2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知是锐角，，，且，则为（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】由向量平行构造等式求得，根据角为锐角求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 又为锐角 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三角函数值求角的问题，关键是能够利用向量共线求得三角函数值.‎ ‎2．化简 的结果为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据诱导公式依次化简各个部分，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式化简的问题，属于基础题.‎ ‎3．若点是钝角的终边上一点，则角可以表示为（ ）‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数定义分别求得正弦、余弦和正切值，根据反三角函数的定义求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，，‎ 又 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反三角函数表示角的问题，关键是要明确反正弦、反余弦和反正切函数所表示的角的范围.‎ ‎4．已知函数，则（ ）‎ A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 ‎【答案】C ‎【解析】根据的范围，求解出所处的范围；对应的单调性可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，‎ 当时，不单调，由此可得在上不单调，可知错误；‎ 当时，‎ 当时，单调递增，由此可得在上单调递增，可知正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数单调性的问题，解决此类问题通常采用整体对应的方式，通过正弦函数的图象得到结果.‎ ‎5．如果函数的图象关于直线对称，那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用辅助角公式将函数整理为，可知当时，函数取得最大值或最小值，从而可构造关于的方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，其中 当时，‎ 或 解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据三角函数对称轴求解参数值的问题，关键是明确在对称轴的位置三角函数取得最值，从而可构造方程.‎ ‎6．已知平面上三点，满足，，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据模长关系可知，由此可得；根据向量数量积运算的定义可将所求等式变成模长和夹角的运算，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得： ，即 ‎，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的运算，关键是能够通过模长关系得到垂直关系和夹角的余弦值，属于基础题.‎ ‎7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】根据辅助角公式可将函数化为，根据图象平移变换可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ 向右平移个单位即可得到的图象 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的平移变换问题，关键是能够利用辅助角公式将函数化成余弦型函数的形式.‎ ‎8．已知，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将的左边分子中的1看成，可将左边利用两角和的正切公式化成， 进而可得，根据角的范围和正切函数的性质可得，化简可得结果。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 ，‎ 因为，所以，‎ 所以 ，所以。‎ 故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和正切公式的逆用、正切函数的性质等知识。三角函数关系式化简时，注意1的运用，如：。 两个角的同名三角函数值相等，可利用两角的范围及三角函数的单调性判断两角的关系。‎ ‎9．如图，在中，，，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量线性运算，可利用和表示出，从而可根据对应关系求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ 又，可知：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型.‎ ‎10．已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得；故选B.‎ 点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：‎ ‎①三点共线；‎ ‎②为平面上任一点，三点共线，且.‎ ‎11．已知函数，其部分图象如图所示，则的值为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由最值首先确定；代入可求得的取值；由周期可确定的范围，进而代入确定的最终取值，得到；由的周期性可将所求式子转化为求解：‎ ‎；代入求值即可.‎ ‎【详解】‎ 由可知：‎ 由得：，即 或 由图象可知： ‎ 由得： ‎ 当时，，‎ 解得，令无解；‎ 当时，，‎ 解得，令，得，则 ‎ ‎ ‎ 又；；‎ ‎；‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知三角函数部分图象求解函数解析式、利用函数周期性求值的问题.关键是能够通过函数的最值、特殊点和周期确定函数解析式，易错点是忽略了的范围，无法舍掉增根，造成求解错误.‎ 二、填空题 ‎12．设为锐角，若，则的值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据角的范围和同角三角函数关系求出，再利用二倍角公式得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数值求解、二倍角公式的应用，属于基础题.‎ ‎13．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是_________．‎ ‎【答案】且 ‎【解析】根据夹角的范围可知且与不共线，由此构造不等式求出范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意得： ‎ 又与不共线 ‎ 且 ‎【点睛】‎ 本题考查利用向量夹角范围求解参数范围问题，易错点是在的情况下忽略夹角为的情况.‎ ‎14．已知，，与的夹角为，，则与的夹角为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据的平方运算求得；再利用的平方运算构造出关于所求夹角余弦值的方程，通过余弦值求出夹角.‎ ‎【详解】‎ 由得： ‎ 即： ‎ 又 ‎ 即： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转化为数量积运算的形式，从而变成与夹角和模长有关的式子.‎ ‎15．已知函数，现有如下几个命题：‎ ‎①函数为偶函数； ‎ ‎②函数最小正周期为；‎ ‎③函数值域为；‎ ‎④若定义区间的长度为,则函数单调递增区间长度的最大值为. 其中正确命题为___________．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】首先通过奇偶性的定义和判断方法得到函数为偶函数，则①正确；根据的范围可得分段函数的解析式，由解析式可画出函数的图象，根据图象判断，可知②④正确，③错误，由此得到结果.‎ ‎【详解】‎ 定义域为，且，可证得为偶函数，可知①正确；‎ 当时，；‎ 当时，‎ 由解析式可得函数图象如下：‎ 由图像可知，最小正周期为：，可知②正确；‎ 函数值域为，可知③错误；‎ 其中一个单调递增区间为，区间长度为：；根据周期可知此区间即为最长区间，可知④正确.‎ 本题正确结果：①②④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图象和性质的综合应用问题，关键是能够得到分段函数的解析式，通过解析式得到图象，进而可判断函数的各个性质.‎ 三、解答题 ‎16．已知向量，．‎ ‎（1）若与平行，求的值；‎ ‎（2）若与垂直，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】通过坐标表示出和，根据向量平行和垂直的性质可构造关于的方程，求解得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：，‎ ‎（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用向量平行和垂直的性质求解参数的问题，主要利用向量的坐标运算来求解，属于基础题.‎ ‎17．已知向量，，设．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和对称中心；‎ ‎（2）已知为锐角，，， ，求的值．‎ ‎【答案】（1）,；（2）‎ ‎【解析】（1）整理出解析式，根据解析式得到最小正周期；再利用正弦型函数的对称中心的求法求得对称中心；（2）根据求得，再根据角的范围和同角三角函数关系求得和；利用两角和差的正弦公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ ‎（1）的最小正周期：‎ 令，则 又 对称中心为：‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ 又 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的最小正周期和对称中心的求解、利用两角和差公式求解三角函数值的问题，易错点是忽略角的范围造成求解同角三角函数值出现错误.‎ ‎18．设是单位圆和轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，，，‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）设函数，求的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）首先求解出的值，利用数量积的运算法则求解得到结果；（2）根据已知条件化简，采用换元的方式将函数变为：；根据的范围求解出二次函数的值域，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：‎ ‎（2）‎ 设，则 又，则 ‎ ‎，‎ 当时，‎ 当时，‎ 的值域为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的求解、三角函数值域的求解，关键是能够通过换元的方式将问题转化为二次函数值域的求解问题，易错点是忽略自变量的取值范围造成求解错误.‎ ‎19．如图，已知函数，点分别是的图象与轴、轴的交点，分别是的图象上横坐标为、的两点，且轴，．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）若关于的方程在区间上恰有唯一实根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）或 ‎【解析】（1）根据对称性可求解出最值点的横坐标，从而可得最小正周期，从而求得；代入最值点求得；（2）将问题转化为与在区间恰有唯一交点；将通过整理换元到，；根据函数图象求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如上图所示，由对称性可知： 点横坐标为，即 则 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎，又 ‎ ‎（2）由（1）得：‎ 则在区间恰有唯一实根 即与在区间恰有唯一交点 又 ‎ 设，，则，图象如下图所示：‎ 若与仅有一个交点，则或 ‎【点睛】‎ 本题考查已知三角函数图象求解解析式、根据方程根的个数求解参数取值范围的问题，关键是能将问题转化为直线与曲线的交点问题，通过数形结合的方式，结合函数的图象求解出参数的范围.‎ ‎20．如图，在四边形中， ， .‎ ‎（1）若为等边三角形，且， 是的中点，求；‎ ‎（2）若， ， ，求.‎ ‎【答案】（1）11（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为为等边三角形得到，因为是 中点，根据的平行四边形法则和三角形法则，所以，进而得到的值．‎ ‎（2）因为，得到和，进而求解的值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为为等边，且，‎ 所以.又，所以，‎ 因为是中点，所以 ‎.‎ 又，所以 ‎.‎ ‎（2）因为， ，所以，‎ 因为，所以，所以.‎ 又 .‎ 所以.‎ 所以 .‎ 所以.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数图象的对称轴方程；‎ ‎（2）若方程在上的解为、，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）将整理为，根据求出的取值即为对称轴方程；（2）根据三角函数的对称性可求解出，从而将化为，从而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 令，可得：‎ 对称轴方程为：‎ ‎（2）由题意得：‎ 当时，，可知 ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的对称轴求解、利用三角函数的对称性求解函数值的问题，关键是利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式将函数整理为的形式，再结合函数的对称性来求解问题.‎