2021高考数学一轮复习专练3命题及其关系充分条件与必要条件含解析理新人教版
专练3 命题及其关系、充分条件与必要条件
命题范围：命题及真假判断、四种命题及其关系、充分条件、必要条件、充要条件．
[基础强化]
一、选择题
1．[2020·广东佛山一中测试]命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的逆命题是( )
A．若a>b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b
D．若a≤b，则a＋c≤b＋c
2．[2020·厦门一中测试]原命题：设a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．4个
3．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0
B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0
C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0
D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
4．若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是( )
A．p是q的必要不充分条件
B．q是p的必要不充分条件
C．p是q的必要不充分条件
D．q是p的必要不充分条件
5．[2019·天津卷]设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设命题p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；q：0
3，q：(x＋1)(2x－1)≥0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A. B．(－∞，－4]∪
C. D．(－∞，－4)∪
9．已知A，B，C为不共线的三点，则“|＋|＝|－|”是“△ABC
为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅲ]关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
11．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.“若x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
12．已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，则m的取值范围为________．
[能力提升]
13．[2019·浙江卷]设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
15．[2020·广东中山测试]下列四个结论中正确的是________(填序号)．
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；
②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0>1”；
③“若x＝，则tanx＝1”的逆命题为真命题；
④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.
16．[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①p1∧p4 ②p1∧p2 ③p2∨p3 ④p3∨p4
专练3 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．C
2．C 原命题中，若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题；其逆命题为：设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b，由不等式的性质可知该命题为真命题，由于互为逆否的命题同真假可知其否命题为真命题，其逆否命题为假命题，故真命题的个数为2.
3．D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0，故选D.
4．C 由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，qp，由互为逆否命题的两命题等价可得q⇒p，pq，∴p是q的必要不充分条件．选C.
5．B 本题主要考查充分性与必要性的判断、简单的不等式求解，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理．
由x2－5x<0可得00的解集为R；
当a≠0时，由不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R知，
得00的解集为R，
即p：0≤a<1，又(0,1)[0,1]．
∴p是q的必要不充分条件．
7．B 由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，由函数y＝2x＋m－1有零点，则m<1，由函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，得0a＋3，q：x≤－1或x≥，
p：a－3≤x≤a＋3.
因为p是q的充分不必要条件，
所以a＋3≤－1或a－3≥，
得a∈(－∞，－4]∪.
9．A |＋|＝|－|两边平方得到2＋2＋2·＝2＋2－2·，得·＝0，即⊥，故△ABC为直角三角形，充分性成立；若△ABC为直角三角形，当∠B或∠C为直角时，|＋|≠|－|，必要性不成立．故选A.
10．②③
解析：要使函数f(x)＝sin x＋有意义，则有sin x≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝sin(－x)＋＝－sin x－＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，
∴①是假命题，②是真命题．
对于③，要证f(x)的图象关于直线x＝对称，只需证f＝f.
∵f＝sin＋＝cos x＋，
f＝sin＋＝cos x＋，
∴f＝f，∴③是真命题．
令sin x＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴g(t)＝t＋，－1≤t≤1且t≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
11．(－∞，－3]
解析：由x2＋x－6<0得－30，得x>a，即：B＝(a，＋∞)，
由题意得(－3,2)(a，＋∞)，∴a≤－3.
12．[9，＋∞)
解析：由≤2，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m，
设p，q表示的范围为集合P，Q，则
P＝{x|－2≤x≤10}，
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
因为p是q的充分而不必要条件，所以PQ.
所以解得m≥9.
13．A 本题主要考查充分条件、必要条件，考查考生分析问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理．
通解：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
优解：在同一坐标系内作出函数b＝4－a，b＝的图象，如图，则不等式a＋b≤4与ab
≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.
14．(－∞，0]
解析：由x2－x－6≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x|x≤－2或x≥3}．由log3(x＋a)≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，故B＝{x|x≥3－a}．由题意可知BA，所以3－a≥3，解得a≤0.
15．②
解析：①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误；
对于②，命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0>1”，故②正确；
对于③，“若x＝，则tanx＝1”的逆命题为“若tanx＝1，则x＝”，其为假命题，故③错误；
对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，
∵log32＝≠－log23；
∴log32与log23不互为相反数，故④错误．
16．①③④
解析：对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；
对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而p2是真命题；
对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而p3是真命题；
对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而p4是假命题．
综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，p2∨p3是真命题，p3∨p4是真命题，所以答案为①③④.
