2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题1 第2讲 函数与导数
专题复习检测
A卷
1．(2019年天津)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】A
【解析】a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝＝log25＞log24＝1，c＝0.50.2＜1，所以b最大．因为a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝.而log25＞log24＝2＞，所以＜，即a＜c.故选A．
2．(2019年甘肃白银模拟)若函数f(x)＝有最大值，则a的取值范围为( )
A．(－5，＋∞) B．[－5，＋∞)
C．(－∞，－5) D．(－∞，－5]
【答案】B
【解析】易知f(x)在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，要使f(x)有最大值，则f(1)＝4＋a≥(1＋1)＝－1，解得a≥－5.
3．(2018年新课标Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
【答案】B
【解析】y＝ln x的图象与y＝ln(－x)的图象关于y轴即x＝0对称，要使新的图象与y＝ln x关于直线x＝1对称，则y＝ln(－x)的图象需向右平移2个单位，即y＝ln(2－x)．
4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则( )
A．a<－1 B．a>－1
C．a>－ D．a<－
【答案】A
【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解．∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
5．(2019年云南玉溪模拟)函数f(x)＝x2ln x的最小值为( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】C
【解析】由f(x)＝x2ln x，得定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝e－.当0
e－时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝e－时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝f(e－)＝－.故选C．
6．(2019年贵州遵义模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
【答案】6
【解析】由f(x＋4)＝f(x－2)，可得f(x＋6)＝f(x)，则f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6.
7．(2019年广东模拟)已知曲线f(x)＝aex＋b(a，b∈R)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝________.
【答案】3
【解析】由f(x)＝aex＋b，得f′(x)＝aex.因为曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，所以解得所以a－b＝3.
8．定义在R内的可导函数f(x)，已知y＝2f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的减区间是______．
【答案】(2，＋∞)
【解析】令f′(x)<0，则y＝2f′(x)<1，由图知，当x>2时，2f′(x)＜1，故y＝f(x)的减区间是(2，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝xex－ax2－x.
(1)若f(x)在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]上单调递减，求f(x)的极小值；
(2)若x≥0时，恒有f(x)≥0，求实数a的取值范围．
【解析】(1)∵f(x)在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]上单调递减，∴f′(－1)＝0.
∵f′(x)＝(x＋1)ex－2ax－1，∴2a－1＝0，a＝.
∴f′(x)＝(x＋1)ex－x－1＝(x＋1)(ex－1)．
∴f(x)在(－∞，－1)内单调递增，在(－1,0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，f(x)的极小值为f(0)＝0.
(2)f(x)＝x(ex－ax－1)，令g(x)＝ex－ax－1，则g′(x)＝ex－a，
若a≤1，则x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，∴当x≥0时，g(x)≥0.从而f(x)≥0.
若a>1，则x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，
g(0)＝0，当x∈(0，ln a)时，g(x)<0，从而f(x)<0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．
10．(2019年江苏节选)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；
(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3,1,3}中，求f(x)的极小值．
【解析】(1)若a＝b＝c，则f(x)＝(x－a)3.
由f(4)＝8，得(4－a)3＝8，解得a＝2.
(2)若a≠b，b＝c，f(x)＝(x－a)(x－b)2.
令f(x)＝0，得x＝a或x＝b.
f′(x)＝(x－b)2＋2(x－a)(x－b)＝(x－b)(3x－b－2a)．
令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.
f(x)和f′(x)的零点均在集合A＝{－3,1,3}中，
若a＝－3，b＝1，则＝－∉A，舍去．
若a＝1，b＝－3，则＝－∉A，舍去．
若a＝－3，b＝3，则＝－1∉A，舍去．
若a＝3，b＝1，则＝∉A，舍去．
若a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．
若a＝3，b＝－3，则＝1∈A.
∴f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)．
易知x＝1时，f(x)取得极小值－32.
B卷
11．(2019年甘肃兰州模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f′(x)＋>0，f(2)＝，则关于x的不等式f(ln x)>＋2的解集为( )
A．(1，e2) B．(0，e2)
C．(e，e2) D．(e2，＋∞)
【答案】D
【解析】设g(x)＝f(x)－(x>0)，则g′(x)＝f′(x)＋>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(ln x)>＋2，可得f(ln x)－>2，又g(2)＝f(2)－＝2，所以待解不等式等价于解g(ln x)>g(2)．所以ln x>2，解得x>e2.故选D．
12．(2018年江西师大附中月考)已知函数f(x)＝在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．
【答案】[－1,1]
【解析】令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，y＝，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，＋∞)，此时≤1，即02，令f′(x)＝0得，x＝或x＝，易得0<<.
当x∈∪时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．
(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x11.
由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a＝－2＋a
，所以
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