高考数学考点18 平面向量的概念及其线性运算

高考数学考点18 平面向量的概念及其线性运算

1 考点 18 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景. （2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. （3）理解向量的几何表示. 2．向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义. 一、平面向量的相关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量； 向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量 或 ； 模 或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于 0 的向量，方向是任意的 记作 零向量方向是任意的 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 常用 表示 非零向量 的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 共线向量 平行向量又叫共线向量 与 共线可记 为 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能 比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 二、向量的线性运算 1．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律 AB a | |AB | |a 0 e a | | a a a b a b 0 a b  a b 0 0 2 2．共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数 λ，使得 . 【注】限定 a≠0 的目的是保证实数 λ 的存在性和唯一性．学+ b a 3 考向一 平面向量的基本概念 解决向量的概念问题应关注以下七点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． (5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量 a 与 的关系： 是 a 方向上的单位向量．+网 (7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小. 典例 1 下列命题正确的是 A．单位向量都相等 B．模为 0 的向量与任意向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 1．给出下列四个命题： ①若 ，则 ； ②若 是不共线的四点，则 是四边形 为平行四边形的充要条件； ③若 ， ，则 ； ④ 的充要条件是 且 . 其中正确命题的序号是 A．①② B．②③ | | a a | | a a a b a b , , ,A B C D AB DC  ABCD a b b c a c a b a b ∥a b 4 C．③④ D．②④ 考向二 向量的线性运算 平面向量线性运算问题的求解策略： (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三 角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变 形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果. 典例 2 若 、 、 、 是平面内任意四点，给出下列式子： ① ，② ，③ ． 其中正确的有 A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】B 【解析】① 的等价式是 = ，左边= + ，右边= + ， 不一定相等； ② 的等价式是 = ，左边=右边= ，故正确； ③ 的等价式是 = + ，左边=右边= ，故正确. 所以正确的有 2 个，故选 B． 【名师点睛】熟练掌握向量的线性运算法则是解题的关键． 2．如图,在直角梯形 中， , 为 边上一点, , 为 的中点，则 A B C D AB CD BC DA      AC BD BC AD      AC BD DC AB      AB CD BC DA      AB DA  BC  CD AB AD BC DC AC BD BC AD      AC  AD BC  BD DC AC BD DC AB      AC AB  BD DC BC 5 A． B． C． D． 典例 3 如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， ，则 ____________. 【答案】2 【解析】由平行四边形法则，得 ，故 λ=2. 3 ． 已 知 中 ， 为 边 上 靠 近 点 的 三 等 分 点 ， 连 接 ， 为 线 段 的 中 点 ， 若 ，则 A． B． C． D． 考向三 共线向量定理的应用 共线向量定理的主要应用： (1)证明向量共线：对于非零向量 a，b，若存在实数 λ，使 a=λb，则 a 与 b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数 λ，使 ，则 A，B，C 三点共线． 【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点. ABCD AC BD O AB AD AO      2AB AD AC AO      ABC△ D BC B AD E AD CE mAB nAC    m n  1 3 1 2 1 4 1 2 AB AC  6 (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 典例 4 已知两个非零向量 a 与 b 不共线. （1）若 =a+b, =2a+8b, =3(a−b),求证:A,B,D 三点共线; （2）试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）k=1 或−1. 【解析】（1）∵ =a+b, =2a+8b, =3(a−b), ∴ + =2a+8b+3(a−b)=5(a+b)=5 , ∴ , 共线, 又∵它们有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. （2）∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数 λ,使得 ka+b=λ(a+kb), ∴(k−λ)a=(λk−1)b. ∵a,b 是两个不共线的非零向量, ∴k−λ=λk−1=0, ∴k2−1=0, ∴k=1 或−1. 【名师点睛】利用向量证明三点共线时,一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线. 对于第（2）问,解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出 ka+b=λ(a+kb),再利用对应系数相等这一 条件,列出方程组,解出参数. 4．已知 为 内一点，且 ， ，若 , , 三点共线，则 的值为 A． B． C． D． O ABC△  1 2AO OB OC    AD t AC  B O D t 1 4 1 3 1 2 2 3 7 1．下列说法正确的是 A．向量 与向量 是共线向量，则点 必在同一条直线上 B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量 C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 2．已知 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则与向量 平行的向量为 A． B． C． D． 3．设 D 为△ABC 所在平面内一点， ，则 A． B． C． 　 D． 4．已知 为两非零向量，若 ，则 与 的夹角的大小是 A． B． C． D． 5．已知非零向量 ，且 ，则一定共线的三点是 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 6．如图， 在 的内部， 为 的中点，且 ，则 的面积与 的面积的比值为 A．3 B．4 C．5 D．6 AB CD , , ,A B C D OA AB AC  AB BC CD    AB AF CD    AB CD DE    4BC CD  1 4 3 3AD AB AC     1 5 4 4AD AB AC     1 4 5 5AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    ,a b   a b a b a b 90 60 45 30 ,a b 2 , 5 6 , 7 2AB BC CD        a b a b a b O ABC△ D AB 2OA OB OC   0   ABC△ AOC△ 8 7．已知 ， 为平面向量，若 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，则 A． B． C． D． 8．在 中，点 满足 ，过点 的直线与 ， 所在直线分别交于点 ， ，若 ， ，则 的最小值为 A．3 B．4 C． D． 9．已知正方形 ABCD 的边长为 1，设 ， ， ，则 _______. 10．设 ， 是不共线的两个非零向量，若 ， ， ，且点 ， ， 在同一直线上，则 __________．学% 1．（2018 年高考新课标Ⅰ卷理科）在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A． B． C． D． 2．（2015 年高考新课标Ⅰ卷理科）设 为 所在平面内一点， ，则 A． B． C． D． 3．（2015 年高考北京卷理科）在 中，点 M，N 满足 =2 , .若 =x +y ，则 x=________; y=________. 4．（2015 年高考新课标Ⅱ卷理科）设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________． a b a b a π 3 a b b π 4 a b 3 3 6 4 5 3 6 3 ABC△ P 2BP PC  P AB AC M N AM mAB  ( 0, 0)AN nAC m n    2m n 8 3 10 3 AB  a BC  b AC  c   a b c a b 12OA k  a b 4 5OB   a b 10OC k   a b A B C k  ABC△ AD BC E AD EB  3 1 4 4AB AC  1 3 4 4AB AC  3 1 4 4AB AC  1 3 4 4AB AC  D ABC△ 3BC CD  1 4 3 3AD AB AC     1 4 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    ABC△ a b  a b 2a b   9 1．【答案】B 2．【答案】D 【解析】由题意得， 那么 【名师点睛】高考对向量加法、减法运算的考查，重在对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾 顺次相接的若干向量的和为 的情况.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形（平 行四边形、矩形、菱形、梯形）、正六边形等. 在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用.当运用三角形加法法则时，要注 意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法. 3．【答案】B 【 解 析 】 如 图 ， 中 ， 为 边 上 靠 近 点 的 三 等 分 点 ， 为 线 段 的 中 点 ， 则 ， ， ， ， ， . 故选 B． 0 ABC△ D BC B E AD CB AB AC    2 2 2 3 3 3CD CB AB AC       1 1 1 1 1 5 2 3 3 2 3 6CE CD CA AB AC AC AB AC               CE mAB nAC    1 5,3 6m n    1 2m n    10 【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用，考查了学生的推理与运算能力.解本题时，根据题 意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算的三角形法则和平行四边形法则，用 、 表示 ， 求出 的值即可. 4．【答案】B 【解析】设线段 的中点为 ，则 ，因为 ，所以 ，则 ，由 三点共线，得 ， 解得 .故选 B． 【名师点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法： ① 三点共线 ； ② 为平面上任一点， 三点共线 ，且 . 1．【答案】D 【解析】对于 A，若向量 与向量 是共线向量，则 或点 在同一条直线上， 故 A 错误； 对于 B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反， 故 B 错误； 对于 C，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故 C 错误； 对于 D，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同， 故 D 正确. 故选 D． 【名师点睛】本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义．解题时，根据题意，结合向 量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案． 2．【答案】B AB AC CE ,m n BC M 2OB OC OM    2AO OB OC    AO OM   1 1 1 1 1 1 2 4 4 4 4AO AM AB AC AB AD AB ADt t                  , ,B O D 1 1 14 4t  1 3t  , ,A B C AB AC   O , ,A B C OA OB OC      1   AB CD AB CD∥ A B C D, , , 11 【解析】因为 ， 故选 B． 【名师点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，在正六边形中，首先利用向量的加法运算法则，结合 向量共线的条件，对选项逐个分析，求得正确结果. 3．【答案】B 【解析】 ,故选 B． 4．【答案】A 【解析】因为 ，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，所以该平行四边形为正方形或 长方形，由此可得 的夹角为 90°，故选 A． 【名师点睛】根据向量的加减法则，结合几何图象特征即可. 5．【答案】A 【解析】由向量的加法法则可得 ， 所以 与 共线，又两线段过同点 ，所以 三点一定共线.故选 A． 【名师点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线来证明三点共 线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.解本题时，由向量加法的“三角形”法则，可得 ，从而可得结果. 【名师点睛】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．解决向量小题的常用方法有：数形结合， 2 2AB BC CD AD AO OA            5 5 1 5 4 4 4 4AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC                     a b a b ,a b 5 6 7 2BD BC CD         a b a b 2 4 2AB   a b AB BD B , ,A B D 2BD AB  12 向量的三角形法则、平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小 和方向的向量为基底.解决本题时，根据平面向量的几何运算可知 O 为 CD 的中点，从而得出答案． 7．【答案】D 【解析】如图所示： 在平行四边形 中， ， ， 在 中，由正弦定理可得， ，故选 D． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的运算法则、几何意义以及正弦定理在解三角形中的应用，属于中 档题.！网 【名师点睛】考查向量减法的几何意义，共线向量基本定理，以及基本不等式的应用，属中档题.解本题 时，用 ， 表示出 ,根据三点共线得出 的关系，最后利用基本不等式得出 的最小 ABCD , ,AB AD AC     a b a b π π,3 4BAC DAC    ABC△ π 2sin 64 2 π 33sin 3 2   a b AM AN AP ,m n 2m n 13 值. 9．【答案】2 【解析】如图， ，所以 ，又 ， ，故答案为 . 【名师点睛】本题考查两个向量的加减法的法则，及其几何意义，属于基础题.向量的运算有两种方法， 一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何 问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．运算法则是： （1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）. 10．【答案】 【解析】由题得 因为点 ， ， 在同一直线上，所以 故答案为 . 【名师点睛】（1）本题主要考查向量的运算和共线向量的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握 水平.（2） 三点共线 . 1．【答案】A 【解析】根据向量的运算法则，可得 ，所以 ，故选 A.  a b c 2  a b c a 1a  2  a b c 2 2 3    4 7 , 4 5 ,AB OB OA k CB OB OC k              a b a b A B C 4 7 2, .4 5 3 k kk       2 3 , ,A B C  AB BC   1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC             1 1 1 3 1 2 4 4 4 4BA BA AC BA AC         3 1 4 4EB AB AC    14 【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的 三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 2．【答案】A 【解析】由题知 ，故选 A. 3．【答案】 【解析】由题中条件得 + + + ( )= =x +y ,所以 x= ,y= . 1 1 ( )3 3AD AC CD AC BC AC AC AB               1 4 3 3AB AC  