【数学】2020届一轮复习人教A版第85课综合法与分析法作业（江苏专用）
随堂巩固训练(85)
1. 要证明“＋<＋”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是 ② .(填序号)
①反证法； ②分析法； ③综合法.
解析：因为＋<＋是含有无理式的不等式，如果利用反证法，其形式＋≥＋与原不等式相同，所以反证法不合适；综合法不容易找到证明的突破口，故分析法最合理.
2. 若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P，Q的大小关系是 P
－ .
解析：因为(－2)－(－)＝(＋)－(2＋)，(＋)2－(2＋)2＝2－4＝－>0，所以＋>2＋>0，所以－2>－.
4. 设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为 9 .
解析：x，y为正数，(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝时取等号，故(x＋y)的最小值为9.
5. 已知A＋B＝，则(1＋tanA)(1＋tanB)＝ 2 .
解析：因为A＋B＝，所以tan(A＋B)＝＝1，所以tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，所以(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2.
6. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，则a，b，c中至少有一个是偶数. 用反证法证明时，假设的内容是 假设a，b，c都不是偶数 Ｗ.
7. 设a>b>c，n∈N，且＋≥恒成立， 则n的最大值是 4 .
解析：根据题意，因为a>b>c，所以由＋≥得 n≤(a－c).又由(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)]·＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当＝时，取等号.若n≤(a－c)·恒成立，则n≤4，故n的最大值为4.
8. 已知α，β是两个平面，直线l不在平面α内，l也不在平面β内，设①l⊥α；②l∥β；③α⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为 2 .
解析：正确的为①③⇒②和①②⇒③，共2个.
9. 定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则函数f(x) ② .(填序号)
①在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数；
②在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数；
③在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数；
④在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数.
解析：由f(x)＝f(2－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(x－2)，所以f(x)为周期为函数且周期为2，结合函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，可得函数f(x)草图，易得②正确.
10. 已知在四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，且SB＝SD＝，SA＝1.
(1) 求证：SA⊥平面ABCD；
(2) 在棱SC上是否存在异于点S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
解析：(1) 由已知得SA2＋AD2＝SD2，
所以SA⊥AD.
同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以SA⊥平面ABCD.
(2) 假设在棱SC上存在异于点S，C的点F，使得BF∥平面SAD.
因为BC∥AD，AD⊂平面SAD，BC⊄平面SAD，
所以BC∥平面SAD.
又BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面FBC，
所以平面FBC∥平面SAD，
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，
所以假设不成立，
所以不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.
11. 已知a，b，c是互不相等的非零实数，求证：三个关于x的方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0中至少有一个方程有两个相异的实根.
解析：假设三个关于x的方程中都没有两个相异的实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
Δ1＋Δ2＋Δ3＝2×(a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2)≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
由题意a，b，c互不相等，所以上式不成立，
所以假设不成立，即三个关于x的方程中至少有一个方程有两个相异实根.
12. 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点. 若点B的坐标为(2，0)，且f(x)在区间[－1，0]和[4，5]上的单调性相同，在区间[0，2]和[4，5]上的单调性相反.
(1) 求实数c的值；
(2) 求证：在曲线y＝f(x)上不存在点M，使得曲线在点M处的切线与3bx－y＋a＝0平行.
解析：(1) 因为函数f(x)在[－1，0]与[0，2]上单调性相反，
所以f′(0)＝0.
因为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
所以c＝0.
(2) 假设存在点M(x0，y0)在y＝f(x)的图象上，且在M处的切线与已知直线平行.
由f′(x0)＝3ax＋2bx0，
所以3ax＋2bx0＝3b.
因为3ax＋2bx0－3b＝0有解，
所以Δ＝4b2＋36ab＝4ab≥0.①
令f′(x)＝3ax2＋2bx＝0，解得x1＝0，x2＝－，
由(1)知x1＝0是极值点，
所以x2＝－也是极值点.
因为函数f(x)在[0，2]与[4，5]上单调性相反，
所以2≤－≤4，即－6≤≤－3，
所以＋9>0，4ab<0，
所以Δ＝4ab<0.②
因为①②矛盾，所以假设不成立，
所以不存在点M满足题意，从而原命题成立，
即在曲线y＝f(x)上不存在点M，使得曲线在点M处的切线与3bx－y＋a＝0平行.
