专题12 计数原理-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

专题12 计数原理-备战2021年高考数学（理）之纠错笔记系列（原卷版）

1 易错点 1 分类计数时考虑不全 有红、黄、蓝旗各 3 面，每次升 1 面、2 面、3 面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序 不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？ 【错解】每次升一面旗可组成 3 种不同的信号； 每次升 2 面旗可组成 3×2＝6 种不同的信号； 每次升 3 面旗可组成 3×2×1＝6 种不同的信号， 根据分类加法计数原理知，共有不同的信号 3＋6＋6＝15 种． 【错因分析】本题中没有规定升起旗子的颜色不同，所以每次升起 2 面或 3 面旗时，颜色可以相同． 【试题解析】每次升 1 面旗可组成 3 种不同的信号； 每次升 2 面旗可组成 3×3＝9 种不同的信号； 每次升 3 面旗可组成 3×3×3＝27 种不同的信号． 根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39 种不同的信号． 【参考答案】39 种. 1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点: (1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成 n 类; (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数. 2．使用分类加法计数原理遵循的原则： 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则． 3．应用分类加法计数原理要注意的问题： （1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事． （2）完成这件事的 n 类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需 2 要再用到其他的方法． （3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方 案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏． 1．在 3 名男教师和 3 名女教师中选取 3 人参加义务献血,要求男、女教师都有,则有 种不同的选取方 法(用数字作答). 【答案】18 【解析】由题意可知,有两种情况: (1)1 名男教师与 2 名女教师,共有 种不同的选取方法; (2)2 名男教师与 1 名女教师, 共有 种不同的选取方法. 所以根据分类加法计数原理可知,共有 9+9=18 种不的选取方法. 易错点 2 未选准分步依据 将 4 封信投入到 3 个信箱中，共有多少种不同的投法？ 【错解】第 1 个信箱可能投 1 封信，2 封信，3 封信或 4 封信，共有 4 种投法； 同理，第 2 个信箱也有 4 种投法，第 3 个信箱也有 4 种投法. 根据分步乘法计数原理，共有 34 4 4 4 64    种不同的投法. 【错因分析】要完成的一件事是“将 4 封信投入到 3 个信箱中”，且 1 封信只能投入 1 个信箱，错解中会出现 1 封信同时投入 2 个信箱或 3 个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该是 “信箱”. 【试题解析】第 1 封信可以投入 3 个信箱中的任意一个，有 3 种投法; 同理，第 2，3，4 封信各有 3 种投法. 根据分步乘法计数原理，共有 43 3 3 3 3 81     种投法. 3 【参考答案】81 种. 对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成 的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元 素作为分步的依据.对于本题，若是将 3 封信投入到 4 个信箱中，则共有 34 4 4 4 64    种不同的投法. 1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点: （1）完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可; （2）完成每一步有若干方法; （3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数. 2．应用分步乘法计数原理要注意的问题： （1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这 件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事． （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件 事都不可能完成． （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步 骤之间既不能重复也不能遗漏． 2．5 名男生与 5 名女生排成一排,男生甲与男生乙之间有且只有 2 名女生,且女生不排在两端,这样的排列种 数为 A．5760 B．57600 C．2880 D．28800 【答案】B 【解析】先选 2 名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个复合元素,即 种排法，女 生不排在两端,则加上另外的 3 名男生共 4 个选择中选 2 个排在两端，即 种排法，剩下的元素全排列, 4 即 种排法，故有 =57600． 故选：B． 易错点 3 忽视排列数、组合数公式的隐含条件 解不等式 2 8 8A 6Ax x . 【错解】由排列数公式得 8! 8!6(8 )! (10 )!x x    ，化简得 x2－19x＋84<0，解之得 70，8≥x，导致 错误． 【试题解析】由 2 8 8A 6Ax x ，得 8! 8!6(8 )! (10 )!x x    ， 化简得 x2－19x＋84<0，解之得 70， ∴2

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