2.所以1 a ，1 b ，a2，b2 中最小的是1 b. 答案：1 b 7．设 x＝a2b2＋5， y＝2ab－a2－4a，若 x＞y，则实数 a，b 应满 足的条件是________． 解析：由 x＞y 得 a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， 故 a＝－2，b＝－1 2 不同时成立． 答案：a＝－2，b＝－1 2 不同时成立 8．若 0＜a＜b＜1，P＝log 1 2 a＋b 2 ，Q＝1 2(log 1 2 a＋log 1 2 b)，M＝log 1 2 (a ＋b)，则 P，Q，M 的大小关系是________． 解析：因为 0＜a＜b＜1，所以a＋b 2 ＞ ab， 所以 log 1 2 a＋b 2 ＜log 1 2 ab＝1 2log 1 2 (ab)＝ 1 2(log 1 2 a＋log 1 2 b)，即 P＜Q，又a＋b 2 ＜a＋b， 所以 log 1 2 a＋b 2 ＞log 1 2 (a＋b)，即 P＞M，所以 Q＞P＞M. 答案：Q＞P＞M 三、解答题 9．已知 a∈R，求证：3(1＋a2＋a4)≥(1＋a＋a2)2. 证明：3(1＋a2＋a4)－(1＋a＋a2)2＝3(1＋a2＋a4)－(1＋a2＋a4＋2a ＋2a3＋2a2)＝2－2a－2a3＋2a4＝2(1－a)2(1＋a＋a2)≥0，即 3(1＋a2＋ a4)≥(1＋a＋a2)2. 10．已知 a，b，c∈R＋，求证：aabbcc≥(abc) a＋b＋c 3 . 证明：因为 a，b，c 是正数，不妨设 a≥b≥c＞0， 则 a b a－b 3 ≥1， b c b－c 3 ≥1， c a c－a 3 ≥1. 因为 aabbcc （abc） a＋b＋c 3 ＝a 2a－b－c 3 b 2b－a－c 3 c 2c－a－b 3 ＝ a b a－b 3 b c b－c 3 · c a c－a 3 ≥1， 所以 aabbcc≥(abc) a＋b＋c 3 . B 级 能力提升 1．已知a＞b＞0，c＞d＞0，m＝ ac－ bd，n＝ （a－b）（c－d）， 则 m 与 n 的大小关系是( ) A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n 解析：因为 a＞b＞0，c＞d＞0， 所以 ac＞bd＞0， ac＞ bd， 所以 m＞0，n＞0. 又因为 m2＝ac＋bd－2 abcd，n2＝ac＋bd－(ad＋bc)， 又由 ad＋bc＞2 abcd， 所以－2 abcd＞－ad－bc， 所以 m2＞n2，所以 m＞n. 答案：B 2．已知 a＞0，对于大于 1 的自然数 n，总有 n－1 an＜ n an＋1，则 a 的取值范围是________． 解析：因为 0＜a n n－1＜a n＋1 n ，且 n n－1 ＞n＋1 n ，所以 0＜a＜1. 答案：(0，1) 3．(1)设 x≥1，y≥1，证明 x＋y＋ 1 xy ≤1 x ＋1 y ＋xy； (2)设 1＜a≤b≤c，证明 logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 证明：(1)由于 x≥1，y≥1， 所以 x＋y＋ 1 xy ≤1 x ＋1 y ＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy) 2. 将上式中的右式减左式，得 y＋x＋(xy)2]－xy(x＋y)＋1]＝(xy)2－1] －xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)·(xy－1)＝(xy－1)(xy－x －y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)． 既然 x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0. 从而所要证明的不等式成立． (2)设 logab＝x，logbc＝y， 由换底公式得 logca＝ 1 xy ，logba＝1 x ，logab＝1 y ，logac＝xy. 于是，所要证明的不等式即为 x＋y＋ 1 xy ≤1 x ＋1 y ＋xy，其中 x＝logab ≥1，y＝logbc≥1. 故由(1)成立知所要证明的不等式成立．