【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）数学归纳法学案

【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）数学归纳法学案

第5讲　数学归纳法 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　数学归纳法 ‎　证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎1．证明当n取第一个值n0时命题成立，这一步是归纳奠基．‎ ‎2．假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推．‎ 完成这两个步骤，就可以断定命题对一切n∈N*，n≥n0，命题成立．‎ 考点2　数学归纳法的框图表示 ‎[必会结论]‎ 用数学归纳法证明的关键在于两个步骤，要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”．‎ ‎(1)验证是基础：第一个步骤是要找一个数n0，这个数n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”．‎ ‎(2)递推是关键：从“k”到“k＋1”的过程中，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题成立，在推导过程中，归纳假设要用一次或几次．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)‎ ‎(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)‎ ‎(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　　)‎ ‎(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．[2018·泰安模拟]用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1，在验证n＝1时，左边的式子为(　　)‎ A．1 B．1＋2‎ C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23‎ 答案　D 解析　当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D.‎ ‎3．[课本改编]在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．0‎ 答案　C 解析　凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3.‎ ‎4．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ A．3n－2 B．n2 C．3n－1 D．4n－3‎ 答案　B 解析　计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2.‎ ‎5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝‎ ‎________时，命题亦真．‎ 答案　2k＋1‎ 解析　n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　数学归纳法证明恒等式 例　1　用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*)．‎ 证明　①当n＝1时，‎ 左边＝＝.‎ 右边＝＝.‎ 左边＝右边，所以等式成立．‎ ‎②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝，‎ 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋ ‎＝＋＝ ‎＝＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由①②可知对于一切n∈N*等式都成立．‎ 触类旁通 利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题 ‎(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略．‎ ‎ (2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切勿忘记归纳结论．‎ ‎【变式训练1】　求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．‎ 证明　①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边．‎ ‎②假设n＝k时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎1－＋－＋…＋－＋ ‎＝＋＋…＋＋ ‎＝＋＋…＋＋.‎ 即当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 综合①②可知对一切n∈N*，等式成立．‎ 考向　数学归纳法证明不等式 例2　求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．‎ 证明　①当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即 ＋＋…＋>.‎ 当n＝k＋1时，‎ ＋＋…＋＋＋＋ ‎＝＋＋…＋＋ ‎>＋ ‎>＋＝.‎ ‎∴当n＝k＋1时不等式亦成立．‎ ‎∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．‎ 触类旁通 用数学归纳法证明不等式的方法 ‎(1)用数学归纳法证明与n(n∈N*)有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式；二是给出两个式子．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明，即先猜后证．‎ ‎(2)用数学归纳法证明不等式问题时，从n＝k到n＝k＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题，运用放缩法时，要注意放缩的“度”．‎ ‎【变式训练2】　数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．‎ 证明　①当n＝2时，左边＝1＋＝，‎ 右边＝.∵左边>右边，∴不等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，‎ 即·…·>.‎ 则当n＝k＋1时，‎ ·…· ‎>·＝＝ ‎>＝＝.‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由①②知对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．‎ 考向　数学归纳法证明整除问题 例3　用数学归纳法证明：42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N*.‎ 证明　①当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．‎ ‎②假设当n＝k时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)‎ ‎∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，‎ ‎∴当n＝k＋1时命题也成立．‎ 由①②，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．‎ 触类旁通 证明整除问题的关键——“凑项”‎ 证明整除问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，将n＝k＋1时的式子凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．‎ ‎【变式训练3】　用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．‎ 证明　①当n＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立；‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，‎ 即(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，‎ ‎[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1‎ ‎＝(3k＋1)·7k＋1－1＋3·7k＋1‎ ‎＝(3k＋1)·7k－1＋6(3k＋1)·7k＋3·7k＋1‎ ‎＝(3k＋1)·7k－1＋9·(2k＋3)·7k.‎ 由于(3k＋1)·7k－1和9·(2k＋3)·7k都能被9整除，所以(3k＋1)·7k－1＋9·(2k＋3)·7k能被9整除，即当n＝k＋1时，命题也成立．由①②，得(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除．‎ 考向　数学归纳法与开放性问题 例　4　[2018·马鞍山模拟]是否存在a，b，c使等式2＋2＋2＋…＋2＝对一切n∈N*都成立，若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．‎ 解　取n＝1,2,3可得解得a＝，b＝，c＝.‎ 下面用数学归纳法证明2＋2＋2＋…＋2＝＝.‎ 即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，‎ ‎①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；‎ ‎②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)·(2k＋1)成立，‎ 则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋‎ ‎1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)·(2k＋3)，‎ ‎∴当n＝k＋1时等式成立；‎ 由数学归纳法，综合①②当n∈N*等式成立，‎ 故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立．‎ 触类旁通 可假设存在常数a，b，c，使等式对于任意n∈N*总成立，令n＝1,2,3，列方程解得a，b，c，再用数学归纳法证明．‎ ‎【变式训练4】　[2018·宁波期末]已知对任意的n∈N*，存在a，b∈R，使得1×(n2－12)＋2×(n2－22)＋3×(n2－32)＋…＋n(n2－n2)＝(an2＋b)．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)用数学归纳法证明上述恒等式．‎ 解　(1)由题意1×(n2－12)＋2×(n2－22)＋3×(n2－32)＋…＋n(n2－n2)＝(an2＋b)，‎ 上述等式分别取n＝1,2得 解得 ‎(2)由(1)得1×(n2－12)＋2×(n2－22)＋3×(n2－32)＋…＋n(n2－n2)＝(n2－1)，‎ 证明：①当n＝1时，左边＝1×(12－12)＝0，右边＝×12×(12－1)＝0，等式成立．‎ ‎②假设当n＝k时，等式成立，即1×(k2－12)＋2×(k2－22)＋3×(k2－32)＋…＋k(k2－k2)＝k2(k2－1)，‎ 则当n＝k＋1时，左边＝1×[(k2－12)＋(2k＋1)]＋2×[(k2－22)＋(2k＋1)]＋…＋k[(k2－k2)＋(2k＋1)]‎ ‎＝1×(k2－12)＋2×(k2－22)＋3×(k2－32)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋3＋…＋k)‎ ‎＝k2(k2－1)＋(2k＋1)·k(k＋1)‎ ‎＝k(k＋1)(k2＋3k＋2)‎ ‎＝(k＋1)2k(k＋2)‎ ‎＝(k＋1)2[(k＋1)2－1]，‎ 所以当n＝k＋1时等式成立，‎ 综上所述，对任意n∈N*，原等式成立．‎ 核心规律 数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，当n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．‎ 满分策略 ‎1.在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．‎ ‎2.解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.‎ 板块三　启智培优·破译高考 规范答题系列7——数学归纳法中的“归纳—猜想—证明”问题 ‎[2018·河南安阳模拟]已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*‎ 均有a≤an－an＋1成立．‎ ‎(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；‎ ‎(2)探究an与的大小关系，并证明你的结论．‎ 解题视点　(1)→→‎ ‎(2)→ 解　(1)证明：由a≤an－an＋1得an＋1≤an－a.‎ ‎∵在数列{an}中，an>0，‎ ‎∴an＋1>0，‎ ‎∴an－a>0，‎ ‎∴0(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)‎ A．7 B．8 ‎ C．9 D．10‎ 答案　B 解析　左边＝1＋＋＋…＋＝＝2－，代入验证可知n的最小值是8.故选B.‎ ‎2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于(　　)‎ A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对 答案　B 解析　本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．‎ ‎3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．‎ 答案　 解析　不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.‎ ‎7．若数列{an}的通项公式an＝，记cn＝2(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝________.‎ 答案　 解析　c1＝2(1－a1)＝2×＝，‎ c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2××＝，‎ c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×××＝，‎ 故由归纳推理得cn＝.‎ ‎8．[2018·桥西区期末]用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是________．‎ 答案　4k＋2‎ 解析　用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时左边需增乘的代数式是＝2(2k＋1)．故答案为4k＋2.‎ ‎9．[2018·泉州模拟]已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，记其前n项和为Sn，试用a1，d，n表示Sn，并用数学归纳法证明．‎ 解　Sn＝na1＋d，n∈N*.‎ 下面用数学归纳法证明：①n＝1时，左边＝S1＝a1，右边＝a1＋d＝a1，等式成立．‎ ‎②假设n＝k时，等式成立，即Sk＝ka1＋d，‎ 当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝ka1＋d＋a1＋kd ‎＝(k＋1)a1＋d ‎＝(k＋1)a1＋d，‎ 即n＝k＋1时，等式成立．‎ 综合①②知，对于任意的正整数n，都有Sn＝na1＋d成立．‎ ‎10．[2018·溧水月考]设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＋Sn＝(n＋1)an＋1－an－1，n∈N*.‎ ‎(1)若数列{an}是等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设a2＝6，求证：数列{an}是等差数列．‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d，‎ ‎∵Sn＋1＋Sn＝(n＋1)an＋1－an－1，‎ ‎∴(n＋1)a1＋d＋na1＋d＝(n＋1)(a1＋nd)－[a1＋(n－1)d]－1，‎ 化简，得：a1－(n＋1)d＋1＝0，‎ 即n＋＝0对任意n∈N*都成立，‎ ‎∴解得 ‎∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2.‎ ‎(2)证明：∵a2＝6，∴S2＋S1＝2a2－a1－1＝a1＋a2＋a1，‎ 化简得a2＝a1＋1＝6，所以a1＝2，‎ 当n＝2时，则a1＋a2＋a3＋a1＋a2＝3a3－a2－1，‎ ‎∴2a3＝a2＋2a1＋1＝×6＋2×2＋1＝20，‎ ‎∴a3＝10，∴a1，a2，a3成等差数列，首项为2，公差为4，‎ 故猜想：an＝4n－2(n∈N*)．‎ 下面利用数学归纳法来证明数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列：‎ 显然当n＝1,2,3时，命题成立；‎ 假设当n＝k时成立，即ak＝4k－2，‎ ‎∴Sk＝×k＝2k2，‎ ‎∴Sk＋1＋Sk＝(k＋1)ak＋1－ak－1，‎ 即2Sk＋ak＋1＝(k＋1)ak＋1－ak－1，‎ ‎∴kak＋1＝2Sk＋ak＋1＝4k2＋(4k－2)＋1＝4k2＋2k，‎ ‎∴ak＋1＝4k＋2＝4(k＋1)－2，‎ ‎∴当n＝k＋1时也成立，‎ 综上所述，数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列．‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)‎ A．n＋1 B．2n C. D．n2＋n＋1‎ 答案　C 解析　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．‎ ‎2．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)‎ A．(k＋3)3 B．(k＋2)3‎ C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3‎ 答案　A 解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，‎ 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．‎ 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．‎ ‎3．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．‎ 答案　(5,7)‎ 解析　本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；‎ ‎4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；‎ ‎5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；‎ ‎…；‎ 一个整数n所拥有数对为(n－1)对．‎ 设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴＝60.‎ ‎∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，‎ ‎12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，‎ ‎∴第60个数对为(5,7)．‎ ‎4．[2018·保定模拟]已知f(x)＝x－x2，设0

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